3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学设计） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线几何性质综合应用，涵盖离心率、渐近线、直线与双曲线位置关系、弦长公式、中点弦及轨迹方程等核心知识点。通过高速公路隧道、天桥设计等实际情境导入，衔接直线与椭圆位置关系旧知，搭建知识迁移支架。 特色在于以核心素养为导向，用数学眼光观察工程问题，如隧道安全穿越情境；用数学思维分析位置关系分类，如区分相切与渐近线平行的本质；用数学语言转化几何条件，如直接法求轨迹。例题题型丰富，方法总结系统，助力学生提升逻辑推理与运算能力，为教师提供实用教学资源。

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 教学设计 教学内容 本节课聚焦人教 A 版（2019）选择性必修第一册 3.2.2 双曲线简单几何性质第 2 课时，核心是深化双曲线几何性质应用与综合问题解决.通过例题解析，巩固双曲线离心率、渐近线相关计算，掌握利用性质求双曲线方程的方法，学会分析直线与双曲线的位置关系（联立方程判断判别式符号）.同时，结合实际问题渗透数形结合思想，引导学生运用双曲线性质解决距离、最值等综合问题，提升逻辑推理与运算求解能力，形成对双曲线几何性质的完整认知与灵活运用能力 内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第一册双曲线几何性质的第 2 课时，属于性质应用与综合提升阶段.承接上一课时对双曲线范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等基础性质的认知，本节课聚焦核心知识的深化应用：一方面巩固离心率与渐近线的关联计算，强化 “由性质求方程”“由方程析性质” 的双向转化逻辑；另一方面突破直线与双曲线位置关系这一重点难点，通过联立方程、分析判别式符号，让学生掌握相交、相切、相离的判定方法.课程融入数形结合思想，结合实际问题与综合题型，引导学生将单一性质转化为解题工具，解决距离、最值等复杂问题，既衔接了圆锥曲线的通用研究方法，又为后续抛物线性质学习及解析几何综合应用奠定基础，同时培养学生逻辑推理、运算求解及知识迁移能力. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握双曲线离心率、渐近线的综合应用及直线与双曲线位置关系的判定方法. 教学目标 （1）掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． （2）掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. （3）掌握直接法求动点的轨迹方程. （4）会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 目标解析 （1）该目标是对前一课时基础性质的巩固与延伸，要求学生熟练掌握双曲线离心率、渐近线等核心性质，能实现 “性质与方程” 的双向转化.通过简单应用训练，强化知识记忆与基础运算能力，为后续复杂综合问题解决筑牢根基，是本节课的知识铺垫目标. （2）这是本节课的核心技能目标，聚焦弦长与中点弦两大高频考点.要求学生理解公式推导逻辑，并非机械记忆，能通过联立直线与双曲线方程，结合韦达定理灵活运用公式.培养学生代数运算与数形结合的核心素养，是解析几何解题能力的关键提升点. （3）该目标侧重方法掌握与思维培养，直接法是轨迹方程求解的基础方法.要求学生能分析动点满足的几何条件，将其转化为代数方程，再进行化简整理.既衔接解析几何 “几何问题代数化” 的核心思想，又为后续学习其他轨迹求法提供方法参考. （4）这是知识应用与能力迁移的综合目标，要求学生通过判别式分析直线与双曲线的位置关系.结合实际问题，将数学知识与现实场景结合，培养学生抽象建模、逻辑推理能力，体现数学的实用价值，同时提升学生综合运用知识解决复杂问题的能力. 达成上述目标的标志是： (1) 能主动分类讨论：面对直线与双曲线联立问题，第一步主动判断 是否等于 ，分两类进行讨论，不漏解。 (2) 能规范计算弦长：能用韦达定理求 、，代入弦长公式计算，正确率不低于 。 (3) 能快速用点差法：中点弦题目能快速求出斜率，并能检验 验证直线是否真实存在。 (4) 能口头说明本质区别：能说明“相切”与“平行渐近线”两种“一个交点”的几何与代数本质区别。 学生已掌握双曲线的定义、标准方程及范围、离心率、渐近线等基础几何性质，能进行简单的性质与方程互化，但对知识的综合应用能力较弱.此前学习过直线与椭圆的位置关系，具备一定的联立方程、运用韦达定理的经验，不过运算熟练度不足，处理复杂代数运算易出错.​ 预估教学困难： 困难一是弦长公式与中点弦方程的推导逻辑理解不透彻，易机械记忆； 困难二是判断直线与双曲线位置关系时，忽略二次项系数为零的特殊情况； 困难三是直接法求轨迹方程时，难以准确转化几何条件为代数方程. 解决方法： 一是通过分步推导公式、板书关键步骤，强化逻辑认知； 二是对比直线与椭圆的位置关系，突出双曲线的特殊性，结合例题专项突破； 三是引导学生先分析动点几何特征，再逐步转化为代数表达式，加强变式训练. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：双曲线弦长与中点弦方程的灵活运用，及直线与双曲线位置关系的综合判定. 知识点一　直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线方程为y＝kx＋m(m≠0)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将y＝kx＋m代入－＝1，消去y并化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. ①当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点． ②当b2－a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线有两个公共点；判别式Δ＝0⇔直线与双曲线有且只有一个公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线没有公共点． 知识点二　弦长公式 设弦两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线的斜率为k，则弦长|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝或 |AB|＝|y1－y2| ＝(k≠0)． [拓展]　双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径．对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，将x＝c代入双曲线的方程可得＝－1＝＝，所以直线x＝c与双曲线的两个交点为A，B，计算得通径长|AB|＝.同理，可求得双曲线－＝1(a>0，b>0)的通径长也是. 注意：若焦点弦与双曲线的交点在同一支上，则最短弦长是通径长；若焦点弦与双曲线的交点在两支上，则最短弦长是2a. 课堂导入1：高速公路——双曲线隧道与直线道路交会 某山区高速公路需要穿越一座双曲线造型的隧道口，隧道截面的边缘为双曲线 （单位：米）。道路中心线（视为直线）与隧道口相交，工程师需要确定道路是否能够安全穿过。 问题1：道路中心线与隧道口边缘可能有几种位置关系？如果道路恰好与隧道边缘相切，此时有几个交点？如果道路与隧道边缘没有交点，道路是否在隧道外？ 问题2：如果道路中心线的倾斜角度恰好与隧道的渐近线方向一致，道路与隧道口会有几个交点？为什么这与相切不同？ 追问：工程师需要测量道路在隧道口内的通行宽度（即弦长）。如果已知道路与隧道的两个交点坐标，如何精确计算这段长度？如果只知道交点坐标的关系，有没有更简便的计算方法？ 【设计意图】将“直线与双曲线位置关系” “弦长计算”融入高速公路隧道设计情境，以“道路能否安全穿过”驱动位置关系判断的学习，“通行宽度”驱动弦长计算的需求，强化数学与工程实际的联系。 课堂导入2：城市规划——双曲线形天桥与观光步道 某城市公园有一座双曲线形景观天桥，天桥轮廓线所在双曲线方程为 （单位：米）。公园管理处计划在天桥内部修建一条观光步道，步道为直线，与天桥轮廓交于两点，需要测量步道在天桥内的长度，以便铺设材料。 问题1：如果步道恰好经过天桥轮廓的中点位置（即弦的中点），能否快速确定步道所在直线的方程？这需要利用什么数学方法？ 问题2：与椭圆相比，双曲线是开放曲线，步道是否存在“穿过天桥两支”和“仅在单支上”两种情况？如何从直线的斜率判断？ 追问：如果步道平行于天桥的渐近线，步道与天桥会有几个交点？这与“相切”有何本质不同？设计时需要考虑这种特殊倾斜角度，为什么？ 【设计意图】将“中点弦”和“渐近线平行特殊情形”融入公园天桥设计情境，以“步道长度测量”和“特殊倾斜角度”驱动点差法和分类讨论的学习。 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，． 设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为， 因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以 由方程②得（负值舍去）．代入方程①得 ， 化简得 ③ 解方程③得 （负值舍去） 因此所求双曲线得方程为． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 ． 由此得 ． 将上式两边平方，并化简得 ． 即 ． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（如下图）． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 学生：学生回顾之前的例题，然后进行观察对比，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为 ① 由，消去，得． 解方程得，． 将，的值分别代入①得，，， 于是，，两点的坐标分别为，． 所以． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 学生：学生自主尝试着想想与做做，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 数学里重要数学思想：设而不求 的重要数学思想. 弦长公式： 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 预设：由例6可知，消元后得一元二次方程为：． 由韦达定理得，． 所以， 或者： 解方程得，． 题型一：求共焦点的双曲线方程 例题 与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 预设： 因为椭圆，焦点在x轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：B 题型二：求双曲线的中点弦方程 例题1 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 预设：设，，因为中点为， 所以，， 又， ，两式相减，得 ， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 方法总结：点差法求中点弦方程 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，求直线l的方程 设，，因为中点为，所以，， 又， ，两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为. 题型三：直接法求轨迹方程 例题 在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和P到直线l：的距离之比是常数．求动点P的轨迹方程； 预设：由题意可知，， 化简得，于是，动点的轨迹方程为． 题型四：求弦长 例题 已知双曲线C：，直线l：交双曲线C于A，B两点，求弦长|AB|. 预设：令，， 把代入，消去y得， ， . 题型五：直线与双曲线的位置关系问题 例题 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点； 预设：（1）联立，消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2） 当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*） 化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交， 有且只有一个公共点，满足题意． 当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得；综上，或. （3）因为直线l与C没有公共点，所以，解得： 或. 方法总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 当只有一个交点时：（1）直线与双曲线相切，联立方程，一元二次方程 （2）所求直线与渐近线平行 当有两个交点时：直线与双曲线相交，联立方程，一元二次方程 当没有交点时：直线与双曲线相离，联立方程，一元二次方程 题型六：双曲线的简单应用 例题 江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．30米 预设：设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 1.（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，，代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 2.（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】设共渐近线方程，代入点坐标求参数整理方程即可． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是．故选：D. 3.（26-27高三上·北京房山·开学考试）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线方程求a、b、c、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】通过渐近线方程确定，进而可求解. 【详解】 由题可知该双曲线中，解得，又双曲线的一条渐近线为，因此，又，得，所以实轴长为. 故选：B. 4.（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即，所以，解得． 故选：A. 5.（26-27高三上·北京西城·开学考试）双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为.因为一条渐近线倾斜角为，所以，即.所以双曲线的离心率. 故选：D. 6.（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等轴双曲线 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得，因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 7.（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、等轴双曲线 【分析】根据等轴双曲线定义可设方程为，根据焦点坐标算出，解得双曲线方程，从而得出长轴. 【详解】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为，由焦点可知，，则，于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D 8.（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为8，过的焦点且垂直于实轴的弦长为6，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据顶点或实虚轴关系求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的性质，列方程组，即可求解. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，由题意，得， 解得，所以的半焦距，所以的离心率. 故选：D 9.（25-26高三下·重庆·开学考试）瓷枕是中国古代较为流行的一种瓷质枕具，其上常以彩釉绘制精美图画，或题写诗句.某瓷枕如图1所示，其横截面如图2所示，该横截面的上、下曲线可以看作双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】构建合适的直角坐标系并设出对应的双曲线方程，根据实轴长、所过的点求参数，即可得离心率. 【详解】构建如下图示的直角坐标系，其中双曲线过点，实轴长为，即， 双曲线的焦点在轴上，设为，则，故离心率. 故选：D. 10.（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为，已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和，所以，即， 由，代入，得 ，即， 虚轴长为，焦距为，所以虚轴长与焦距之比为. 故选：C. 1.（2026·海南海口·模拟预测）双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线求出顶点以及渐近线，再根据题意列出方程求出关系进而求出离心率. 【详解】双曲线右顶点为，渐近线. 顶点到渐近线的距离. 因为双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍， 所以，即，化简得，进而. 已知，则，因为，所以.故选：D. 2.（25-26高三下·安徽淮北·阶段检测）已知椭圆的焦点与双曲线的顶点重合，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的顶点坐标 【详解】双曲线的顶点为，依题意，椭圆的焦点为，则椭圆的半焦距为，半短轴长为，因，则椭圆的离心率为． 故选：B. 3.（2026·北京顺义·三模）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【详解】双曲线的标准方程为，则， 其渐近线方程为：．故选：B. 4.（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】由题意得，，则.故选：A. 作业1：完成教材：第127页 练习1,2,3,4,6. 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第2课时》.  3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 1. 弦长公式： 2. 直接法求轨迹方程 3. 中点弦 4. 数学思想：设而不求思想 5. 例题区：（学生板演区域） 本节课聚焦双曲线几何性质的综合应用，教学中通过视频导入和旧知复习有效衔接新课，帮助学生建立知识关联.但在弦长公式与中点弦方程教学中，部分学生对推导逻辑理解不深，存在机械记忆现象，后续需增加分步推导的互动环节.直线与双曲线位置关系判定时，学生易忽略二次项系数为零的特殊情况，虽通过对比例题强调，但变式训练不足.此外，学生运算熟练度有待提升，复杂计算耗时较长影响课堂进度.今后教学需优化习题设计，分层设置任务，强化公式推导的逻辑梳理，增加针对性变式训练，同时预留足够运算时间，兼顾不同层次学生的学习需求，提升知识应用的灵活性与准确性. 学科网（北京）股份有限公司 $