3.2.1 双曲线及其标准方程（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线定义与方程，以8类题型构建"概念理解-技能应用-综合拓展"三阶分层，通过选择、填空等形式巩固基础，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|定义辨析、a/b/c计算、方程判断|以选择判断为主，如"距离之差轨迹判断"巩固概念，培养抽象能力| |技能应用|轨迹方程、焦点三角形|结合焦点三角形周长计算，强化定义应用，发展推理能力| |综合拓展|最值问题、实际情境|通过炮弹爆炸轨迹等情境题，提升数学应用意识，体现数学语言表达|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 3.2.1 双曲线及其标准方程 目录 ● A组 巩固过关 2 题型01双曲线定义的理解与应用… .2 题型02根据双曲线方程求a、b、c.. .3 题型03利用定义求双曲线轨迹方程.… .5 题型04利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 .7 题型05利用定义求双曲线中线段和、差的最值… .8 题型06根据a、b、c求双曲线的标准方程 11 题型07利用定义解决双曲线焦点三角形问题， .13 题型08判断方程是否表示双曲线…。 15 B组 能力进阶 .16 C组 思维拔高 .17 拓展 链接高考 17 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01双曲线定义的理解与应用 FF 1.(2026高三上全国专题练习)已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P,若 EP.EP=0 则椭圆的离心率9与双曲线的离心率2的关系式为() 11 A.+ =2 n日2 C.ite=2 D.g-g2=2 2.(25-26高二下·上海黄浦期中)到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是() A.一条直线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.双曲线 x2 y2 3.(2026吉林长春二模)双曲线。~21(a>0)的两个焦点分别是F、F,焦距为8，M是双曲线上的 点，且=5 M（) 则 A.1 B.3 C.7 D.9 颗型02 题型02根据双曲线方程求a、b、c 4(25-26高二上江苏南通期末)双曲线+m=1 的一个焦点坐标为 0),则实数m的值为() (2,0 1 1 A.1 B.3 C.3 D.1 x2 y2 5(25-26高二上山西阶段检测)已知p为双曲线491上一点，F,B分别为该双曲线的左、右焦 2/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且P=9,则P的值为() 点， A.5 B.7 C.5或13 D.7或11 6.(25-26高二上四川绵阳阶段检测)己知双曲线云一12 -亡=1(a>0)的两个焦点为R,F,焦距为8，M是 MF=5 双曲线上一点，且 MF=() 则 A.1或9 B.9 C.1 D.10 颗型03 题型03利用定义求双曲线轨迹方程 7(2026高二全司专题练习》在平面直角坐标系0中，1(-2,0)，B(2,0),动点C和D分别位于'正半 轴和负半轴上，若OCO0-1,则4C和BD的交点M的轨达方程为《) A.冈+川=4(0≠0) B.r+y=40≠0) c.4+广=10≠0) D.4y=10y≠0) x 8(226高二上北京延庆期末)已知(-2,0)、520，动点P满足P明-PE-2,则动点P的轨迹 方程为() A.2少 -=1 B.-若=10ks) 3 3 c.x-’=10x2≥） 3 D-号=0 9.(25-26高二上江苏淮安·期中)已知 (-40,0),B(40,0),一炮弹在某处爆炸，在4处听到爆炸声的时 间比在B处早2s,设声速为340m/s.则爆炸点所在曲线的方程为() x2 y2 x2 y2 A.156004400=1(x>0) B.15600440-1(6x<0) 3/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 y2 C.115600 =1(x>0) 275600 D x2 11560044400 =1 题型04 题型04利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 x2 y2 10.(25-26高二上陕西安康期末)记双曲线E a216 =1(a>0)的左，右焦点分别为F,E,E上一点p满 足IP=I2PE=6 6,则AP听5的周长为() A.22 B.24 C.26 D.28 x2 y2 1.(25-26高三上四川自贡期末)设p为双曲线c:91的右支上一点，C的左、右焦点分别为F, F,且P=F,若O为坐标原点，N为线段PF的中点，则9 N=() A.3-5 B.5-1 c.25-3 D.1 12(24-25高二下安徽毫州阶段检测)设P是双曲线C:4y1右支上一点，F,F分别是双曲线C 的左、右焦点，D为坐标原点，Q为线段P听的中点，若D0-,则P四的值为《) PF A.2 B.4 C.6 D.8 题型05 题型05利用定义求双曲线中线段和、差的最值 1B.(2026高二全国专题练习)已知4,3)，双曲线C:手。 :45=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上 的动点，则P-PF 的最大值是() A.-1 B.2 C.3 D.1 x2 14.(2425高二上江西阶段检测)己知双曲线c3少=1的右焦点为F,点P在C的右支上，且 4/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. 则PO+PF的最小值为() A.4-25 B.17-2v5 √65 c.V15-25 -25 D.2 15.(2023旷东一模)已知p为双曲线C:号 45=1的左焦点，p为其右支上一点，点40，-6)，则 △APF周长的最小值为() A.4+6V2 B.4+65 c.6+6V2 D.6+6V5 颗型06 题型06根据a、b、c求双曲线的标准方程 16.(2025高二·全国·专题练习)从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2 所示，篮球的外形形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与 圆O的交点将圆O的周长八等分，AB=BC=CD=2,视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为() D 图1 图2 A232 91 B.2x2-y2=1 C2、92 71 五2026江西九江拟预测)已双曲线-m>0,n>0的一个集点坐标为0.5，则m+ () 5/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.10 C.25 D.50 2-y2=m 4x2+3y2=72 18.(25-26高二上广东深圳阶段检测)已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则实数 m的值为() A.-3 B.-6 C.3 D.6 题型07 题型07利用定义解决双曲线焦点三角形问题 :4x2-y2=1 19.(26-27高三上甘肃·开学考试)己知双曲线 FF F 的左、右焦点分别为1,2，过作直线 交C的左支于A,B两点， 且H=6,则△MB 2的周长为() A.13 B.14 C.15 D.16 x2 y 20.(2025新疆：模拟预测)已知双曲线4)=1的两个焦点分别为F,乃，双曲线上一点P与F的距离 为2，则 LFPF:=() A.150° B.120° C.60° D.30° x2 y2 21.(2026高三全国专题练习)己知双曲线。方=1b>a>0)的左、右焦点分别为F,F,过点F引 圆+广=·的切线，切点为I,延长FT,交双曲线右支于点P.者M为线段的中点，0为坐标原 点，则MO-hM 等于() a+b A.b-a B.a-b C.2 D.a+b 颗型08 题型08判断方程是否表示双曲线 x+y tan0=1 22.(2025·云南昆明模拟预测)已知为第二象限角，则方程 表示的曲线为() 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在y轴上的双曲线 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆 1 23.(2025湖南永州模拟预测)已知两条直线1：y=2x,,:y=2,有一动圆M与1交于A,B两点， 与交于C,D两点，且AB=2,CD=4 则圆心M的轨迹为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 24（23-24商二下浙江期中）“m>1”是“方程m一二m+31表示的曲线是双曲线”的《） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B组 能力进阶 1(2526高上浙嘉兴期未)已知椭圆C+y=1和双曲线C:，y有相同的焦点，6，周 P是它们的一个公共点，则 PE·PE 的值为() A.4 B.2 C.1 D.2 x2+y2=1mx2+y2-10x+16=0 2.(25-26高二上四川遂宁·期末)与圆 及圆 都外切的圆的圆心轨迹为() A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 x2 y 3(2526高二上天津河西期末)已知M是双曲线421上一点，点F,B分别是双曲线的左、右焦点， 若M=5,则MF() 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.1或9 C.7 D.3或7 (2526高二上广东期末)已知点M为双曲线C:)-6左支上的一点，F,E,分别为C的左、右焦 ME+F-F=) A.-4 B.4 C.-16 D.16 x2 y 5(25:26高一上河北邯郸：期末)若方程；-k+k一31表示双曲线，则实数k的取值范国是(） A65) B.(4,5) c.(64) D.（-0,3U5,+w) x2 y2 6(25-26高二上：山西朔州期末)已知双曲线。2=1(>0)的左、右焦点分别是F,5,焦距为8，M是 该双南线上一点，且5，则M=() A.9 B.6 C.3 D.1 C组 思维拔高 A:(x+3)2+y2=4,B(3,0) 1.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知圆 ,点P在圆A上运动，设线段 PB的垂直平分线和直线卫PA的交点为Q,则点的轨迹方程为() 8=1x≥)Bx2少 81 c22 6=1x≥)Dx2少 =1 6 8/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(25-26高二上安徽六安期末)双曲线416 -名-1上一点p到它的一个焦点的距离为5，那么点p到另 个焦点的距离为() A.1或9 B.9 C.2或6 D.6 3(25-26高三上河北石家庄阶段检测)已知双曲线E:。41,F,F分别为其左、右焦点，p为双曲 线E上-点，且PF=8,则PFF() A.2 B.14 C.2或14 D.4或14 4(24-25高三上河北期中)已知双曲线经过点42W2,5),(-25,-6) 则其标准方程为() =1 34 c苦 -=1 x2 y2 .34 y2 x2 1或431 拓展 链接高考 1(2026广东茂名二预)已知自线Γ是中心在坐标原点，对称箱为坐标拍的等精双由线，点47)在「上， 则「的实轴长为() A.10 B.9 C.8 D.6 x2.y2 、x2y2 2(2026旷广西桂林：二模)过椭圆20+了-1与双曲线2了1四个交点的圆的标准方程为（) A+y2=15 B.x+y2=16 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+y2=17 0 x2+y2=20 10/10 分层作业 3.2.1 双曲线及其标准方程 目 录 2 题型01 双曲线定义的理解与应用 2 题型02根据双曲线方程求a、b、c 3 题型03利用定义求双曲线轨迹方程 5 题型04利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 7 题型05利用定义求双曲线中线段和、差的最值 8 题型06根据a、b、c求双曲线的标准方程 11 题型07利用定义解决双曲线焦点三角形问题 13 题型08判断方程是否表示双曲线 15 16 17 17 题型01 双曲线定义的理解与应用题型01 1.（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，所以，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即. 2.（25-26高二下·上海黄浦·期中）到两定点的距离之差为定值的点的轨迹一定不是（   ） A．一条直线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．双曲线 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义，对定值进行讨论，即可判断选项. 【详解】设两定点分别为和，设， 当时为双曲线的一支， 当时为一条射线， 当时，为的垂直平分线，一条直线， 无论为何值时，都不会是双曲线. 3.（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 题型02根据双曲线方程求a、b、c题型02 4.（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】先化为标准方程，再结合关系求解即可. 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 5.（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C 6.（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）已知双曲线的两个焦点为，焦距为8，是双曲线上一点，且，则（   ） A．1或9 B．9 C．1 D．10 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据焦距可得c值，根据a，b，c的关系，可得a值，根据双曲线的定义，可得的值，分析检验，即可得答案. 【详解】设焦距为，由题意得，即， 又，所以，即， 由双曲线定义可得，即， 解得1或9， 又，即，所以， 所以. 故选：B 题型03利用定义求双曲线轨迹方程题型03 7.（2026高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 8.（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 9.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 题型04利用定义解决双曲线中焦点三角形问题题型04 10.（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 11.（25-26高三上·四川自贡·期末）设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    12.（24-25高二下·安徽亳州·阶段检测）设P是双曲线右支上一点，，分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，Q为线段的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】由双曲线，则， 由于为的中点，Q为线段的中点，且， 所以，则. 故选：C. 题型05利用定义求双曲线中线段和、差的最值题型05 13.（2026高二·全国·专题练习）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 14.（24-25高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 15.（2023·广东·一模）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值． 【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则， 所以，且，所以， 的周长为， 当且仅当M，P，A三点共线时取等号， 则周长的最小值为． 故选：B． 题型06根据a、b、c求双曲线的标准方程题型06 16.（2025高二·全国·专题练习）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 17.（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 18.（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 题型07利用定义解决双曲线焦点三角形问题题型07 19.（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 20.（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、余弦定理解三角形 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 21.（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于点．若为线段的中点，为坐标原点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用图形，结合双曲线的定义，找到对应线段之间的联系，简化计算即可求解． 【详解】如图，连接，，因为为的中点，为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 故选：A．    题型08判断方程是否表示双曲线题型08 22.（2025·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【知识点】判断方程是否表示双曲线 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 23.（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【知识点】圆的弦长与中点弦、判断方程是否表示双曲线 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 24.（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充要条件的证明、判断方程是否表示双曲线、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 1.（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解、椭圆定义及辨析 【分析】不妨设点在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得到 ，平方作差，即可求解. 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的焦点， 且点P是它们的一个公共点，不妨设点在第一象限， 根据椭圆和双曲线的定义，可得 ， 平方作差，可得，所以. 故选：D. 2.（25-26高二上·四川遂宁·期末）与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】C 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】先判断两圆外离，根据圆与圆及圆都外切，可得，再根据双曲线的定义可得答案. 【详解】设与圆 （圆心 ，半径 ）和 圆 （即 ，圆心 ，半径 ） 都外切的圆的圆心为 ，半径为， 由题意得，消去 得， 这表示点P到两定点和的距离之差为常数，且， 由双曲线的定义知：点的轨迹为双曲线， 又由知：，因此点的轨迹为双曲线的一支. 故选： C 3.（25-26高二上·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. 4.（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 5.（25-26高一上·河北邯郸·期末）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】由双曲线的定义得，再解不等式即可． 【详解】由题知，解得，或， 则实数k的取值范围是． 故选：D． 6.（25-26高二上·山西朔州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 2.（25-26高二上·安徽六安·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，那么点到另一个焦点的距离为（    ） A．1或9 B．9 C．2或6 D．6 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】利用双曲线的定义和性质可求答案. 【详解】由方程可得， 由定义可得，因为，所以或， 双曲线上的点到同侧焦点的最小距离为， 所以. 故选：B 3.（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知双曲线，分别为其左、右焦点，为双曲线上一点，且，则（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义，再结合焦半径的取值范围，即可求解. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①如图① ，若点在左支上，则，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，，所以符合题意.                 ②如图②，若点在右支上， 则，， 由双曲线的定义，，因为，所以. 因为，所以符合题意，综上，或14. 故选：C 4.（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 1.（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 2.（2026·广西桂林·二模）过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两曲线的交点、由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】联立方程，消去得，所以，， 则交点坐标为，，，， 不妨设圆的标准方程为：，代入得：， 所以圆的标准方程为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $