3.1.2 椭圆的简单几何性质（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课标要点 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，理解离心率对椭圆扁平程度的影响。 2.会利用椭圆几何性质求解顶点、轴长、焦点、离心率等相关参数，辨析a,b,c之间的关系。 3.理解直线与椭圆相离、相切、相交三种位置关系，会联立方程利用判别式进行判断。 4.掌握椭圆弦长公式，能结合韦达定理计算弦长，解决简单的直线椭圆综合问题。 学习重难点 重点： 1.椭圆的几何性质，熟练掌握范围、顶点、轴长、离心率，明确a,b,c的数量关系式。 2.直线和椭圆的位置关系，会联立方程组，依靠判别式Δ判断三者的位置关系。 3.椭圆的弦长公式，结合韦达定理进行弦长运算，熟悉公式的两种表达形式。 难点： 1.理解离心率的意义，能够根据条件求解离心率，把握0<e<1的取值范围。 2.直线与椭圆联立运算，处理消元、判别式、韦达定理，计算量大容易出现计算错误。 3.弦长公式灵活运用，区分斜率存在与不存在的情况，规避公式使用的限制条件。 知识点01椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴：轴、轴；对称中心： 坐标原点 对称轴：轴、轴； 对称中心：坐标原点 范围 顶点 ， ， 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 焦点 焦距 离心率 离心率对椭圆形状的影响 离心率反映椭圆的扁平程度，。 （1）越接近，则越接近，越接近，椭圆越扁； （2）越接近，则越接近，越接近，椭圆越接近圆； （3）当且仅当时，，两个焦点重合，椭圆变为圆，方程为。 即学即练 1．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【详解】因椭圆的焦点在轴上，则且， 则，即，解得， 所以椭圆的长轴长为． 2．（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 【答案】ABD 【详解】椭圆中，，， 则，焦点，，上顶点， 选项A：长轴长，故A正确； 选项B：，故B正确； 选项C：离心率，故C错误； 选项D：的周长为，故D正确． 知识点02直线与椭圆的位置关系 1.三种位置关系 类比直线与圆，直线和椭圆存在相离、相切、相交三种位置关系。 2.联立方程判别位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去（或），得到一元二次方程，计算判别式： ①：方程有两个不等实根，直线与椭圆相交，有两个公共点； ②：方程有两个相等实根，直线与椭圆相切，有一个公共点； ③：方程无实数根，直线与椭圆相离，没有公共点。 3.弦长公式 设直线与椭圆交于，两点。 由韦达定理得到、，则弦长： 若消去保留，则： 代表直线斜率；计算主要依靠一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 即学即练 3．已知椭圆的左右焦点分别为､，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）是椭圆的上顶点，； 由椭圆对称性知：，又，， 是等腰直角三角形，，即， ，解得：； 椭圆的方程为：； （2）设直线与椭圆交于两点， 由得：，则， ，，， 即直线被椭圆截得的弦长为. 题型01 由椭圆标准方程分析几何性质 典｜例｜精｜析 【例1】焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 【例2】已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则椭圆的焦点坐标为， 而椭圆在轴上的顶点坐标为，由题意可知，故， 易知椭圆的焦点坐标为，即， 因为点到焦点的距离为，即，解得. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得， 故椭圆的长轴长为． 故选：B． 【变式1-2】已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆的上顶点为，代入，可得， 左焦点为，代入，可得，解得， 故，故，故长轴长为. 故选：A 【变式1-3】（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 【答案】BD 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 题型02 依托椭圆几何性质求标准方程 解题贴士 解题核心是先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式。根据题干给出的顶点、轴长、焦距、离心率等条件，求出a、b、c对应参数。利用椭圆核心关系式a²=b²+c²补全未知参数，代入标准方程即可求解。焦点不确定时，需分两种情况讨论，避免漏解。 典｜例｜精｜析 【例3】已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 【例4】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【详解】由，所以，所以， 所以椭圆的方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以， 又， 所以的周长为：. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 【变式2-2】（假期必刷26 椭圆）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且， 又长轴长是短轴长的2倍，故，即， 则有，解得，， 则椭圆的标准方程为． 【变式2-3】已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，求椭圆的方程； 【答案】； 【详解】设椭圆焦距为，由题意可得， 所以椭圆：； 题型03 椭圆离心率的求解问题 解题贴士 离心率求解核心公式为e=c/a，无需单独求出c和a，可通过整体比值计算。结合椭圆几何性质、焦点三角形、边长关系等条件，搭建a、b、c的等量关系式。化简后得到e的方程求解，最后务必结合椭圆范围0<e<1，舍去不符合条件的解。 典｜例｜精｜析 【例5】已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且. 直线的斜率，直线的斜率. 由题意知，直线与的斜率之积为， 即. 由于点在椭圆上，满足， 变形得. 代入斜率之积的表达式得，即. 椭圆的离心率. 【例6】已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【详解】已知椭圆：（），且，则， 化简得，即，使用求根公式，得， 又因为，所以. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以.    【变式3-2】如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，设为纸板平面相互垂直的两条直径，且A点为纸板平面最高点. 圆形纸板的半径，用垂直于纸板的光束照射时，圆上所有点到圆心的距离均为6. 椭圆的短半轴：在地面上的投影长度不变，故. 椭圆的长半轴：投影被拉长，因为纸板平面与地面夹角为，则投影长度为， 故椭圆长半轴. 则半焦距，离心率 【变式3-3】已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 【答案】/ 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 依题意可得，，， 将代入椭圆，得， 又在第一象限，则， 四边形的面积为 ， 化简整理得，所以的离心率为． 题型04 点与椭圆的位置关系判定 解题贴士 将已知点坐标代入椭圆标准方程左侧式子，通过计算结果与1的大小关系判定位置。结果大于1，点在椭圆外；等于1，点在椭圆上；小于1，点在椭圆内。该方法简单高效，无需画图，适用于所有标准椭圆，可快速解决参数取值、点的位置判断类题目。 典｜例｜精｜析 【例7】若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【例8】已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____. 【答案】 【解析】根据点P(k，1)在椭圆=1外，由>1求解. 【详解】因为点P(k，1)在椭圆=1外， 所以>1， 解得k<或k>， 故实数k取值范围为. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【详解】由于，所以在内， 故选：B 【变式4-2】已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 【变式4-3】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系. 【详解】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋ ＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外． 故选:D. 题型05 椭圆的实际应用问题 典｜例｜精｜析 【例9】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 【例10】已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 【变式5-2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 【变式5-3】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知，解得， 所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为． 故选：C. 题型06 直线与椭圆的位置关系判定 典｜例｜精｜析 【例11】若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是______． 【答案】2 【详解】因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 而，所以点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2． 故答案为：2. 【例12】直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 【变式6-2】已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有_______个. 【答案】2 【详解】直线 过定点 , ，即定点在椭圆内， 则直线 与椭圆 C 的公共点有两个. 故答案为：2. 【变式6-3】已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是． 故选：D. 题型07 椭圆弦长计算问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，直线的方程为，即. （2）设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以. 【例14】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程． 【答案】 【分析】 【详解】解法一：由于经过点，结合被截得弦长为，得.       ① 设代入的方程化简得： . 由韦达定理得. 从而， 则由弦长公式，得， 化简得.       ② 联立①②得.故椭圆的方程为. 解法二：同上得. 由过右焦点，及焦半径公式得弦长为：. 由题意得，化简得.以下同解法一． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆：的右焦点， 过且倾斜角为的直线的方程为，即， 将代入，得到， 即， 设， 则， 则，故选项B正确. 【变式7-2】椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的左焦点和上顶点 所以，， 所以椭圆的方程为； （2）因为直线与椭圆交于两点， 所以联立方程得， 所以，解得， 设，则， 因为， 所以， 整理得，解得，满足， 所以，. 【变式7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 题型08 椭圆中点弦相关问题 解题贴士 常用点差法快速解题，设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程作差。结合中点坐标公式和直线斜率公式，推导弦所在直线斜率、直线方程等结论。 典｜例｜精｜析 【例15】已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆，设过点的直线与椭圆交于点， 弦被点平分，，， ，这两个等式相减得到， ， ，， ，， ， 设直线的斜率为，， . 直线的方程为，整理得. 故选：A. 典｜例｜精｜析 【例16】若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】设，，则，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点为，所以，，又， 代入，解得，则有，所以椭圆C的短轴长为． 故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 【变式8-2】已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 【变式8-3】过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 题型09 椭圆定点问题 解题贴士 核心思路为“特殊探点，一般证明”，先通过特殊直线情况算出定点坐标。再设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理整理式子。通过参数化简消去变量，验证直线恒过定点。解题重点是合理设参、精准化简，规避参数过多导致的计算繁琐问题。 【例17】已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得：， 整理得：， 设，，， 则有，， 再由两点式可得直线方程：， 令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点. 【分析】 【详解】（1）由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为. （2）略 典｜例｜精｜析 【例18】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【答案】(1) (2)证明：将椭圆按照向量平移， 则得到方程， 平移后，，设方程为， 即（构造齐次式）， 同除以得，， 因为点，的坐标满足这个方程， 所以，是这个关于的方程的两个根． 所以， 故过定点，平移回去可得过定点， 所以过定点． 【分析】 【详解】（1）根据椭圆的对称性，，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 所以，，，三点在椭圆上． 把，，代入椭圆， 得：， 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)若，证明：直线l恒过定点． 【答案】(1) (2)依题意，直线l的斜率存在， 设直线，，， 由，消去y得， 则，即， ，， 而，， 由，得， 即， 整理得， 则，而， 于是， 整理得，解得，且满足， 所以直线过定点． 【分析】 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）略 【变式9-2】已知椭圆的右焦点为F，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使轴，证明：直线PB恒过定点. 【答案】(1) (2) 当时，设直线AB的方程为，、，则， 联立，消元得， ， 故，，故， 由图形的对称性知，直线恒过的定点在x轴上， 设定点为， 则由可得，即， 故， 即直线BP恒过定点； 当时，直线BP方程为，恒过定点. 综上，直线BP恒过定点 【分析】 【详解】（1）由题意可知：，又，故， 联立解得，，故椭圆的方程为； （2）略 【变式9-3】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)直线经过定点，理由如下： 如图所示，已知，，设动点，均在椭圆上（不同于顶点）， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 已知，即， 代入坐标得，即，化简得，则有， 设直线的方程为，将直线代入椭圆方程，得，展开得， 由韦达定理可得， 同时，， 由条件，代入，，得，化简得， 由，则， 所以当时，上式恒成立， 所以直线：恒过定点. 【分析】 【详解】（1）已知椭圆（）的左右顶点分别为，，右焦点， 根据题意，，即，所以， 又因为，其中，， 将代入中，得，解得， 根据椭圆性质 ，可得， 椭圆 的方程为，离心率. （2）略. 题型10 椭圆定值问题 解题贴士 椭圆定值问题核心是证明式子数值与变量无关，常见距离、面积、斜率、乘积定值。联立直线与椭圆方程，利用韦达定理整合已知表达式。通过代数化简消去动态参数，最终得到固定数值。解题无需复杂推导，重点掌握整体代换、因式分解等化简技巧。 典｜例｜精｜析 【例19】已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【分析】 【详解】（1）由题意可得，，所以. 因为，所以， 所以的方程为. （2）略 【例20】已知椭圆：的离心率为且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)与的等量关系为：． 依题意不过点,故设的方程为，与联立得， 且， 设，则，， ， 上式中分子为， 故，证毕. 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 故椭圆C的标准方程为． （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【分析】 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）略 【变式10-2】已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 【详解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）略 【变式10-3】已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值； 【答案】(1) (2)证明：由题意得，直线的斜率不为， 设直线的方程为：，，， 联立得：， 则，，所以， 又， 所以 ． 【分析】 【详解】（1）由题知，圆的半径，结合题意可知， 又椭圆过点，所以，解得， 则的方程为：； （2）略 基础通关 一、单选题 1．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，当点位于上顶点（或下顶点）时，的面积取最大值， 因此，由题意得，且，联立得，解得（负值舍去），则， 离心率，故A正确. 2．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由离心率公式得：. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】 由为中点，可得为的中位线， 由的周长为6，可得的周长为， 即，因为，所以， 即，所以椭圆的短轴长， 故选: B 4．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，从而. 因，则，又由题可得， 则. 故选：A 5．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 6．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 二、多选题 7．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 【答案】BC 【详解】由图知，，因，则是正三角形， 又，则，故椭圆的离心率为，故D错误； 由可得，则， 由可得，解得，故椭圆的短轴长为，故A错误； 焦距为，故B正确；的周长为，故C正确. 8．已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 【答案】CD 【详解】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 解得 , 所以， 故椭圆的短轴长为千米，A错误，B错误； ，故C正确，D正确, 故选：CD. 三、填空题 9．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为_____________． 【答案】 【详解】根据题意设椭圆的标准方程为， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为． 10．已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】/ 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 11．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率. （2）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. 12．已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 素养提升 1．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以设，则． 由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，， 又因为，所以椭圆的离心率． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 3．已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 【答案】 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知， 该圆的圆心为原点，因此有，即， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，得代入椭圆中， 得，解得. 4．已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】 【详解】（1）由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 5．已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1). (2) (3)由（2）知. 所以， 所以. 由（1）得， 所以. 即为定值. 【分析】 【详解】（1）由椭圆的定义及的周长为，得，所以. 由离心率为，得，所以. 所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，右焦点为，且直线不与轴重合， 所以设直线的方程为：，. 由，得. 恒成立. 所以. 所以 ， 所以，即，. 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为. （3）略 迁移创新 1．