3.1.1 椭圆及其标准方程 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦椭圆及其标准方程，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从定义理解到参数讨论的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象、运算推理与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|椭圆定义、焦点弦长|单选1直接应用定义求焦半径，填空5结合定义求弦长，强化概念理解| |中档|标准方程求解、焦点三角形性质|单选2已知焦点和点求方程，单选3计算焦点三角形面积，提升运算推理能力| |提升|参数方程讨论、综合应用|多选4参数k对椭圆类型的影响，解答题8综合求方程及点坐标，培养数学抽象与模型观念|

课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共49分 一、选择题 1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 2．过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 3．已知F1，F2分别是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 4．(多选)对于曲线C：＝1，下面四个说法中正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件 二、填空题 5．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________． 6．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为________． 7．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________． 三、解答题 8．(13分)已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(二十五) 1．C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝14－4＝10．故选C．] 2．C　[椭圆＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，且过点(－3，2)， 则2a＝＝2， ∴a＝，得b2＝15－5＝10． ∴所求椭圆的标准方程为＝1． 故选C．] 3．A　[由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2－b2＝49－24＝25，则a＝7，c＝5， 由3|PF1|＝4|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，得|PF1|＝8，|PF2|＝6， 则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2， 所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24． 故选A．] 4．CD　[当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 解得2.5<k<4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1<k<2.5，所以D正确． 故选CD．] 5．6　[依据题意及椭圆方程知，a＝4， 则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．] 6．　[将(0，3)代入椭圆C方程：mx2＋ny2＝1，解得n＝． 故椭圆方程为mx2＋＝1，由焦距为4，得c＝2，c2＝4． 由题意知m>0，且m≠＝1， 若椭圆焦点在x轴上，a2＝，b2＝9，则有c2＝－9＝4， 解得m＝； 若椭圆焦点在y轴上，a2＝9，b2＝，则有c2＝9－＝4， 解得m＝． 综上所述，m＝或m＝．] 7．＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2， 又∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b， ∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，则a2＝4，故椭圆的标准方程为＋y2＝1．] 8．解：(1)由题意知，椭圆N的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)， 则设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1． (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±． 又＝1，所以，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为． $