1.2.1 有理数的概念知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版

1.2.1 有理数的概念　知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版 一、从"数不够用"到有理数 上一节我们认识了负数，数的家族里多了"小于 0 的数"。可是这样一路加下去，数的家族到底有多少成员？它们之间又是什么关系？要回答这些问题，就得先弄清楚一个更大的"家族"——有理数。 回忆一下，我们已经学过的数可以分成两大类： 整数：像 −3、−2、−1、0、1、2、3 这样没有小数部分、也没有分数部分的数。其中 1、2、3… 叫正整数，−1、−2、−3… 叫负整数，0 单独算一个。 分数：像 、、−、1.5、−0.25 这样能写成"两个整数相除"形式的数。 把这两类合起来，就得到了本节的核心定义。 二、有理数的定义 定义：整数和分数统称为有理数。 本质特征：任何一个有理数都可以写成两个整数之比的形式 （p、q 为整数，且 q ≠ 0）。反过来，能写成这种形式的数，就是有理数。 理解这个定义，要抓住两点： 第一，"统称"二字说明有理数是一个"总数"。它不是整数和分数之外的第三种数，而是整数与分数合起来的整体名称。就像"学生"是"男生和女生"的统称一样，有理数 = 整数 + 分数。 第二，整数其实也是分数。例如 ，−5 = −，0 = 。任何整数都能写成分母为 1 的分数形式，所以整数天然属于有理数。这也是为什么定义里用"统称"而不是"相加"——它们本来就是一家人。 特别注意：π 不是有理数。π = 3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成两个整数之比，所以不属于有理数。判断一个数是不是有理数，关键是看它能不能化成两个整数之比。 三、有理数的两种分类 同一个有理数家族，可以按不同的"标准"排队，最常用的有两种分法。理解这两种分法的区别，是本节的重点。 1. 按定义分类：有理数 = 整数 + 分数 有理数 整数 正整数（如 1，2，100） 负整数（如 −1，−2，−100） 分数 正分数（如 ，，1.5） 负分数（如 −，−0.25） 2. 按正负分类：有理数 = 正有理数 + 0 + 负有理数 有理数 正有理数 正整数（如 1，2，100） 正分数（如 ，，1.5） 0（单独一类） 0 既不是正数，也不是负数 负有理数 负整数（如 −1，−2，−100） 负分数（如 −，−0.25） 3. 两种分类的对比 比较角度 按定义分类 按正负分类 分类标准 按数的形式（是整数还是分数） 按数的符号（是正、是负还是 0） 第一层 整数、分数（共 2 类） 正有理数、0、负有理数（共 3 类） 0 的位置 归入整数 单独一类，不属于任何一边 细分结果 正整数、负整数、正分数、负分数（0 在整数中） 正整数、正分数、负整数、负分数（0 单独列出） 统一记忆：无论哪种分法，细分到最底层，得到的都是这 五类——正整数、负整数、正分数、负分数、0。区别只在于：按定义分时 0 藏在"整数"里，按正负分时 0 要单独拎出来。抓住这五类，任何有理数都能对号入座。 四、小数与有理数的关系 小数到底算不算有理数？这是同学们最容易犯迷糊的地方。请记住下面这张"归属表"： 小数的类型 举例 是否属于有理数 有限小数 0.5、−2.75、1.25 是。都可以化成分数（0.5 = ，−2.75 = −） 无限循环小数 0.333…、0.1212… 是。循环小数都能化成分数，属于有理数 无限不循环小数 π = 3.1415926… 不是。不能化成两个整数之比，是无理数 易错提醒：因为有限小数和无限循环小数都能化成分数，所以在分类时，遇到 0.5、−1.25 这样的数，要把它们看成分数（即正分数或负分数），而不是"既不是整数也不是分数"的另类。判断时先把它化成分数，再归入相应类别。 五、0 的位置 0 在有理数家族中非常"特殊"，务必弄清它的四重身份： ① 0 是整数。它属于整数这一类。 ② 0 是有理数。因为整数统称为有理数的一部分，所以 0 自然是有理数。 ③ 0 不是正数，也不是负数。它既不属于正有理数，也不属于负有理数。 ④ 0 是正数与负数的分界。比 0 大的是正数，比 0 小的是负数。 反向检验："0 是最小的整数"对吗？——不对，还有 −1、−2 等比它小的整数。"0 是最小的有理数"对吗？——也不对，没有最小的有理数。0 只是正整数与负整数的分界，不是"最小"。 六、常见概念辨析 说法 判断 理由 一个有理数不是整数就是分数 对 这正是有理数的定义：整数和分数统称有理数。 0 不是有理数 错 0 是整数，而整数都是有理数，所以 0 是有理数。 小于 3 的正整数只有 1、2 对 正整数是 1、2、3…，小于 3 的只有 1 和 2。注意 0 不是正整数。 −a 一定是负有理数 错 当 a 是负数或 0 时，−a 是正有理数或 0。含字母要讨论。 所有的小数都是有理数 错 有限小数和无限循环小数是有理数，但无限不循环小数（如 π）不是。 非负整数就是指正整数 错 "非负"指不是负的，即 ≥ 0，所以非负整数包括正整数和 0。 几个常用"非"字表述（易混，需记牢）： 非负数 = 正数和 0　　非正数 = 负数和 0 非负整数 = 正整数和 0　　非正整数 = 负整数和 0 非负有理数 = 正有理数和 0　　非正有理数 = 负有理数和 0 规律："非"字只排除一个方向，0 永远保留（因为 0 既不是正也不是负）。 七、分层例题精讲 【第一层：概念识别】 例 1　把下列各数填入相应的集合中： −7，　0，　3.14，　−，　＋5，　−0.6，　100，　−(−2)，　0.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次增加） 正整数集合：｛　　｝　　负分数集合：｛　　｝ 思路：先化简，再按定义归类。注意最后那个小数是无限不循环小数，不是有理数。 解：正整数集合：｛＋5，100，−(−2)｝（因为 −(−2) = 2，是正整数）； 　　　负分数集合：｛−，−0.6｝（−0.6 = −，是负分数）； 　　　有理数集合：｛−7，0，3.14，−，＋5，−0.6，100，−(−2)｝（不含最后一个无限不循环小数）。 易错点：① 忘记把 −(−2) 化简，误归类；② 把无限不循环小数当成有理数。 例 2　下列说法正确的是（　　） A. 有理数分为正有理数和负有理数　　B. 0 既不是整数也不是分数 C. 一个有理数不是整数就是分数　　　D. 小数都是有理数 思路：逐个用定义检验。 A 错：漏掉 0；B 错：0 是整数；D 错：无限不循环小数不是有理数。 答案：C。 【第二层：分类与归属】 例 3　判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）−3.5 是负分数；　（2）0 是正有理数；　（3）−100 是负整数，也是负有理数。 解：（1）对。−3.5 = −，是负分数。 　　（2）错。0 既不是正数也不是负数，不属于正有理数。 　　（3）对。−100 是负整数；负整数属于负有理数，所以它也是负有理数。 例 4　把下列各数按要求分类：−8，＋2.5，0，−1.5，−，6，−0.7，17。 （1）其中整数有＿＿＿＿；分数有＿＿＿＿； （2）其中正有理数有＿＿＿＿；负有理数有＿＿＿＿。 思路：同一批数，按不同标准分类，结果不同，要分清题目问的是哪种标准。 解：（1）整数有 −8、0、6、17；分数有 ＋2.5、−1.5、−、−0.7（2.5 = ，−1.5 = −，−0.7 = −）； 　　（2）正有理数有 ＋2.5、6、17；负有理数有 −8、−1.5、−、−0.7。 【第三层：辨析说理】 例 5　（1）"非负整数就是正整数"这句话对吗？为什么？ （2）请写出三个既不是正数也不是负数的数。 解：（1）不对。"非负"表示"不是负的"，即大于或等于 0，所以非负整数包括正整数和 0。例如 0 就是非负整数，但不是正整数。 　　（2）0、0.0、−0（都等于 0）。（此类题答案不唯一，只要写出的数都等于 0 即可。） 例 6　已知 a 是有理数，下列说法：① −a 是负数；② |a| 是正数；③ a 与 −a 中必有一个是负数。其中正确的有几个？ 思路：含字母的题必须对 a 的取值分类讨论——a 可能是正数、负数或 0。 解：① 错：当 a = 0 时，−a = 0 不是负数； 　　② 错：当 a = 0 时，|a| = 0 不是正数； 　　③ 错：当 a = 0 时，a 与 −a 都是 0，都不是负数。 总之，正确的有 0 个。 点评：凡含字母的判断题，先想 a 能不能等于 0，往往一举识破陷阱。 【第四层：综合应用】 例 7　从 −5、0、4.5、−、7、−1 中任取三个数，按要求各写一组： （1）一个整数、一个负分数、一个正有理数； （2）三个负有理数。 解（答案不唯一，合理即可）： （1）取整数 7、负分数 −、正有理数 4.5； （2）取 −5、−、−1（三个都是负有理数）。 例 8　小丽把"有理数"按自己的理解分成了三类（见下表）。请判断她的分类是否合理，并说明理由。 小丽的分类 内容 第一类 正整数、负整数 第二类 正分数、负分数 第三类 0 解：小丽的分类把 0 单列，是按正负分类的思路，得到正有理数（正整数、正分数）、负有理数（负整数、负分数）、0 三类，是合理的。 如果按定义分类，则整数（正整数、负整数、0）和分数（正分数、负分数）统称有理数，0 归在整数里。 点评：本题重在体会"分类标准要统一"——同一次分类不能用两个不同的标准。 例 9　（数学文化）"有理数"这个名字从何而来？请查阅资料，简要说说它的由来。 参考："有理数"来自英文 rational number，其中的 ratio 是"比率"的意思。有理数原本指"能写成两个整数之比的数"。由于历史上翻译的沿袭，"有理数"这个名称沿用至今。所以"有理数"并不意味着"更有道理的数"，而是"能写成整数之比的数"。 说明：理解名称由来，有助于记住有理数的本质——能写成 p/q（p、q 为整数，q ≠ 0）形式的数。 八、本节知识结构梳理 1. 一个定义。整数和分数统称有理数；本质是能写成 p/q（q ≠ 0）的形式。 2. 两种分类。按定义分 → 整数、分数；按正负分 → 正有理数、0、负有理数。两者细到最底层都是"五类"：正整数、负整数、正分数、负分数、0。 3. 0 的四重身份。是整数、是有理数、不是正数也不是负数、是正负数的分界。 4. 小数归属。有限小数、无限循环小数都是有理数；无限不循环小数（如 π）不是。 5. "非"字规律。"非"只排除一个方向，0 永远保留。 易错清单（考前必看）： ① 漏 0 —— 分类时忘记 0 是整数、是有理数，或在正负分类中不给 0 单列； ② 小数误判 —— 把有限小数、循环小数当成"非有理数"；或把 π 当有理数； ③ 字母陷阱 —— 认为 −a、|a| 一定是负数/正数，忘记讨论 a = 0； ④ "非"字误解 —— 把"非负整数"当成"正整数"，漏掉 0； ⑤ 先化简 —— 遇到 −(−2)、|−3| 这类数，忘化简就归类； ⑥ 标准混乱 —— 同一次分类里混用"定义"和"正负"两个标准。 学科网（北京）股份有限公司 $