1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2　集合间的基本关系教学设计 一、教材分析 本节主要内容是集合间的包含与相等关系，包括子集、真子集、空集等概念及其性质。它是集合论的基础，也是后续学习函数定义域、值域及不等式解集的重要前提，在高中数学中起着承上启下的作用。考查热点主要集中在子集、真子集的辨析，空集的特殊性质，以及由集合包含关系求参数的取值范围。 二、学情分析 学生在初中已学习了实数的大小关系和方程的解集，对集合概念有了初步认识，具备了一定的抽象思维能力。但子集、真子集等概念较为抽象，特别是空集与子集关系的辨析，学生容易混淆，存在一定的学习难度。 三、教学目标 1.知识与技能 （1）理解子集、真子集、空集的概念，掌握集合与集合之间的包含与相等关系，能正确使用相关符号表示集合间的基本关系。 （2）能写出给定集合的所有子集和真子集，会利用韦恩图直观表示集合间的包含关系，理解空集是任何集合的子集。 2.过程与方法 （1）通过类比实数的大小关系，经历集合间基本关系的探究过程。 （2）体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法。 3.情感、态度与价值观 通过对集合间基本关系的探究，培养学生严谨的逻辑推理习惯，感受数学概念的简洁美与对称美，激发探索数学规律的兴趣。 四、教学重难点 1．教学重点：子集、真子集、空集的概念及集合间的基本关系。 1．教学难点：空集的概念及空集是任何集合子集的理解，集合包含关系的辨析。 五、教学方法 讲授法、提问法、讨论法。 六、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习导入 回顾初中所学的实数相等与大小关系。 教师提问：两个实数之间有相等、大于或小于关系，那么两个集合之间是否也有类似的关系呢？引导学生回顾实数关系，并思考集合间的联系。 通过类比实数关系，激发学生探究集合间关系的兴趣。 概念形成 1．出示实例： （1），。 （2）集合为高一（2）班全体女生组成的集合，集合为这个班全体学生组成的集合。 （3）为有两条边相等的三角形组成的集合，为等腰三角形组成的集合。 （4）集合的元素都属于集合，如图1。 （5）集合包含于集合。 （6）集合包含集合。 2．子集概念： （1）对于两个集合与，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集。 （2）记作或，读作包含于或包含。 教师提问：请同学们观察上述三个实例，类比实数间的相等与大小关系，思考两个集合之间有什么关系？学生讨论交流后发现，前两个例子中一个集合的所有元素都在另一个集合中，第三个例子中两个集合的元素完全一样。教师总结：这就是我们今天学习的子集与集合相等关系。 通过具体实例引导学生观察、类比，自主建构子集概念，培养抽象概括能力。 概念深化 1．继续举例深化概念： （1）如果集合的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等。 （2）记作，即若，且，则。 （3）如果集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。 教师提问：包含关系与属于关系有什么区别？请结合实例作出解释。 学生思考后回答：包含关系是集合与集合之间的关系，而属于关系是元素与集合之间的关系。例如表示集合是集合的子集，而表示元素属于集合。 教师继续提问：方程没有实数根，那么它的实数根组成的集合中有元素吗？ 学生回答：没有元素。教师总结：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，并规定空集是任何集合的子集。 通过辨析易混概念和引入空集，深化对集合间基本关系的理解，防止概念混淆。 概念深化 1．集合相等的定义：若且，则。 2．空集的定义与性质：不含任何元素的集合称为空集，记作。规定：空集是任何集合的子集，即对于任意集合，都有。 3．集合间基本关系的性质：任何一个集合是它本身的子集，即；对于集合、、，如果且，那么。 教师注意提醒学生：子集关系是集合与集合之间的关系，而属于关系是元素与集合之间的关系，两者符号不同，不能混用。 学生理解记忆，并在练习本上写出几个包含关系与属于关系的实例进行区分。 教师强调空集是一个集合，不含有任何元素，且空集是任何集合的子集，更是任何非空集合的真子集。 学生思考后提出疑问：空集是任何集合的真子集吗？教师引导分析：空集是任何非空集合的真子集，但不是它本身的真子集。 教师总结传递性：若且，则，这与实数大小关系的传递性类似。 明确子集与属于关系符号使用的规范，避免在后续学习中混淆。 强化空集的特殊性质及其在集合包含关系中的重要地位。 掌握集合包含关系的传递性，培养严谨的逻辑推理能力。 应用举例 例1．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 （1）回顾子集定义：若中任意元素都是的元素，则。 （2）回顾真子集定义：若且，则是的真子集。 思考：如何不重不漏地写出集合的所有子集？ 答案：,,,,;,, 例1．写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 （1）分析：集合的子集按元素个数分类写出，空集是0个元素的子集，含1个元素的有、，含2个的是。 （2）解：集合的所有子集为、、、。真子集为、、。 答案：,,,,;,, 通过具体集合求子集与真子集，巩固概念。 培养学生分类讨论的数学思想。 归纳小结 1．子集、真子集、空集的概念。 2．集合相等与包含关系的符号。 3．集合间基本关系的性质。 请同学们回顾本节课所学内容，说说子集与真子集的区别。学生回答后，教师补充：注意空集的特殊性，并抛出思考题：若且，则与有何关系？ 梳理本课知识脉络，强化重点，巩固所学。 七、板书设计 1．课题：集合间的基本关系 2．子集概念 3．真子集概念 （1）定义 （2）符号 （3）性质 4．空集 5．集合相等 6．集合的性质 7．韦恩图表示 例1．子集与真子集 （1）子集为、、、。 （2）真子集为、、。 学科网（北京）股份有限公司 $