如图所示，当篮球放在桌面上并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于_____. 【答案】 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意知：，，，， 则直线：，即， 设，则， 所以点到直线的距离，解得：， 所以，即. 设直线：，即， 点到直线的距离，整理得：， 解得：或， 又因，所以，即直线：， 令，解得：，即， 所以，即； 由，得，所以椭圆离心率. 2．已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点，则. 离心率，， 故椭圆的方程为. （2）设直线方程：. 由消去整理得. 设，，由韦达定理， 为中点，则， 即. 设，则，点在椭圆上，代入椭圆方程： ，即， 代入：， . 又与同以为底，， 所以，所以，所以. 两边平方得，所以， . 3．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【答案】(1)； (2)由题意得直线的斜率存在，， 所以设直线方程为，令得，则， 将直线方程代入椭圆方程得：， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆必有两个交点， 设 则， 由， 即， ， . 【分析】 【详解】（1）由题意：以椭圆的右焦点为圆心， 以为半径的圆的方程为， 所以圆心到直线的距离①， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以，联立①得，， 故所求椭圆方程为. （2）略. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课标要点 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，理解离心率对椭圆扁平程度的影响。 2.会利用椭圆几何性质求解顶点、轴长、焦点、离心率等相关参数，辨析a,b,c之间的关系。 3.理解直线与椭圆相离、相切、相交三种位置关系，会联立方程利用判别式进行判断。 4.掌握椭圆弦长公式，能结合韦达定理计算弦长，解决简单的直线椭圆综合问题。 学习重难点 重点： 1.椭圆的几何性质，熟练掌握范围、顶点、轴长、离心率，明确a,b,c的数量关系式。 2.直线和椭圆的位置关系，会联立方程组，依靠判别式Δ判断三者的位置关系。 3.椭圆的弦长公式，结合韦达定理进行弦长运算，熟悉公式的两种表达形式。 难点： 1.理解离心率的意义，能够根据条件求解离心率，把握0<e<1的取值范围。 2.直线与椭圆联立运算，处理消元、判别式、韦达定理，计算量大容易出现计算错误。 3.弦长公式灵活运用，区分斜率存在与不存在的情况，规避公式使用的限制条件。 知识点01椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴：轴、轴；对称中心： 坐标原点 对称轴：轴、轴； 对称中心：坐标原点 范围 顶点 ， ， 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 焦点 焦距 离心率 离心率对椭圆形状的影响 离心率反映椭圆的扁平程度，。 （1）越接近，则越接近，越接近，椭圆越扁； （2）越接近，则越接近，越接近，椭圆越接近圆； （3）当且仅当时，，两个焦点重合，椭圆变为圆，方程为。 即学即练 1．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则长轴长为（    ） A． B．12 C． D．24 2．（多选）已知椭圆E：的上顶点为M，左、右焦点分别为，，则（   ） A．长轴长为4 B． C．离心率为 D．的周长为6 知识点02直线与椭圆的位置关系 1.三种位置关系 类比直线与圆，直线和椭圆存在相离、相切、相交三种位置关系。 2.联立方程判别位置关系 将直线方程与椭圆方程联立，消去（或），得到一元二次方程，计算判别式： ①：方程有两个不等实根，直线与椭圆相交，有两个公共点； ②：方程有两个相等实根，直线与椭圆相切，有一个公共点； ③：方程无实数根，直线与椭圆相离，没有公共点。 3.弦长公式 设直线与椭圆交于，两点。 由韦达定理得到、，则弦长： 若消去保留，则： 代表直线斜率；计算主要依靠一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 即学即练 3．已知椭圆的左右焦点分别为､，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）求直线被椭圆截得的弦长. 题型01 由椭圆标准方程分析几何性质 典｜例｜精｜析 【例1】焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【例2】已知椭圆的焦点是椭圆的顶点，点到焦点的距离为，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】已知椭圆 的左焦点与上顶点都在函数的图象上， 则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 题型02 依托椭圆几何性质求标准方程 解题贴士 解题核心是先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式。根据题干给出的顶点、轴长、焦距、离心率等条件，求出a、b、c对应参数。利用椭圆核心关系式a²=b²+c²补全未知参数，代入标准方程即可求解。焦点不确定时，需分两种情况讨论，避免漏解。 典｜例｜精｜析 【例3】已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【例4】已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，且过点，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【变式2-2】已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 【变式2-3】已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，求椭圆的方程； 题型03 椭圆离心率的求解问题 解题贴士 离心率求解核心公式为e=c/a，无需单独求出c和a，可通过整体比值计算。结合椭圆几何性质、焦点三角形、边长关系等条件，搭建a、b、c的等量关系式。化简后得到e的方程求解，最后务必结合椭圆范围0<e<1，舍去不符合条件的解。 典｜例｜精｜析 【例5】已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，点P在C上，若直线与的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示,把一个半径为6dm的圆形纸板斜放在地面上,测得圆形纸板所在平面与地面所成的角为,若用垂直于纸板的光束照射纸板,在地面上可形成椭圆形影子,则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 题型04 点与椭圆的位置关系判定 解题贴士 将已知点坐标代入椭圆标准方程左侧式子，通过计算结果与1的大小关系判定位置。结果大于1，点在椭圆外；等于1，点在椭圆上；小于1，点在椭圆内。该方法简单高效，无需画图，适用于所有标准椭圆，可快速解决参数取值、点的位置判断类题目。 典｜例｜精｜析 【例7】若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______． 【例8】已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为_____. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【变式4-2】已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 题型05 椭圆的实际应用问题 典｜例｜精｜析 【例9】如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【例10】已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【变式5-3】椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（    ） A． B． C． D． 题型06 直线与椭圆的位置关系判定 典｜例｜精｜析 【例11】若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是______． 【例12】直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有_______个. 【变式6-3】已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 椭圆弦长计算问题 典｜例｜精｜析 【例13】已知直线斜率为，且过定点，椭圆. (1)求直线的方程； (2)若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【例14】已知椭圆，直线被椭圆截得的弦长为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆的方程． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】椭圆的左焦点和上顶点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，若，求的值． 【变式7-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 题型08 椭圆中点弦相关问题 解题贴士 常用点差法快速解题，设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程作差。结合中点坐标公式和直线斜率公式，推导弦所在直线斜率、直线方程等结论。 典｜例｜精｜析 【例15】已知椭圆，过点的直线与椭圆交于点，弦被点平分，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【例16】若斜率为的直线l与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则C的短轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【变式8-3】过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 题型09 椭圆定点问题 解题贴士 核心思路为“特殊探点，一般证明”，先通过特殊直线情况算出定点坐标。再设出直线方程与椭圆联立，结合韦达定理整理式子。通过参数化简消去变量，验证直线恒过定点。解题重点是合理设参、精准化简，规避参数过多导致的计算繁琐问题。 典｜例｜精｜析 【例17】已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 【例18】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l与椭圆C交于不同于A的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)若，证明：直线l恒过定点． 【变式9-2】已知椭圆的右焦点为F，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使轴，证明：直线PB恒过定点. 【变式9-3】已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 题型10 椭圆定值问题 解题贴士 椭圆定值问题核心是证明式子数值与变量无关，常见距离、面积、斜率、乘积定值。联立直线与椭圆方程，利用韦达定理整合已知表达式。通过代数化简消去动态参数，最终得到固定数值。解题无需复杂推导，重点掌握整体代换、因式分解等化简技巧。 典｜例｜精｜析 【例19】已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【例20】已知椭圆：的离心率为且经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于异于的两点、，设直线、的斜率分别为、，请写出与之间的等量关系，并证明你的结论． 变｜式｜巩｜固 【变式10-1】已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【变式10-2】已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【变式10-3】已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值； 基础通关 一、单选题 1．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点是上除长轴端点外的动点，若的周长恒为6，面积的最大值为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，为椭圆上一点，为中点，若的周长为6，则椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则（    ） A．的短轴长为 B．的焦距为2 C．的周长为8 D．的离心率为 8．已知神舟十三号天和核心舱的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面千米，远地点距地面千米，地球半径为千米，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为千米 B．椭圆的短轴长为千米 C．椭圆的焦距为千米 D．椭圆的长轴长为千米 三、填空题 9．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为_____________． 10．已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 四、解答题 11．在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点.求的取值范围. 12．已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 素养提升 1．设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 3．已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 4．已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 5．已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)当的长度为时，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 迁移创新 1．如图所示，当篮球放在桌面上并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．假设篮球的半径为1，灯泡与桌面的距离为6，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为，则此时椭圆的离心率等于_____. 2．已知椭圆的一个焦点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，，的中点为．设为原点，射线交椭圆于点．当与的面积相等时，求的值． 3．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $