精品解析：浙江金华市金华丽泽中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

2026学年第一学期九月独立作业 八年级数学试题卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 2. 下面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形三个内角的和等于180° B. 全等三角形的对应角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 相等的角是对顶角 5. 在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 7. 如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 12. “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是________米． 14. 一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为___________． 15. 如图，是的中线，是上的一点，且，连接．若的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 16. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则_______， _______． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．（按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺画直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出一个以为一边，面积为12的三角形； （2）在图2中画出一个以为腰的等腰三角形； （3）在图3中画出的角平分线（的三个顶点都在格点上）． 20. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． （1）当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． （2）如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 22. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买足球和篮球给同学们活动使用，若购买1个足球和2个篮球需用220元；若购买2个足球和1个篮球需用230元； （1）求购买一个足球和一个篮球各多少元； （2）如果购买足球和篮球共75个，且购买足球的数量不低于篮球数量的1.4倍，求最多可购买多少个篮球？ （3）学校根据实际情况，在（2）的前提下，要求购买的总费用不超过5700元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 23. 【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在①，②， ③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； （2）若关于x的不等式是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 24. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． （1）用含的代数式表示． （2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长． （3）如图2，延长交于点F，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九月独立作业 八年级数学试题卷 考试时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项中两条较短线段之和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项、，不能组成三角形； B选项、，不能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 2. 下面图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．  【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意 D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 3. 在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】x－1＜0的解集为x＜1， 它在数轴上表示如图所示， 故选B． 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 三角形三个内角的和等于180° B. 全等三角形的对应角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形性质，对顶角的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 三角形三个内角的和等于180°，是真命题，故该选项不符合题意； B. 全等三角形的对应角相等，是真命题，故该选项不符合题意； C. 等腰三角形的两个底角相等，是真命题，故该选项不符合题意； D. 有公共的顶点，角的两边互为反向延长线是对顶角，是假命题，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了判断命题真假，掌握三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形性质，对顶角的定义是解题的关键． 5. 在“古代计量工具复原”的跨学科实践活动中，同学们复刻了简易天平．如图，初始时，左盘放质量为的铜砝码，右盘放质量为的铁砝码，天平左低右高；随后，向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高．这一现象所体现的数学原理是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据天平左低右高可知左边质量大于右边质量，即；向两盘同时加入质量为的砝码后，天平状态不变，说明两边同时加上后不等关系依然成立，据此判断即可； 【详解】解：初始时天平左低右高，左盘质量为，右盘质量为， ， 向左右两盘同时加入一个质量为的陶制砝码，天平仍保持左低右高， 左盘总质量大于右盘总质量，即， 这一现象体现的数学原理是：不等式两边加同一个数，不等号的方向不变，即若，则． 6. 如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　） A. EH＝NG B. ∠F＝∠M C. FG＝MH D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM， A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意； D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 7. 如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可. 【详解】如图，过点D作于E， ，， ， ，BD平分， ， 即点D到AB的距离为2， 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 8. 如图，在中，，平分，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义得出，再根据垂直定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连接，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式可得与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 是等腰直角三角形，且， ， 是等腰三角形，且， ， ， ， 与的面积之差为 ， 当的长度变化时，与的面积之差保持不变， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12. “x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 14. 一个直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上中线长为___________． 【答案】6.5或6 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质．先利用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：当长为5和12的边长为两条直角边时，斜边长为：， 则斜边上的中线长为：． 当边长为12的边为斜边时， 则斜边上的中线的长为：； 故答案为：6.5或6． 15. 如图，是的中线，是上的一点，且，连接．若的面积为，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中的“等高模型”：当两个三角形高相等时，其面积之比等于底边之比，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为， ∴ ∵， 且中，边上的高与中，边上的高相等 ∴ ∴ 故答案为： 16. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则_______， _______． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，根据图形发现等量关系是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，再代入解方程得出，观察图1和图2，得出图2中的等于图1的，则，即，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图， 设为，为，为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， 结合两图，可得， 设为x， 根据勾股定理得： ∴， 解得：， ∴， 观察图1和图2，得出图2中的等于图1的， 则， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】， 解：由①得，， 由②得，， 原不等式组的解集为． 19. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．（按要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺画直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） （1）在图1中画出一个以为一边，面积为12的三角形； （2）在图2中画出一个以为腰的等腰三角形； （3）在图3中画出的角平分线（的三个顶点都在格点上）． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 即为所求作； （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据三角形面积公式，由底为6、高为4，作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义，以及，作出图形即可； （3）取格点F，连接交格点O，作射线交于E，根据等腰三角形的“三线合一”可得即为所求． 【小问1详解】 ∵， ∴边上的高 【小问2详解】 由勾股定理可得， 如图，，即为所求作 【小问3详解】 ∵， ∴平分． 20. 如图，，，点D在边上，，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21. 图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． （1）当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． （2）如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 【答案】（1）解：，理由如下： 根据题意可知，， ，， ， ∵， ， ， 故伸缩杆与窗框的位置关系为． （2） 【解析】 【分析】（1）借助勾股定理逆定理证出直角，得到伸缩杆与窗框的位置关系； （2）过点作，先求出线段、，根据勾股定理算出，再在中，利用勾股定理求出伸缩杆的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， 根据题意可知，， ，， ， ， ， ， 在中，． 22. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买足球和篮球给同学们活动使用，若购买1个足球和2个篮球需用220元；若购买2个足球和1个篮球需用230元； （1）求购买一个足球和一个篮球各多少元； （2）如果购买足球和篮球共75个，且购买足球的数量不低于篮球数量的1.4倍，求最多可购买多少个篮球？ （3）学校根据实际情况，在（2）的前提下，要求购买的总费用不超过5700元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】（1）购买一个足球需80元，一个篮球需70元； （2）最多可购买31个篮球； （3）有两种购买方案：①购买篮球30个，购买足球45个； ②购买篮球31个，购买足球44个． 其中方案②购买篮球31个，购买足球44个最省钱． 【解析】 【分析】（1）设购买一个足球需x元，则购买一个篮球需y元，由题意列出相应的二元一次方程组，从而可以得出答案； （2）设购买篮球m个，则买足球（75-m）个，根据题意列出相应的不等式，则可得出答案； （3）由购买的总费用不超过5700元可求出m的范围，结论（2）中m的取值可得出方案，列出算式可求出最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设购买一个足球需x元，则购买一个篮球需y元， 由题意得， 解得，， 答：购买一个足球需80元，一个篮球需70元； 【小问2详解】 设购买篮球m个，则买足球（75-m）个， 根据题意得： 75-m≥1.4m， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取31， 答：最多可购买31个篮球； 【小问3详解】 根据题意得，70m+80（75-m）≤5700， 解得m≥30， 又∵m≤31， ∴， ∵为正整数， ∴或 ∴有两种购买方案：①购买篮球30个，购买足球45个； ②购买篮球31个，购买足球44个． 方案①的总费用为30×70+45×80=5700（元）； 方案②的总费用为31×70+44×80=5690（元）； ∵5690＜5700， ∴购买篮球31个，购买足球44个最省钱． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式，利用方程的思想和不等式的性质解答． 23. 【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”． 【应用】 （1）在①，②， ③这三个一元一次不等式中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）； （2）若关于x的不等式是的“相斥不等式”，求a的取值范围； （3）若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相斥不等式”的定义即可求解； （2）根据“相斥不等式”的定义可得到关于a的不等式，求解即可；； （3）先“相斥不等式”的定义可得，然后求出不等式的解集为，然后得到，解关于k的不等式即可． 【小问1详解】 解：∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； ∵的解有可能是的解， ∴不是的“相斥不等式”； ∵的解都不是的解， ∴是的“相斥不等式”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式是的“相斥不等式”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解不等式得， ∵是关于的不等式的“相斥不等式”， ∴， 解得：． 24. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记． （1）用含的代数式表示． （2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长． （3）如图2，延长交于点F，若，求的长． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出； （2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可； （3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴， 又， ∴， ， ； 【小问2详解】 解：若， ， ∴， ， 由勾股定理得：； 若， ， ∴ ∴根据解析（1）可得：， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，延长至点G使得， ， ， ， ， ∴， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $