第18讲 动能 动能定理及其应用 讲义- 2027届高三物理一轮复习

第18讲 动能 动能定理 【基础回顾】 一、动能 1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能。 2．公式：。 3．单位：焦耳，。 4．矢标性：动能是标量，只有正值。 5．状态量：动能是状态量，因为 是瞬时速度。 二、动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量。 2．表达式： 或 。 3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。 题型一 动能及动能定理 动能与动能的变化的区别 （1）动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。 （2）动能没有负值，而动能变化量有正负之分。 表示物体的动能增加， 表示物体的动能减少。 应用动能定理的注意事项 （1）研究对象：单个物体或相对静止的几个物体构成的物体系。 （2）“一个参考系”：动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系。 （3）应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。 （4）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理。 （5）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 【例题精讲】 【例1】（2026·海南海口·一模）在工厂车间里，紧靠在一起的两个半圆柱承载装置、静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱模具，三者半径均为。的质量为，、的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为。工作人员用机械牵引系统对施加水平向右的拉力，使缓慢移动，直至恰好接触地面，整个过程中保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则（　　） A．受到的摩擦力方向一直向左 B．移动的整个过程中，受到的摩擦力增大 C．未拉时，对的支持力大小为 D．移动的整个过程中，拉力做的功为 【答案】C 【详解】C．设、对的弹力方向与竖直方向夹角为，对圆柱受力分析如图所示 受力平衡，由平衡条件可得 由几何关系可知，未拉时，对的支持力与竖直方向的夹角 解得，故C正确； A．由于对的支持力存在水平向右的分量，根据牛顿第三定律可知，对的压力水平分量始终向左，保持静止，故地面对的摩擦力方向始终向右，故A错误； B．对、、整体受力分析，竖直方向受整体重力和地面对、的支持力，由对称性可知地面对、的支持力大小相等均为 受地面的摩擦力为滑动摩擦，满足 故受到的摩擦力恒定不变，故B错误； D．由几何关系可知，初始时的球心高度为 恰好接触地面时球心高度为 下降的高度 向右移动的距离 过程中受到的滑动摩擦力恒为，故摩擦力做功的大小 根据动能定理得 解得拉力做的功为，故D错误。 故选C。 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A球的加速度大小为0.5g B．轻绳拉力对两小球的总功大于零 C．拉力对A球做的功等于A球动能的增加量 D．B球重力势能的减少量大于A球机械能的增加量 【答案】AD 【详解】A．设球质量为，轻绳拉力大小为，取球向下和球向上为各自正方向。轻绳不可伸长，两球加速度大小均为。分别对球和球应用牛顿第二定律，有和 联立解得，故A正确； B．设两球各移动距离，球上升、球下降。拉力对球做功为，对球做功为，两拉力的总功为，故B错误； C．对球，由动能定理得 所以，故C错误； D．以两球为系统，轻绳两端拉力的总功为零，故系统机械能守恒。球重力势能的减少量等于球机械能的增加量与球动能的增加量之和。落地前球速度不为零，其动能增加量大于零，因此球重力势能的减少量大于球机械能的增加量，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）一质量为m的物体自倾角为θ的固定粗糙斜面顶端由静止滑下，滑至斜面底端时动能为。若该物体以初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，到达斜面顶端时动能刚好减为零，则物体与斜面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设斜面长度为，下滑过程由动能定理得 上滑过程由动能定理得 联立两式得 解得 故选B。 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，光滑斜面上高为h的A处有一个小球自静止滚下，抵达光滑的水平面时，立即遇到一系列条形布帘B的阻挡，碰到n条布帘后停下，若从高处静止释放小球（小球每次碰布帘损失的动能相同），则能碰到布帘的条数为（     ） A．n B． C． D． 【答案】B 【详解】设小球每碰到一条布帘损失的动能为，小球从高度处静止释放，运动到水平面时的动能全部用于克服布帘阻力，根据能量守恒定律有 小球从高度2h处静止释放，设最终碰到的布帘条数为n'，同理有 联立解得 故选B。 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，已知重力加速度为g，下落的加速度为，在运动员打开伞之前下落h的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员的重力势能减少了 B．运动员的动能增加了 C．恒定阻力做功 D．运动员的机械能减少了 【答案】BD 【详解】A．根据重力做功与重力势能变化的关系有ΔEp＝－WG＝－mgh 即运动员的重力势能减少了mgh，故A错误； B．由牛顿第二定律可知，运动员受到的合外力大小为 根据动能定理可得 即运动员的动能增加了，故B正确； CD．机械能变化量等于重力势能变化量与动能变化量之和，所以运动员的机械能变化量为 即运动员的机械能减少了，根据功能关系，可知恒定阻力做功，故C错误，D正确。 故选BD。 题型二 动能定理解决变力做功问题 （1）动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便。 （2）当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即 。 【例题精讲】 【例1】（2026·河北唐山·模拟预测）如图所示，粗糙水平面上一质量为m的物体，在水平向右的外力F作用下由静止开始运动，水平外力F与物体位移的关系为，且物体与水平面间的滑动摩擦力恒为，则物体向右运动过程中的最大速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物体在水平方向受到外力和滑动摩擦力，因此合外力可表示为 当加速度（即合外力）时，物体的速度达到最大值 由于合外力与位移呈线性关系，合外力做的功等于图像与横轴围成的面积，如图所示 因此合外力做功为 代入动能定理 解得 故选B。 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）（多选）如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为的斜面底端，一质量为m可视为质点的物块从距弹簧上端d处从静止释放。当弹簧压缩量为d时，物块运动到最低点。物块与斜面间的动摩擦因数为，且弹簧始终在弹性限度内。已知劲度系数为k的弹簧，形变量为x时的弹性势能为，取，，重力加速度为g。从释放物块到物块第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（       ） A．摩擦产生的热量为 B．物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．物块的最大动能为 D．物块的最大速度为 【答案】AD 【详解】A．物块从释放到最低点沿斜面运动的距离为，摩擦产生的热量为，故A正确； B．根据功能关系，物块和弹簧组成的系统机械能的变化量等于除重力和弹力外其他力做的功，即摩擦力做的功。从释放到最低点，摩擦力做功 所以系统机械能减少了，故B错误； C．由物块在最低点时速度为零可得 整理得 设弹簧压缩量为，物块动能最大时合力为零，有 解得，从释放到该位置，由动能定理得 代入，和，整理得，故C错误； D．