3.2.1 单调性与最大（小）值（1）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的单调性与最大（小）值，通过回顾函数定义及表示法，以“自变量增大函数值变化、是否有最值、图象特征”为思考方向，搭建前后知识衔接的学习支架，引导学生从变量对应关系过渡到单调性概念。 其亮点在于采用自主研读梳理定义关键问题，结合“设元、作差、变形、定号、结论”五步法证明规范及对勾函数等典例解析，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（符号表达）。学生能掌握严谨证明方法，教师可借助分层例题提升教学效率。

回顾与展望 前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化规律的数学模型 客观规律 随自变量增大函数值如何变化？ 有没有最值？ 图象有什么特征：对称、周期等 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 自主研读 P76~P78，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 数学上如何定义函数在区间上“上升”（递增）？ 定义中的“任意两个自变量x₁, x₂”和“当x₁ < x₂时，都有f(x₁) < f(x₂)”分别说明了什么？ 什么是增函数、减函数、单调区间？ 函数的单调性是对整个定义域而言的吗？ 单调性： 设函数f (x)的定义域为 D ，区间I⊆D，∀x1， x2∈ I ，且x1<x2， x y 0 如果都有f (x1) < f (x2)，那么就说函数f (x)在区间 I 上单调递增 如果都有f (x1) > f (x2)，那么就说函数f (x)在区间 I 上单调递减 如果函数y＝f (x)在区间 I 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 I 叫做y＝f(x)的单调区间． 问题一：对概念中“设函数f (x)的定义域为 D ，区间I⊆D，∀x1， x2∈ I ”如何理解？  区间I⊆D：单调性是函数局部性质，单调区间是定义域的子集 ∀x1， x2∈ I ：必须对所研究区间内所有自变量都满足才能说有单调性 P77思考（1）设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1， x2∈ A，当x1 < x2时，都有f (x1) < f (x2) ，能说函数在区间I上单调递增吗？ x y O -2 2 x3 x2 x1 必须包括所有自变量 问题二：体现“递增”“递减” 的语句是哪些？  对任意 x1 < x2，必有 f(x1) < f(x2) 如果函数 f(x) 在区间I上是增函数，那么在它的图象上，从左向右看，图象的走势一定是“一直向上”的吗？是否可以存在“平行”甚至“微小的下降”？ 随着自变量的增大，函数值必须严格增大 对任意 x1 < x2，必有 f(x1) > f(x2) 随着自变量的增大，函数值必须严格减小 不可以 问题三：如果一个函数有多个单调区间，可否“并”在一起？  x2 x1 x y O x y O 不能并 不能并 可以能并 单调区间I是定义域的子集. 定义域可能由多个单调区间拼接而成 有些函数在整个定义域上单调，如：一次函数 单调性是函数局部性质 增函数，减函数： 特别的，函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数； 函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 问题三：结合例1，例2，你认为用定义证明函数单调性的规范步骤是怎样的？易错点是什么？ 证明函数 是减函数. 设元 作差、变形 定号 定论 下结论 易错点 变形不彻底 不写分析过程 典例精析 例1:根据定义证明函数 在区间(1,+∞)上单调递增． 设元 作差、变形 定号 定论 下结论 典例精析 例2:讨论函数 在区间(0,+∞)上的单调性．(P86. 8(3)) 对勾函数 典例精析 归纳总结 1.单调性定义的核心是“任意…都有…”，这是判断和证明的依据 2.判断函数单调性的两种基本途径：图象观察法（直观）、定义证明法（严谨） 3.定义证明的 “五步法” ：设元 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论 随堂小测 课本P79 1，2，3，4 课本P86 6，8（1） 课后作业 课本P85 习题3.2 1 课本P86 2，3，8（2） 证明： ，且，则 ． 因为 ，且 ， 所以 ； 又 ，于是 即： 所以，函数 是减函数． 因为 EMBED Equation.DSMT4 ．所以 所以 在区间上单调递增． 证明：设 ，且，则 所以 ，即 ． 变式：已知函数f(x)＝eq \f(1,x2－1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，＋ )上的单调性，并加以证明． 【解析】(1)由x2－1≠0得x≠±1，故函数f (x)的定义域为{x|x≠±1}． (2)函数f(x)在(1，＋ )上单调递减．理由如下： x1，x2 (1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2,1)eq \f(1,x－1) －2,2)eq \f(1,x－1) ＝2,2)eq \f(（x－1）－（xeq \o\al(2,1)－1）,（xeq \o\al(2,1)－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) ＝2,1)eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,（x－1）（xeq \o\al(2,2)－1）) . 因为xeq \o\al(2,1)－1>0，xeq \o\al(2,2)－1>0，x2＋x1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(1，＋ )上单调递减． 证明：设 ，且 ，则 则 . ①当 时， ，又 ， 即 . 在 ]上为减函数. ②当 时， ，又 ， ，即 . 在 上为增函数. 例3：设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3，－4≤x<0，,－x＋3，x≥0，)) 试分析函数的定义域、值域、单调区间． 【解析】函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的定义域为[－4，＋ )， 值域为(－ ，3]， 单调递增区间为(－2，0)， 单调递减区间为(－4，－2)和(0，＋ )． $