由最低点的能量关系可得 物块速度最大时满足 解得，由动能定理得 解得，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（26-27高三上·湖南·开学考试）水平粗糙桌面上的O点固定一根原长为l0的轻质橡皮绳，绳的另一端连接质量m=0.1kg的小物块。小物块从以O为圆心、l0为半径的圆周上A点，以初速度v0=2m/s沿圆周切线方向开始运动，经过一段时间后恰好停在该圆周上的B点。已知物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，橡皮绳始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小物块可能做匀变速曲线运动从A运动至B B．小物块可能沿一段圆弧轨迹从A运动至B C．小物块的位移大小可能等于0.8m D．小物块的运动路程为0.8m 【答案】D 【详解】A．匀变速曲线运动的条件是合外力恒定（加速度恒定），小物块运动过程中，橡皮绳弹力的大小、方向随伸长量变化，滑动摩擦力方向始终与速度方向共线且反向，也随速度方向变化，因此合外力是变力，加速度不恒定，不可能做匀变速曲线运动，故A错误； B．若小物块沿圆弧运动，切向滑动摩擦力会使速度大小持续减小，根据可知，小物块所需向心力持续减小；而圆弧运动半径不变时橡皮绳弹力大小恒定，无法匹配持续减小的向心力，因此不可能沿圆弧轨迹运动，故B错误； C．位移是A到B的直线距离（弦长），小物块轨迹为曲线，路程是轨迹长度，根据两点之间直线最短，位移大小一定小于路程，不可能等于0.8m，故C错误； D．初末位置小物块都在半径为l0的圆周上，橡皮绳均为原长，弹性势能变化为0，因此弹力总做功为0，根据动能定理可得 代入数据得，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如题图甲所示，某同学穿戴“外骨骼机器人”后，在斜面上用绳子拉着质量为m的物块，沿粗糙斜坡由静止开始向上运动，绳子的拉力F随物块位移x变化的关系图像如图乙所示。绳子始终平行于斜坡，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动。已知斜坡倾角为，重力加速度大小为g。对于整个过程，下列说法正确的是（     ） A．物块的机械能一直增加 B．物块与斜坡间因摩擦产生的热量为 C．物块做加速运动的时间等于做减速运动的时间 D．物块做加速运动的位移大于做减速运动的位移 【答案】C 【详解】A．根据功能关系可知，除重力以外的其它力做功等于机械能的变化量，而其它力即外力F和摩擦力的合力，初始一段时间内外力沿斜面向上，摩擦力一直沿斜面向下，外力与摩擦力的合力沿斜面向上，即其它力做正功，机械能增大，之后外力小于摩擦力，外力与摩擦力的合力沿斜面向下，即其它力做负功，机械能减小，故A错误； B．由图乙可得，拉力对物块做功 重力做的负功为 根据动能定理有 解得摩擦力做功为 故物块与斜坡间因摩擦产生的热量为，故B错误； D．由题知，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动，则有 根据动能定理有 即 解得 根据乙图，可知图像的函数关系为 则有 当合力为零时，速度最大，物块的运动状态由加速变成减速，则有 解得 代入 解得加速位移为 可知加速的位移等于减速的位移，均为，故D错误； C．设物块的最大速度为。刚开始，根据牛顿第二定律有 可知随着减小，加速度沿斜面向上减小，速度沿斜面向上增大，即物块做加速度不断减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，之后开始减速，根据牛顿第二定律有 可知随着继续减小，加速度沿斜面向下增大，速度沿斜面向上减小，即物块做加速度不断增大的减速运动，最后速度为零，作出图像如图所示 根据图像与时间轴围成的面积表示位移，且加速的位移与减速的位移相等，均为，即时间内围成的面积与时间内围成的面积相等，且纵坐标，即最大速度相等，可知加速的时间等于减速的时间，故C正确。 故选C。 【变式训练3】（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）如图所示，在水平面上，水平轻弹簧左端固定，右端连接质量为的滑块A，弹簧处于原长时自由端在点。质量为的滑块B靠在A的右侧，将B缓慢左移至弹簧的压缩量为处。现由静止释放B。已知A、B与水平面间的动摩擦因数分别为、，弹簧的劲度系数为（为重力加速度大小），弹簧始终在弹性限度内，两滑块均视为质点。下列说法正确的是（     ） A．A经过点时与B分离 B．A与B分离时的速度大小为 C．A的最大速度为 D．B在水平面上运动的最大位移为 【答案】BD 【详解】A．两滑块接触共同运动时取向右为正，对，整体由牛顿第二定律得 对由牛顿第二定律得 联立得 分离条件为 由分离条件得 分离时尚未到达点，故A错误； B．从释放到分离，由功能关系得 代入题给条件得 分离时两滑块速度大小为 分离时速度为该值，故B正确； C．的速度最大时，整体加速度为零，故有 此时弹簧压缩量为 由功能关系得 代入题给条件得 的最大速度为 的最大速度为该值，故C错误； D．分离后只受滑动摩擦力，做匀减速直线运动。由动能定理得 代入分离速度得 在分离前的位移为 从释放位置起的最大位移为 该位移为，故D正确。 故选BD。 题型三 动能定理在多过程问题中的应用 运用动能定理解决多过程问题的两种方法 方法一：分阶段应用动能定理 分阶段应用动能定理的适用情况 （1）题目需要求某一中间物理量； （2）受到的弹力、摩擦力等力发生变化； （3）力在各个过程中做功情况不同。 方法二：全过程应用动能定理 （1）适用情况：当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。 （2）全过程列式时要注意 ①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 ②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南邵阳·一模）一列由车头与拖车构成的货车在平直的铁路上匀速前进，货车所受阻力与车重成正比。某时刻拖车意外脱钩，货车司机保持原牵引力前进L的距离后才发现，便立即撤去牵引力。已知车头与拖车的质量分别为M、m，两车均停止运动后，两车之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设阻力与车重的比例系数为，列车原匀速行驶，故牵引力等于总阻力 设拖车的总位移为，脱钩后拖车仅受阻力，由动能定理得 解得 其中为脱钩时两车的共同速度，设车头的总位移为，车头全程牵引力做功，阻力全程做功，由动能定理得 与联立解得 故两车停止后的距离 故选D。 【例2】（26-27高三上·河北雄安·阶段检测）（多选）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道、组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从点由静止开始无初速下滑，在倾角为的段匀加速下滑，在倾角为的段匀减速下滑，恰好静止在终点。已知段滑道的长度为，段滑道的长度为，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（    ） A．游客在段加速下滑的条件为 B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至点且速度不为零 C． D．游客从点到点的运动时间与从点到点的运动时间之比为 【答案】BD 【详解】A．游客在段加速下滑的条件为游客重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，即 化简得，即，故A错误； B．游客在A点和C点的速度都为0，根据动能定理可知，游客重力做的功等于摩擦力做的功。若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则摩擦力变小，摩擦力做的功变小，重力做的功大于摩擦力做的功，游客在C点的动能不为0，即游客一定可以滑至点且速度不为零，故B正确； C．对游客从A到C的全过程，由动能定理可得 化简得 进一步整理得 为上式的一组解，但此时游客从A到C匀速下滑，与题意不符，此组解应舍去，即，故C错误； D．设游客到达B点的速度为，则游客从A点到B点的平均速度为 游客从A点到B点的运动时间为 游客从B点到C点的平均速度为 游客从B点到C点的运动时间为 则游客从A点到B点的运动时间与从B点到C点的运动时间之比为,故D正确； 故选BD。 【变式训练1】（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）物块从斜面顶端A点释放，经B点（平滑过渡）进入水平面，最终停在C点，如图所示，物块与斜面和水平面动摩擦因数相等。现将A点或B点稍加移动，则（　　） A．将B点左移，C点位置一定改变 B．将A点上移，C点位置一定改变 C．将A点上移同时右移，C点位置可能不变 D．将A点下移同时右移，C点位置一定改变 【答案】B 【详解】设，，与水平方向的夹角为，则物块由A点运动到C点的过程，根据动能定理有 得 其中表示A、C两点的水平距离，设为，表示A、C两点的竖直距离，设为h，则有 A．将B点左移，即不变，则不变，故C点位置一定不变，故A错误； B．将A点上移，即增大，则增大，因A点水平方向没有移动，故C点将右移，故B正确； C．将A点上移同时右移，即增大，则增大，C点位置一定向右移，故C错误； D．将A点下移同时右移，即减小，则减小，C点位置可能不变，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（26-27高三上·重庆·开学考试）如图所示，左右水平地面间安装一水平传送带，三者处于同一水平面上。左侧地面上有一个长为的薄木板，木板与左侧地面间的动摩擦因数为0.1，初始时木板右端点与传送带左端点的距离为，速度，方向向右。传送带两端、的距离为，和木板间动摩擦因数为0.2。传送带保持速度顺时针匀速运转。右侧地面与木板动摩擦因数也为0.2。重力加速度。当木板停止运动时，木板左端到传送带右端点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题中，木板经历了多个相互作用过程（注意这里不是运动过程），我们不妨拆开分析： ①木板受左侧地面的相互作用： 如果我们把木板拆成一个个微小的质元，我们不难发现，最右侧的质元与左侧地面发生位移为的相互作用，而最左边的质元与左侧地面发生的相互作用。 由于这一系列的质元的位移是线性的，而每个质元所受的摩擦力都相同，因此我们利用平均的思想，可以等价地认为整个木板与左侧地面发生完整位移的相互作用。 设木板质量为，则该部分摩擦力对木板做功为 ②木板完全进入传送带前，木板受传送带的相互作用： 我们同样利用平均的思想，等价地认为整个木板与传送带发生完整位移的相互作用。 由于，且前一部分摩擦力对木板做负功，则该部分摩擦力一定对木板做正功 则该部分摩擦力对木板做功为 由于初态木板动能为 根据动能定理，可知木板完全进入传送带的瞬间，其动能为 此时木板速度为，说明木板恰好与传送带共速。 ③木板完全离开传送带前，木板受传送带和右侧地面的相互作用： 我们利用前面微元的思想，可以发现，在木板离开传送带的过程中，木板位于右侧地面的部分受到的摩擦力向左，而位于传送带部分受到的摩擦力向右，由于这两部分动摩擦因数相同，因此若两部分均产生动摩擦力时，各部分微元受到的摩擦力值均相同。 当木板位于传送带部分的长度比位于右侧地面部分的长度长时，若位于传送带部分的相互作用力是动摩擦力，则整体合力向右（因为木板位于右侧地面的部分受到动摩擦力是毋庸置疑的），木板有向右的加速度，则木板加速，其速度将大于传送带的速度，那么木板位于传送带的部分受到的摩擦力向左，这与前述假设矛盾，故该部分受到的摩擦力为静摩擦力，木板仍与传送带共速。 当木板位于传送带部分的长度小于位于右侧地面部分的长度时，木板整体合力向左，我们利用平均的思想，等价地认为整个木板与右侧地面发生完整位移的相互作用。 则该部分摩擦力对木板做功为 根据动能定理，可知木板完全离开传送带的瞬间，其动能为 ④木板完全进入右侧地面后，受右侧地面的相互作用： 当木板完全静止时，设该部分摩擦力对木板做功为，根据动能定理，有 因此 设该部分位移为，根据 解得，该值即为木板左端到传送带右端点的距离，故A正确。 故选A。 【变式训练3】（25-26高三上·安徽铜陵·期末）（多选）竖直墙面上固定有两个等高的钉子、，斜面轨道、支撑在钉子上，最低点在水平地面上，如图中实线所示。小滑块从处以大小为的初速度沿轨道下滑，运动到处时的速度大小为，到达处时恰好减速为零。重新调整两个斜面的倾角，使新的最低点仍在水平地面上，如图中虚线所示。小滑块从处以大小为的初速度沿轨道下滑，运动到处时的速度大小为，到达处时也恰好减速为零。已知滑块与轨道间的动摩擦因数处处相等，滑块在运动过程中始终未与墙面接触。两斜面均通过平滑小圆弧连接（图中未画出），忽略滑块经过圆弧时的能量损失。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．设两钉子的距离为，B点两侧轨道与水平方向夹角为，小滑块从运动至过程中，根据动能定理，有 即 同理可知 解得，A错误，B正确； CD．小滑块两次从运动到最低点过程，根据动能定理，有 即 同理， 解得，C正确，D错误。 故选BC。 题型四 动能定理解决机车启动问题 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功 ，由动能定理得 。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·山东威海·期中）质量为m的新能源汽车在水平路面上进行性能测试，启动过程的v-t图像如图所示，Oa为过原点的倾斜线段，ab为曲线，bc平行于时间轴，速度为时汽车达到额定功率，此后以额定功率行驶，时刻汽车达到最大速度，整个过程汽车所受阻力恒定。下列说法正确的是（     ） A．汽车所受阻力的大小为 B．汽车匀加速阶段的牵引力为 C．汽车匀加速阶段的时间为 D．从静止到最大速度汽车克服阻力做的功为 【答案】C 【详解】A．汽车所受的恒定阻力大小为，故A错误； B．汽车匀加速阶段的牵引力为，故B错误； C．汽车匀加速阶段，根据牛顿第二定律， 联立求得，汽车匀加速阶段的时间为，故C正确； D．汽车匀加速阶段，位移为 克服阻力做功为 解得 以额定功率行驶，根据动能定理得 从静止到最大速度汽车克服阻力做的功为，故D错误。 故选C。 【例2】（26-27高三上·河北邢台·开学考试）（多选）某汽车厂商测试一赛车的性能时，时使赛车在平直的赛道上从静止开始启动，发动机的功率随时间变化如图所示，在时刻赛车的速度恰好为零，测试过程赛车行驶的路程为x，赛车行驶过程受到的阻力大小恒定，则下列说法正确的是（     ） A．发动机功率增大过程，赛车可能做匀加速直线运动 B．发动机功率减小过程，赛车一定做匀减速直线运动 C．发动机功率最大时，赛车的速度最大 D．整个过程赛车受到的阻力大小等于 【答案】AD 【详解】A．取赛车运动方向为正方向，设发动机牵引力为，阻力大小为，赛车质量为。对赛车沿运动方向应用牛顿第二定律，有 发动机功率满足。功率增大阶段，图像为过原点的直线。若赛车做匀加速直线运动，由于初速度为零，由匀变速直线运动规律得 由前述动力学方程得 所以 该功率随时间线性增大，与图像第一段相符，赛车可能做匀加速直线运动，故A正确； B．功率减小只说明随时间减小，牵引力和加速度不一定保持不变。由及前述动力学方程可得 其中不由功率图像单独确定为常量，因此赛车不一定做匀减速直线运动，故B错误； C．赛车速度最大时应满足加速度为零，此时牵引力与阻力平衡。由可知 这只是速度达到最大值的条件，并不表示发动机功率达到最大值；功率最大时赛车的加速度未必为零，故C错误； D．图像与时间轴围成的面积表示发动机在整个过程中做的功，图像为三角形，所以发动机做功为 对赛车应用动能定理，发动机牵引力和阻力做功之和满足 赛车初、末速度均为零，故，从而阻力为，故D正确。 故选AD。 【变式训练1】（25-26高三·全国·一轮复习）“碳中和”“低碳化”“绿色奥运”是北京冬奥会的几个标签。本次冬奥会投入运行超1000辆氢能源汽车，是全球最大的一次燃料电池汽车示范。某款质量为M的氢能源汽车（如图所示）在一次测试中，沿平直公路以恒定功率P从静止启动做直线运动，行驶路程x，恰好达到最大速度。已知该车所受阻力恒定。下列说法正确的是（    ） A．启动过程中，车做匀加速直线运动 B．启动过程中，牵引力对车做的功为 C．车速从0增至的加速时间为 D．车速为时，车的加速度大小为 【答案】C 【详解】A．汽车以恒定功率P启动，根据功率公式 在启动过程中，随着速度v增大，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有 可知加速度a减小，即汽车做加速度减小的加速运动，不是匀加速运动，故A错误； B．汽车受到的阻力为 在启动过程中，根据动能定理有 所以牵引力对车做的功为，故B错误； C．车速从0增至的过程中，牵引力做的功为 所以，故C正确； D．车速为时，汽车的牵引力为 根据牛顿第二定律有 可解得，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·云南·开学考试）近日，在巴西里约热内卢，中联重科600吨级全地面起重机ZAT6000V863顺利完成验收交付，以卓越性能与稳定表现赢得客户高度赞誉。在某次测试时，起重机以恒定功率竖直向上提升质量为的货物，货物由静止开始在时间内达到最大速度，若空气阻力大小恒定，则货物在时间内上升的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设货物受到的空气阻力大小为，货物达到最大速度时，受力平衡，则有 根据功率计算公式有 对货物加速到最大速度过程由动能定理得 解得 故选A。 【变式训练3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）张雪机车首款电动摩托车搭载自研ZDYD轴向磁通电机，整车质量，电机额定输出功率 。在一次平直路面的性能测试中，车手从静止开始以额定功率启动，行驶过程中所受阻力恒为340 N。关于该启动过程，下列说法正确的是（     ） A．该车能达到的最大速度为50 m/s B．当车速为25 m/s时，加速度大小为 C．从启动到达到最大速度的过程中，牵引力做的功等于该车获得的动能 D．从启动到达到最大速度的过程中，牵引力做的功大于克服阻力做的功与该车获得的动能之和 【答案】AB 【详解】A．当牵引力等于阻力时，加速度为零，速度达到最大值，A正确； B．根据 可得此时的牵引力 由牛顿第二定律 解得，B正确； CD．根据动能定理 所以牵引力做的功等于克服阻力做的功与该车获得的动能之和，CD错误。 故选AB。 题型五 用动能定理解决图像问题 与动能定理结合紧密的几种图像 （1） 图：图线与横轴围成的面积表示物体的位移。 （2） 图：图线与横轴围成的面积表示力所做的功。 （3） 图：图线与横轴围成的面积表示力所做的功。 （4） 图：图线与横轴围成的面积表示物体速度的变化量 。 （5） 图像：由 可知， 图线的斜率表示合外力。 解决物理图像问题的基本步骤 （1）观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。 （2）根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。 （3）将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点及图线与坐标轴围成的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·河南周口·阶段检测）如图甲所示，一小物块由静止开始沿倾角为的斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、水平地面间的动摩擦因数相等，该过程中，物块的动能Ek与水平位移x的关系图像如图乙所示，则的大小等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块由静止下滑至斜面最低点的过程中，物块的动能 物块滑至斜面底端时动能为 此后在水平面上克服摩擦力做功，则有 整理得 由图乙可知其斜率绝对值之比为 即 故选B。 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【答案】BD 【详解】A．由题图可知，运动员下滑过程中机械能减小，运动员的机械能不守恒，除重力外还有其他力做功，故A错误； B．由功能关系可知，运动员下滑过程克服阻力做的功等于机械能的减少量，即|ΔE|＝fs，则运动员受到的阻力大小为，故B正确； CD．运动员下滑过程中受到的阻力大小f＝μmgcos30° 由功能关系可知(mgsin30°－f)s＝ΔEk 由题图可知Ek­s图线的斜率为 联立解得m＝60 kg，，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式训练1】（2026高三·全国·专题练习）如图（a），水平面上一质量为m的物块在拉力F作用下，以初速度由原点O出发，沿x轴依次经过M、N、Q三点．已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，，F随位置x的变化如图（b）所示．设物块经过N、Q两点时F的瞬时功率分别为，经过OM、MN、NQ段F的平均功率分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，从O到N过程中，由动能定理有 解得 从N到Q过程中，由动能定理有， 解得， 则有， 则有 设经过OM、MN、NQ段的时间分别为，物块在OM阶段，拉力小于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度减小的减速运动，速度由减速到，物块在MN阶段，拉力大于滑动摩擦力，随着拉力的增大，做加速度增大的加速运动，物体在O点的加速度大小为 N点的加速度大小为 则有 由对称性可得 物体在NQ阶段做加速度减小的加速运动，则在NQ段的平均速度大于MN段的平均速度，则有 根据F-x图像面积表示做功，由图可知，经过OM、MN、NQ段F做功分别为， 又有、、 可得 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）医用智能机器人在巡视中沿走廊做直线运动，下列描述其位移x和动能随时间t变化的图像中，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．位移是时间的单值函数，同一时刻机器人只能处于一个位置，图中同一对应两个，故A错误； B．图线存在向左弯折的部分，同一时刻对应多个位置，不符合图像的物理意义，故B错误； C．动能也是时间的单值函数，同一时刻机器人只能具有一个确定的动能，图中同一对应两个，故C错误； D．机器人的动能满足 图中任意时刻均只有一个确定的非负动能，动能先增大、后减小、再增大，说明机器人的速率发生相应变化，该运动过程可能出现，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在水平力F的作用下质量为 2kg的物体由静止开始在水平地面上做直线运动，水平力F随时间t变化的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10m/s²。则（    ） A．6s时物块的动能为零 B．4s时物块离初始位置最远，距离为12m C．0~6s时间内合外力对物块所做的功为16J D．0~6s时间内水平力F对物块所做的功为128J 【答案】BC 【详解】A．前3s内，根据牛顿第二定律有 又 可得 则3s时的速度 3s内的位移 3s~6s时间内F反向，根据牛顿第二定律有 解得 减速到速度为零的时间 即4s时速度减为零。减速运动的位移 然后反向匀加速，加速时间 此阶段 6s时的 加速运动的位移 可见6s末的速度不为零，则物块的动能不为零，A错误； B．4s时，物块距离初始位置最远，为，B正确； C．0~6s时间内合外力对物块所做的功为，C正确； D．0~6s时间内水平力F对物块所做的功，D错误。 故选BC。 题型六 应用动能定理解决物体在传送带运动问题 一、动能定理的核心内容与适用前提 动能定理的表达式为：合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量，即 在传送带问题中，动能定理仅适用于研究传送带上的单个质点（物块），要求物块的受力做功可计算、初末状态的动能可确定；不能直接对传送带整体应用（传送带受电动机驱动力，合外力做功难以直接计算）。 二、传送带问题中应用动能定理的核心要点 1. 做功的计算规则 (1) 重力做功：仅与物块初末位置的高度差有关，，与运动路径无关，倾斜传送带问题中需重点考虑。 (2) 滑动摩擦力做功：，其中是物块相对于地面的路程（不是相对传送带的位移）；若摩擦力方向与物块运动方向相同则做正功，相反则做负功。 (3) 静摩擦力做功：共速后物块与传送带相对静止时，静摩擦力做功同样用力乘以物块对地位移计算；若水平传送带上共速后无其他外力，静摩擦力为0，做功为0。 支持力始终与物块运动方向垂直，不做功。 2. 两种应用思路 1）分段应用动能定理：若题目需要求解中间状态的速度、某一阶段的摩擦力做功，或不同阶段摩擦力的大小/方向发生突变（如共速后摩擦力从滑动摩擦变为静摩擦、摩擦力方向反向），需以“共速”“速度为0”“到达传送带端点”为临界点拆分运动阶段，每个阶段单独列动能定理方程。 2）全过程应用动能定理（优先选用）：若不需要求解中间状态量，可将物块在传送带上的整个运动过程作为研究对象，直接累加所有力在全过程做的功，等于全过程初末状态的动能差，可避开复杂的加速度、时间计算，大幅简化运算。 3）注意：滑动摩擦力若在全过程中大小不变、方向始终与运动方向相反，总功为（总路程为物块相对地面走过的全部路径长度，不是位移大小）；若某一阶段摩擦力消失或变为静摩擦，需分段计算功再累加。 三、常见传送带场景的动能定理应用 1. 水平传送带场景 1）物块无初速释放：若传送带足够长，物块先受滑动摩擦力加速到与传送带共速，之后随传送带匀速。 加速阶段：滑动摩擦力做正功，，可直接求解加速阶段物块的对地位移，判断物块是全程加速还是先加后匀。 匀速阶段：摩擦力为0，做功为0，动能不变。 2）物块初速度与传送带同向： 若：滑动摩擦力向前做正功，物块加速，可通过动能定理判断物块到达传送带末端前是否共速； 若：滑动摩擦力向后做负功，物块减速，同理判断是否共速。 3）物块初速度与传送带反向：物块先受滑动摩擦力沿传送带方向，做匀减速运动到速度为0，再反向加速；若传送带足够长，反向加速到与传送带共速后匀速。全过程可直接对初末状态列动能定理，快速求解离开传送带时的速度。 2. 倾斜传送带场景 需额外考虑重力分力的做功： 物块共速后，需比较重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的大小，判断共速后的受力： 若：共速后物块与传送带相对静止，静摩擦力平衡重力分力，物块匀速，动能不变； 若：共速后物块受沿斜面向上的滑动摩擦力，继续向下加速，需单独对该阶段列动能定理。 四、关联能量问题的计算（动能定理+能量守恒） 传送带问题中除了求解物块的速度、位移，还常涉及摩擦生热、电动机多消耗的电能，需结合动能定理与能量关系分析： 1. 摩擦生热：滑动摩擦力与相对路程的乘积，即，其中是物块与传送带之间的相对滑动路程（不是物块对地位移），不能直接用动能定理求解，需分别计算物块和传送带的对地位移后求相对路程。 2. 电动机多消耗的电能：根据能量守恒，电动机多消耗的电能等于物块增加的动能与摩擦产生的热量之和，即，其中物块动能变化可直接通过动能定理得到。 五、解题规范步骤 1. 确定研究对象（通常为传送带上的物块），选定研究过程（分段/全过程），明确初、末状态的速度； 2. 分析过程中物块的受力，判断各力是否做功、做正功还是负功，准确计算每个力的功（注意滑动摩擦力做功对应物块对地位移，摩擦生热对应相对位移）； 3. 列动能定理方程，求解未知量； 4. 若涉及能量问题，结合相对位移计算摩擦生热，再用能量守恒求解电能等其他量； 5. 校验结果：判断共速临界点是否在传送带长度范围内，避免出现“物块已离开传送带还在按共速后运动计算”的错误。 典型易错点提醒 混淆“物块对地位移”和“物块相对传送带的位移”：前者用于计算摩擦力对物块做的功（动能定理），后者用于计算摩擦生热； 忽略共速后的摩擦力突变：共速后滑动摩擦力可能变为静摩擦力甚至消失，不能全程按滑动摩擦力计算做功； 滑动摩擦力做功的符号错误：摩擦力方向与物块运动方向相同时做正功，相反时做负功，反向运动阶段需重新判断摩擦力方向； 倾斜传送带中忘记重力做功，或错误用位移代替路程计算往复运动中滑动摩擦力的总功。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，水平传送带由电动机带动并始终保持以速度匀速运动。现将质量为的某物块由静止释放在传送带上的左端，经过时间物块保持与传送带相对静止。设物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，对于这一过程下列说法不正确的是（　　） A．物块加速过程，摩擦力对物块做正功 B．物块匀速过程，摩擦力对物块做负功 C．摩擦力对物块做功为 D．摩擦力对物块做功为 【答案】B 【详解】A．物块由静止加速，水平方向只受传送带给它的滑动摩擦力，方向与运动方向相同，故摩擦力做正功，故A正确； B．物块匀速过程中，物块和传送带一起运动，此时没有摩擦力的作用，所以摩擦力的功为零，故B错误； C．从静止到共速，只有摩擦力做功，由动能定理，故C正确； D．匀加速过程，传送带匀速，物块平均速度，设加速时间为，则物块位移 摩擦力大小，做功，故D正确。 本题选不正确的，故选B。 【例2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）如图所示，一质量为1 kg可视为质点的小物块自斜面上A点由静止开始下滑，斜面AB的倾角为37°，A、B间距离为4 m，经2 s运动到B点后通过一小段光滑的衔接弧面恰好滑上与地面等高的传送带，传送带以6 m/s的恒定速率顺时针运行，传送带B、C间距离为8 m，小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，不计衔接弧面的运动时间和空气阻力，取，，。下列说法正确的是（     ） A．小物块与斜面AB间的动摩擦因数为0.2 B．小物块在传送带上B、C之间的运动时间为1.5 s C．小物块在传送带上B、C之间的运动过程，相对传送带滑动的距离为1 m D．全过程摩擦力对小物块的总功为-16 J 【答案】BC 【详解】A．物块在斜面上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有，，联立运动学公式，解得，，A错误； B．根据运动学公式，物体在B点的速度，在传送带上，物体的加速度为，与传送带达到共速的时间为，物块的位移为，距离传送带右端的距离，此后做匀速直线运动，还需要的时间为，则小物块在传送带上B、C两点之间的运动时间为，B正确； C．传送带达到共速时，传送带的位移为，则相对位移为，C正确； D．对小物块分析，由动能定理，解得全过程摩擦力对小物块的总功为，D错误。 故选 BC。 【变式训练1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）传送带在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用，图为一传送带输送货物的简化模型：两端间距为L的传送带与水平面的夹角为θ，传送带以一定速度匀速率转动，一个质量为m的小物块在传送带上运动。小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。下列说法正确的是（　　） A．若传送带顺时针转动，将小物块轻轻放在传送带底端，则传送带的速度越大，物块到达顶端所用的时间越短 B．若传送带顺时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，则物块一定能到达传送带顶端且到达传送带顶端时的速度为零 C．若传送带逆时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，则物块返回到传送带底端时的速度不一定为v0 D．若传送带逆时针转动，物块从传送带顶端以v0冲上传送带，则物块一定先减速再加速运动 【答案】C 【详解】A．若传送带速度够大（物块与传送带未共速前物块就到达传送带顶端），则物块一直加速运动到顶端，对小物块，由牛顿第二定律有 可知物块加速度a不变，由于传送带长度不变，根据 可知物块到达顶端所用的时间不变，故A错误； B．若传送带顺时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，物块可能先减速到与传送带共速，也可能向上加速到与传送带共速，只有匀速到达顶端，故B错误； C．若传送带逆时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，物块向上运动时受到沿传送带向下的摩擦力，向下运动时，由于不知道传送带速度与v0的大小关系，故摩擦力方向可能会先沿传送带向下后沿传送带向上，也可能一直沿传送带向下，根据动能定理，物块返回到传送带底端时的速度不一定为v0，故C正确； D．若传送带逆时针转动且传送带不够长，则物块可能一直减速到顶端，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（2025·广东肇庆·二模）如图所示，足够长的传送带倾角为θ，以恒定速率v1沿顺时针方向传动。一物块从传送带顶端以初速度v2沿传送带向下滑上传送带，已知v2>v1，物块与传送带间的动摩擦因数。以物块刚滑上传送带的位置为起点，以传送带底端所在水平面为零势能面，则物块的速率v和动能Ek与路程x的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】AB．由于，则物块先向下匀减速运动，合力 方向沿斜面向上；速度减为零后物块向上做匀加速运动，合力 方向沿斜面向上。因为，所以物块向上运动到与传送带速度相同后，与传送带一起相对静止向上做匀速运动，此时物块所受合力为零，减速阶段 加速阶段 所以速率v与x的变化关系不是直线，故AB错误。 CD．由动能定理得 即 物块的动能Ek与x的图像斜率的绝对值为合力大小，动能减小过程和动能增加过程，图像的斜率绝对值相等，最后物块的动能小于初动能，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练3】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）（多选）如图所示，足够长的水平传送带顺时针匀速转动，速度为。劲度系数为的轻弹簧的一端固定在墙壁上，另一端拴接一个质量为的小物块，将小物块无初速度放到传送带上，此时弹簧水平且处于原长。传送带与小物块之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则小物块向右运动的过程中的最大速度和最大位移分别为 A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB．小物块刚放上传送带时，由牛顿第二定律得 随着弹簧形变量的增大，物块做加速度逐渐减小的加速运动。当小物块合外力为0时可得 解得 对小物块由动能定理得 解得 因此，当小物块速度增大到时，弹簧弹力小于滑动摩擦力，此后物块速度保持不变与传送带共速，直到弹力等于最大静摩擦力。此后，对小物块分析可知 物块做加速度逐渐增大的减速运动，直到速度减为0，物块的图像如下图所示 因此小物块向右运动的过程中的最大速度，故A正确，B错误； CD．从小物块弹力等于最大静摩擦力到速度减为0的过程中，弹簧弹力随位移线性增大，弹力做的功 由动能定理得 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 动能 动能定理 【基础回顾】 一、动能 1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能。 2．公式：。 3．单位：焦耳，。 4．矢标性：动能是标量，只有正值。 5．状态量：动能是状态量，因为 是瞬时速度。 二、动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量。 2．表达式： 或 。 3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。 题型一 动能及动能定理 动能与动能的变化的区别 （1）动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。 （2）动能没有负值，而动能变化量有正负之分。 表示物体的动能增加， 表示物体的动能减少。 应用动能定理的注意事项 （1）研究对象：单个物体或相对静止的几个物体构成的物体系。 （2）“一个参考系”：动能定理中的位移和速度应以地面或相对地面静止的物体为参考系。 （3）应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。 （4）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理。 （5）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。 【例题精讲】 【例1】（2026·海南海口·一模）在工厂车间里，紧靠在一起的两个半圆柱承载装置、静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱模具，三者半径均为。的质量为，、的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为。工作人员用机械牵引系统对施加水平向右的拉力，使缓慢移动，直至恰好接触地面，整个过程中保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。则（　　） A．受到的摩擦力方向一直向左 B．移动的整个过程中，受到的摩擦力增大 C．未拉时，对的支持力大小为 D．移动的整个过程中，拉力做的功为 【例2】（26-27高三上·北京海淀·开学考试）（多选）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（     ） A．A球的加速度大小为0.5g B．轻绳拉力对两小球的总功大于零 C．拉力对A球做的功等于A球动能的增加量 D．B球重力势能的减少量大于A球机械能的增加量 【变式训练1】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）一质量为m的物体自倾角为θ的固定粗糙斜面顶端由静止滑下，滑至斜面底端时动能为。若该物体以初动能从斜面底端沿斜面向上滑动，到达斜面顶端时动能刚好减为零，则物体与斜面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，光滑斜面上高为h的A处有一个小球自静止滚下，抵达光滑的水平面时，立即遇到一系列条形布帘B的阻挡，碰到n条布帘后停下，若从高处静止释放小球（小球每次碰布帘损失的动能相同），则能碰到布帘的条数为（     ） A．n B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，已知重力加速度为g，下落的加速度为，在运动员打开伞之前下落h的过程中，下列说法正确的是（     ） A．运动员的重力势能减少了 B．运动员的动能增加了 C．恒定阻力做功 D．运动员的机械能减少了 题型二 动能定理解决变力做功问题 （1）动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便。 （2）当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即 。 【例题精讲】 【例1】（2026·河北唐山·模拟预测）如图所示，粗糙水平面上一质量为m的物体，在水平向右的外力F作用下由静止开始运动，水平外力F与物体位移的关系为，且物体与水平面间的滑动摩擦力恒为，则物体向右运动过程中的最大速度为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）（多选）如图所示，一轻弹簧下端固定在倾角为的斜面底端，一质量为m可视为质点的物块从距弹簧上端d处从静止释放。当弹簧压缩量为d时，物块运动到最低点。物块与斜面间的动摩擦因数为，且弹簧始终在弹性限度内。已知劲度系数为k的弹簧，形变量为x时的弹性势能为，取，，重力加速度为g。从释放物块到物块第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（       ） A．摩擦产生的热量为 B．物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C．物块的最大动能为 D．物块的最大速度为 【变式训练1】（26-27高三上·湖南·开学考试）水平粗糙桌面上的O点固定一根原长为l0的轻质橡皮绳，绳的另一端连接质量m=0.1kg的小物块。小物块从以O为圆心、l0为半径的圆周上A点，以初速度v0=2m/s沿圆周切线方向开始运动，经过一段时间后恰好停在该圆周上的B点。已知物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，橡皮绳始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小物块可能做匀变速曲线运动从A运动至B B．小物块可能沿一段圆弧轨迹从A运动至B C．小物块的位移大小可能等于0.8m D．小物块的运动路程为0.8m 【变式训练2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）“外骨骼机器人”是一种能增强运动能力的可穿戴装置。如题图甲所示，某同学穿戴“外骨骼机器人”后，在斜面上用绳子拉着质量为m的物块，沿粗糙斜坡由静止开始向上运动，绳子的拉力F随物块位移x变化的关系图像如图乙所示。绳子始终平行于斜坡，当拉力F变为0时，物块恰能静止不动。已知斜坡倾角为，重力加速度大小为g。对于整个过程，下列说法正确的是（     ） A．物块的机械能一直增加 B．物块与斜坡间因摩擦产生的热量为 C．物块做加速运动的时间等于做减速运动的时间 D．物块做加速运动的位移大于做减速运动的位移 【变式训练3】（26-27高三上·重庆·开学考试）（多选）如图所示，在水平面上，水平轻弹簧左端固定，右端连接质量为的滑块A，弹簧处于原长时自由端在点。质量为的滑块B靠在A的右侧，将B缓慢左移至弹簧的压缩量为处。现由静止释放B。已知A、B与水平面间的动摩擦因数分别为、，弹簧的劲度系数为（为重力加速度大小），弹簧始终在弹性限度内，两滑块均视为质点。下列说法正确的是（     ） A．A经过点时与B分离 B．A与B分离时的速度大小为 C．A的最大速度为 D．B在水平面上运动的最大位移为 题型三 动能定理在多过程问题中的应用 运用动能定理解决多过程问题的两种方法 方法一：分阶段应用动能定理 分阶段应用动能定理的适用情况 （1）题目需要求某一中间物理量； （2）受到的弹力、摩擦力等力发生变化； （3）力在各个过程中做功情况不同。 方法二：全过程应用动能定理 （1）适用情况：当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。 （2）全过程列式时要注意 ①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。 ②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。 【例题精讲】 【例1】（2026·湖南邵阳·一模）一列由车头与拖车构成的货车在平直的铁路上匀速前进，货车所受阻力与车重成正比。某时刻拖车意外脱钩，货车司机保持原牵引力前进L的距离后才发现，便立即撤去牵引力。已知车头与拖车的质量分别为M、m，两车均停止运动后，两车之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三上·河北雄安·阶段检测）（多选）某景区山地滑道由两段平滑衔接的倾斜直滑道、组成，两段滑道材质相同、粗糙程度一致。如图所示，游客（含滑具，视为质点）从点由静止开始无初速下滑，在倾角为的段匀加速下滑，在倾角为的段匀减速下滑，恰好静止在终点。已知段滑道的长度为，段滑道的长度为，滑具与滑道间的动摩擦因数，不计空气阻力，不计滑道衔接处的机械能损失，下列说法正确的是（    ） A．游客在段加速下滑的条件为 B．若减小滑具与滑道间的动摩擦因数，则游客一定可以滑至点且速度不为零 C． D．游客从点到点的运动时间与从点到点的运动时间之比为 【变式训练1】（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）物块从斜面顶端A点释放，经B点（平滑过渡）进入水平面，最终停在C点，如图所示，物块与斜面和水平面动摩擦因数相等。现将A点或B点稍加移动，则（　　） A．将B点左移，C点位置一定改变 B．将A点上移，C点位置一定改变 C．将A点上移同时右移，C点位置可能不变 D．将A点下移同时右移，C点位置一定改变 【变式训练2】（26-27高三上·重庆·开学考试）如图所示，左右水平地面间安装一水平传送带，三者处于同一水平面上。左侧地面上有一个长为的薄木板，木板与左侧地面间的动摩擦因数为0.1，初始时木板右端点与传送带左端点的距离为，速度，方向向右。传送带两端、的距离为，和木板间动摩擦因数为0.2。传送带保持速度顺时针匀速运转。右侧地面与木板动摩擦因数也为0.2。重力加速度。当木板停止运动时，木板左端到传送带右端点的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·安徽铜陵·期末）（多选）竖直墙面上固定有两个等高的钉子、，斜面轨道、支撑在钉子上，最低点在水平地面上，如图中实线所示。小滑块从处以大小为的初速度沿轨道下滑，运动到处时的速度大小为，到达处时恰好减速为零。重新调整两个斜面的倾角，使新的最低点仍在水平地面上，如图中虚线所示。小滑块从处以大小为的初速度沿轨道下滑，运动到处时的速度大小为，到达处时也恰好减速为零。已知滑块与轨道间的动摩擦因数处处相等，滑块在运动过程中始终未与墙面接触。两斜面均通过平滑小圆弧连接（图中未画出），忽略滑块经过圆弧时的能量损失。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 题型四 动能定理解决机车启动问题 机车以恒定功率启动时，牵引力做的功 ，由动能定理得 。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·山东威海·期中）质量为m的新能源汽车在水平路面上进行性能测试，启动过程的v-t图像如图所示，Oa为过原点的倾斜线段，ab为曲线，bc平行于时间轴，速度为时汽车达到额定功率，此后以额定功率行驶，时刻汽车达到最大速度，整个过程汽车所受阻力恒定。下列说法正确的是（     ） A．汽车所受阻力的大小为 B．汽车匀加速阶段的牵引力为 C．汽车匀加速阶段的时间为 D．从静止到最大速度汽车克服阻力做的功为 【例2】（26-27高三上·河北邢台·开学考试）（多选）某汽车厂商测试一赛车的性能时，时使赛车在平直的赛道上从静止开始启动，发动机的功率随时间变化如图所示，在时刻赛车的速度恰好为零，测试过程赛车行驶的路程为x，赛车行驶过程受到的阻力大小恒定，则下列说法正确的是（     ） A．发动机功率增大过程，赛车可能做匀加速直线运动 B．发动机功率减小过程，赛车一定做匀减速直线运动 C．发动机功率最大时，赛车的速度最大 D．整个过程赛车受到的阻力大小等于 【变式训练1】（25-26高三·全国·一轮复习）“碳中和”“低碳化”“绿色奥运”是北京冬奥会的几个标签。本次冬奥会投入运行超1000辆氢能源汽车，是全球最大的一次燃料电池汽车示范。某款质量为M的氢能源汽车（如图所示）在一次测试中，沿平直公路以恒定功率P从静止启动做直线运动，行驶路程x，恰好达到最大速度。已知该车所受阻力恒定。下列说法正确的是（    ） A．启动过程中，车做匀加速直线运动 B．启动过程中，牵引力对车做的功为 C．车速从0增至的加速时间为 D．车速为时，车的加速度大小为 【变式训练2】（26-27高三上·云南·开学考试）近日，在巴西里约热内卢，中联重科600吨级全地面起重机ZAT6000V863顺利完成验收交付，以卓越性能与稳定表现赢得客户高度赞誉。在某次测试时，起重机以恒定功率竖直向上提升质量为的货物，货物由静止开始在时间内达到最大速度，若空气阻力大小恒定，则货物在时间内上升的高度为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）张雪机车首款电动摩托车搭载自研ZDYD轴向磁通电机，整车质量，电机额定输出功率 。在一次平直路面的性能测试中，车手从静止开始以额定功率启动，行驶过程中所受阻力恒为340 N。关于该启动过程，下列说法正确的是（     ） A．该车能达到的最大速度为50 m/s B．当车速为25 m/s时，加速度大小为 C．从启动到达到最大速度的过程中，牵引力做的功等于该车获得的动能 D．从启动到达到最大速度的过程中，牵引力做的功大于克服阻力做的功与该车获得的动能之和 题型五 用动能定理解决图像问题 与动能定理结合紧密的几种图像 （1） 图：图线与横轴围成的面积表示物体的位移。 （2） 图：图线与横轴围成的面积表示力所做的功。 （3） 图：图线与横轴围成的面积表示力所做的功。 （4） 图：图线与横轴围成的面积表示物体速度的变化量 。 （5） 图像：由 可知， 图线的斜率表示合外力。 解决物理图像问题的基本步骤 （1）观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。 （2）根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。 （3）将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点及图线与坐标轴围成的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·河南周口·阶段检测）如图甲所示，一小物块由静止开始沿倾角为的斜面向下滑动，最后停在水平地面上。斜面和地面平滑连接，且物块与斜面、水平地面间的动摩擦因数相等，该过程中，物块的动能Ek与水平位移x的关系图像如图乙所示，则的大小等于（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。已知运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜坡倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，重力加速度取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．运动员下滑过程中只有重力做功 B．运动员下滑过程中受到的阻力为60 N C．运动员下滑时滑板与斜坡的动摩擦因数为 D．运动员质量为60 kg 【变式训练1】（2026高三·全国·专题练习）如图（a），水平面上一质量为m的物块在拉力F作用下，以初速度由原点O出发，沿x轴依次经过M、N、Q三点．已知，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，，F随位置x的变化如图（b）所示．设物块经过N、Q两点时F的瞬时功率分别为，经过OM、MN、NQ段F的平均功率分别为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）医用智能机器人在巡视中沿走廊做直线运动，下列描述其位移x和动能随时间t变化的图像中，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）（多选）在水平力F的作用下质量为 2kg的物体由静止开始在水平地面上做直线运动，水平力F随时间t变化的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10m/s²。则（    ） A．6s时物块的动能为零 B．4s时物块离初始位置最远，距离为12m C．0~6s时间内合外力对物块所做的功为16J D．0~6s时间内水平力F对物块所做的功为128J 题型六 应用动能定理解决物体在传送带运动问题 一、动能定理的核心内容与适用前提 动能定理的表达式为：合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量，即 在传送带问题中，动能定理仅适用于研究传送带上的单个质点（物块），要求物块的受力做功可计算、初末状态的动能可确定；不能直接对传送带整体应用（传送带受电动机驱动力，合外力做功难以直接计算）。 二、传送带问题中应用动能定理的核心要点 1. 做功的计算规则 (1) 重力做功：仅与物块初末位置的高度差有关，，与运动路径无关，倾斜传送带问题中需重点考虑。 (2) 滑动摩擦力做功：，其中是物块相对于地面的路程（不是相对传送带的位移）；若摩擦力方向与物块运动方向相同则做正功，相反则做负功。 (3) 静摩擦力做功：共速后物块与传送带相对静止时，静摩擦力做功同样用力乘以物块对地位移计算；若水平传送带上共速后无其他外力，静摩擦力为0，做功为0。 支持力始终与物块运动方向垂直，不做功。 2. 两种应用思路 1）分段应用动能定理：若题目需要求解中间状态的速度、某一阶段的摩擦力做功，或不同阶段摩擦力的大小/方向发生突变（如共速后摩擦力从滑动摩擦变为静摩擦、摩擦力方向反向），需以“共速”“速度为0”“到达传送带端点”为临界点拆分运动阶段，每个阶段单独列动能定理方程。 2）全过程应用动能定理（优先选用）：若不需要求解中间状态量，可将物块在传送带上的整个运动过程作为研究对象，直接累加所有力在全过程做的功，等于全过程初末状态的动能差，可避开复杂的加速度、时间计算，大幅简化运算。 3）注意：滑动摩擦力若在全过程中大小不变、方向始终与运动方向相反，总功为（总路程为物块相对地面走过的全部路径长度，不是位移大小）；若某一阶段摩擦力消失或变为静摩擦，需分段计算功再累加。 三、常见传送带场景的动能定理应用 1. 水平传送带场景 1）物块无初速释放：若传送带足够长，物块先受滑动摩擦力加速到与传送带共速，之后随传送带匀速。 加速阶段：滑动摩擦力做正功，，可直接求解加速阶段物块的对地位移，判断物块是全程加速还是先加后匀。 匀速阶段：摩擦力为0，做功为0，动能不变。 2）物块初速度与传送带同向： 若：滑动摩擦力向前做正功，物块加速，可通过动能定理判断物块到达传送带末端前是否共速； 若：滑动摩擦力向后做负功，物块减速，同理判断是否共速。 3）物块初速度与传送带反向：物块先受滑动摩擦力沿传送带方向，做匀减速运动到速度为0，再反向加速；若传送带足够长，反向加速到与传送带共速后匀速。全过程可直接对初末状态列动能定理，快速求解离开传送带时的速度。 2. 倾斜传送带场景 需额外考虑重力分力的做功： 物块共速后，需比较重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的大小，判断共速后的受力： 若：共速后物块与传送带相对静止，静摩擦力平衡重力分力，物块匀速，动能不变； 若：共速后物块受沿斜面向上的滑动摩擦力，继续向下加速，需单独对该阶段列动能定理。 四、关联能量问题的计算（动能定理+能量守恒） 传送带问题中除了求解物块的速度、位移，还常涉及摩擦生热、电动机多消耗的电能，需结合动能定理与能量关系分析： 1. 摩擦生热：滑动摩擦力与相对路程的乘积，即，其中是物块与传送带之间的相对滑动路程（不是物块对地位移），不能直接用动能定理求解，需分别计算物块和传送带的对地位移后求相对路程。 2. 电动机多消耗的电能：根据能量守恒，电动机多消耗的电能等于物块增加的动能与摩擦产生的热量之和，即，其中物块动能变化可直接通过动能定理得到。 五、解题规范步骤 1. 确定研究对象（通常为传送带上的物块），选定研究过程（分段/全过程），明确初、末状态的速度； 2. 分析过程中物块的受力，判断各力是否做功、做正功还是负功，准确计算每个力的功（注意滑动摩擦力做功对应物块对地位移，摩擦生热对应相对位移）； 3. 列动能定理方程，求解未知量； 4. 若涉及能量问题，结合相对位移计算摩擦生热，再用能量守恒求解电能等其他量； 5. 校验结果：判断共速临界点是否在传送带长度范围内，避免出现“物块已离开传送带还在按共速后运动计算”的错误。 典型易错点提醒 混淆“物块对地位移”和“物块相对传送带的位移”：前者用于计算摩擦力对物块做的功（动能定理），后者用于计算摩擦生热； 忽略共速后的摩擦力突变：共速后滑动摩擦力可能变为静摩擦力甚至消失，不能全程按滑动摩擦力计算做功； 滑动摩擦力做功的符号错误：摩擦力方向与物块运动方向相同时做正功，相反时做负功，反向运动阶段需重新判断摩擦力方向； 倾斜传送带中忘记重力做功，或错误用位移代替路程计算往复运动中滑动摩擦力的总功。 【例题精讲】 【例1】（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）如图所示，水平传送带由电动机带动并始终保持以速度匀速运动。现将质量为的某物块由静止释放在传送带上的左端，经过时间物块保持与传送带相对静止。设物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，对于这一过程下列说法不正确的是（　　） A．物块加速过程，摩擦力对物块做正功 B．物块匀速过程，摩擦力对物块做负功 C．摩擦力对物块做功为 D．摩擦力对物块做功为 【例2】（25-26高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）如图所示，一质量为1 kg可视为质点的小物块自斜面上A点由静止开始下滑，斜面AB的倾角为37°，A、B间距离为4 m，经2 s运动到B点后通过一小段光滑的衔接弧面恰好滑上与地面等高的传送带，传送带以6 m/s的恒定速率顺时针运行，传送带B、C间距离为8 m，小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，不计衔接弧面的运动时间和空气阻力，取，，。下列说法正确的是（     ） A．小物块与斜面AB间的动摩擦因数为0.2 B．小物块在传送带上B、C之间的运动时间为1.5 s C．小物块在传送带上B、C之间的运动过程，相对传送带滑动的距离为1 m D．全过程摩擦力对小物块的总功为-16 J 【变式训练1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）传送带在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用，图为一传送带输送货物的简化模型：两端间距为L的传送带与水平面的夹角为θ，传送带以一定速度匀速率转动，一个质量为m的小物块在传送带上运动。小物块与传送带之间的动摩擦因数为μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。下列说法正确的是（　　） A．若传送带顺时针转动，将小物块轻轻放在传送带底端，则传送带的速度越大，物块到达顶端所用的时间越短 B．若传送带顺时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，则物块一定能到达传送带顶端且到达传送带顶端时的速度为零 C．若传送带逆时针转动且足够长，物块从传送带底端以v0冲上传送带，则物块返回到传送带底端时的速度不一定为v0 D．若传送带逆时针转动，物块从传送带顶端以v0冲上传送带，则物块一定先减速再加速运动 【变式训练2】（2025·广东肇庆·二模）如图所示，足够长的传送带倾角为θ，以恒定速率v1沿顺时针方向传动。一物块从传送带顶端以初速度v2沿传送带向下滑上传送带，已知v2>v1，物块与传送带间的动摩擦因数。以物块刚滑上传送带的位置为起点，以传送带底端所在水平面为零势能面，则物块的速率v和动能Ek与路程x的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式训练3】（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）（多选）如图所示，足够长的水平传送带顺时针匀速转动，速度为。劲度系数为的轻弹簧的一端固定在墙壁上，另一端拴接一个质量为的小物块，将小物块无初速度放到传送带上，此时弹簧水平且处于原长。传送带与小物块之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，则小物块向右运动的过程中的最大速度和最大位移分别为 A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $