1.4.1 充分条件与必要条件培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 　　一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系. 知识点一　充分条件与必要条件 项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出 关系 p q p q 条件 关系 p是q的 条件, q是p的 条件 p不是q的 条件, q不是p的 条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 , 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 (1)p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件或q是p的必要条件,或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. [例1]　(1)(苏教版必修第一册例题)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些? ①p:x=2,q:x2-x-2=0; ②p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形; ③p:同位角相等,q:两条直线平行; ④p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分. (2)(苏教版必修第一册例题)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些? ①p:|x|=1,q:x=1; ②p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等; ③p:同位角相等,q:两条直线平行; ④p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分. 　 充分、必要条件的判断方法 1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立. 2.也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. 1.下列“若p,则q”形式的命题中,分析p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 知识点二　充分、必要条件的应用 [例2]　已知集合P={x|-2<x<4},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若“x∈P”的充分条件为“x∈Q”,求实数m的取值范围. 已知集合P={x|-2<x<1},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若“x∈P”的必要条件为“x∈Q”,求实数m的取值范围. 　 充分条件与必要条件的应用技巧 1.应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 2.集合A={1,x2},B={1,4,x},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则x为(　　) A.0 B.-2 C.0或-2或1 D.0或±2 3.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A.-1≤a≤5 B.-1<a≤5 C.-2≤a≤3 D.-2≤a<3 1.知识清单: (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系. (3)充分条件、必要条件的判断. (4)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:忽略充分条件、必要条件不唯一;忽略求参数范围时能否取到端点值. 1.两个三角形全等的充分条件是(　　) A.两个三角形的两角对应相等 B.两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C.两个三角形的三边对应成比例 D.两个三角形的两边对应相等且夹角相等 2.已知p:-3<x≤1是q的必要条件,则q可以为(　　) A.-3≤x≤1 B.-3≤x<1 C.-3<x<1 D.-2<x<2 3.使x>3成立的一个充分条件是(　　) A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 4.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是　　　　.  1.设x∈R,则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　) A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4 2.下列哪一项是“a>5”的必要条件(　　) A.a<6 B.a>6 C.a<3 D.a>3 3.(多选)下列式子中,可以是x≤2的充分条件的有(　　) A.x<1 B.x<3 C.-1<x<1 D.x<2 4.已知a,b∈R,则“ab=0”的一个充分条件是(　　) A.a-b=0 B.a+b=0 C.a2-b2=0 D.a2+b2=0 5.设t∈R,α:x>0,β:x>t.若t使得α是β的充分条件,则t的取值范围是　　　　.  6.条件p:2-x>0,条件q:x<a,若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 7.已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 8.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是(　　) A.a>0,b>0 B.a+b>0 C.a<0,b<0 D.a>1,b>1 9.已知p:x<-2或x>10,q:x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　.  10设集合A={x||x|≤3},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},a∈R. (1)若集合B是空集,求a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围. 11.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 12.已知a,b是实数,求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件?试证明你的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 　　一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”等形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.下面我们将进一步探究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系. 知识点一　充分条件与必要条件 项目 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出 关系 p⇒q pq 条件 关系 p是q的充分条件, q是p的必要条件 p不是q的充分条件, q不是p的必要条件 定理 关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件, 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 (1)p⇒q,有方向,条件在前,结论在后. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件或q是p的必要条件,或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. (教材例1)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; (4)若x2=1,则x=1; (5)若a=b,则ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数. 解　(1)这是一条平行四边形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理,p⇒q,所以p是q的充分条件. (4)由于(-1)2=1,但-1≠1,pq,所以p不是q的充分条件. (5)由等式的性质知,p⇒q,所以p是q的充分条件. (6)为无理数,但×=2为有理数,pq,所以p不是q的充分条件. (教材例2)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件? (1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; (4)若x=1,则x2=1; (5)若ac=bc,则a=b; (6)若xy为无理数,则x,y为无理数. 解　(1)这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (2)这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (3) 如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,pq,所以,q不是p的必要条件. (4)显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件. (5)由于(-1)×0=1×0,但-1≠1,pq,所以,q不是p的必要条件. (6)由于1×=为无理数,但1,不全是无理数,pq,所以,q不是p的必要条件. [例1]　(1)(苏教版必修第一册例题)下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有哪些? ①p:x=2,q:x2-x-2=0; ②p:四边形的对角线相等,q:四边形是正方形; ③p:同位角相等,q:两条直线平行; ④p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分. (2)(苏教版必修第一册例题)下列所给的各组p,q中,p是q的必要条件的有哪些? ①p:|x|=1,q:x=1; ②p:两个直角三角形全等,q:两个直角三角形的斜边相等; ③p:同位角相等,q:两条直线平行; ④p:四边形是平行四边形,q:四边形的对角线互相平分. 解　(1)①因为p⇒q,所以p是q的充分条件. ②因为pq,所以p不是q的充分条件. ③因为p⇒q,所以p是q的充分条件. ④因为p⇒q,所以p是q的充分条件. (2)①因为q⇒p,所以p是q的必要条件. ②因为qp,所以p不是q的必要条件. ③因为q⇒p,所以p是q的必要条件. ④因为q⇒p,所以p是q的必要条件. 　 充分、必要条件的判断方法 1.判断p是q的什么条件,主要判断若p成立时,能否推出q成立,反过来,若q成立时,能否推出p成立. 2.也可利用集合的关系判断,如果条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. 1.下列“若p,则q”形式的命题中,分析p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 解　(1)由于q⇒p,pq,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)由于p⇒q,qp,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 知识点二　充分、必要条件的应用 [例2]　已知集合P={x|-2<x<4},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若“x∈P”的充分条件为“x∈Q”,求实数m的取值范围. 把“x∈P”的充分条件为“x∈Q”转化为Q⊆P,列出不等式组求解,并且注意讨论Q=⌀与Q≠⌀. 解　由已知,“x∈P”的充分条件为“x∈Q”,则Q是P的子集. 当3m-2>5m+2,即m<-2时,Q=⌀,满足题意; 当3m-2≤5m+2,即m≥-2时,由题意得解得0<m<. 综上,实数m的取值范围是. 已知集合P={x|-2<x<1},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若“x∈P”的必要条件为“x∈Q”,求实数m的取值范围. 解　由题意得,P是Q的子集, 则解得-≤m≤0. 即实数m的取值范围是. 　 充分条件与必要条件的应用技巧 1.应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题. 2.求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解. 2.集合A={1,x2},B={1,4,x},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则x为(　　) A.0 B.-2 C.0或-2或1 D.0或±2 解析　D　∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A⊆B,则①x2=4,解得x=±2;②x2=x,解得x=0或x=1(舍去).综上,x=0或x=±2. 3.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A.-1≤a≤5 B.-1<a≤5 C.-2≤a≤3 D.-2≤a<3 解析　A　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以解得-1≤a≤5. 1.知识清单: (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系. (3)充分条件、必要条件的判断. (4)充分条件与必要条件的应用. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:忽略充分条件、必要条件不唯一;忽略求参数范围时能否取到端点值. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.两个三角形全等的充分条件是(　　) A.两个三角形的两角对应相等 B.两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C.两个三角形的三边对应成比例 D.两个三角形的两边对应相等且夹角相等 解析　D　根据全等三角形的判定定理可得,当两个三角形的两边及其夹角对应相等时,两个三角形全等. 2.已知p:-3<x≤1是q的必要条件,则q可以为(　　) A.-3≤x≤1 B.-3≤x<1 C.-3<x<1 D.-2<x<2 解析　C　p:-3<x≤1是q的必要条件,结合各选项知q:-3<x<1. 3.使x>3成立的一个充分条件是(　　) A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 解析　A　只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3. 4.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是　　　　.  答案　a≤1 解析　因为x>1⇒x>a,所以a≤1. 1.设x∈R,则使x>3.14成立的一个充分条件是(　　) A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x<4 解析　C　设x>m是x>3.14的一个充分条件,则根据充分条件的判定得m≥3.14,选项C符合题意. 2.下列哪一项是“a>5”的必要条件(　　) A.a<6 B.a>6 C.a<3 D.a>3 解析　D　“a>5”的必要条件不等式范围包含“a>5”,选项中仅有a>3满足. 3.(多选)下列式子中,可以是x≤2的充分条件的有(　　) A.x<1 B.x<3 C.-1<x<1 D.x<2 解析　ACD　因为{x|x<1}⊆{x|x≤2},{x|x<3}⊇{x|x≤2},{x|-1<x<1}⊆{x|x≤2},{x|x<2}⊆{x|x≤2},所以A,C,D选项中的条件都是x≤2的充分条件,B选项中的条件是x≤2的必要条件. 4.已知a,b∈R,则“ab=0”的一个充分条件是(　　) A.a-b=0 B.a+b=0 C.a2-b2=0 D.a2+b2=0 解析　D　对于A:a-b=0即a=b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故A错误;对于B:a+b=0即a=-b,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故B错误;对于C:a2-b2=0即|a|=|b|,因为a,b∈R,所以ab=0不一定成立,故C错误;对于D:a2+b2=0即则ab=0成立,故D正确. 5.设t∈R,α:x>0,β:x>t.若t使得α是β的充分条件,则t的取值范围是　　　　.  答案　t≤0 解析　因为α:x>0,β:x>t,又α是β的充分条件,所以α⊆β,因此可得t≤0. 6.(8分)条件p:2-x>0,条件q:x<a,若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. 解　p:x<2,若p是q的充分条件,则p⇒q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≥2.即实数a的取值范围为{a|a≥2}. 7.(8分)已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 解　由于p:-1<x<3,又由-a<x-1<a,得1-a<x<1+a, 依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a},所以解得a≥2, 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}. 8.(多选)使ab>0成立的充分条件可以是(　　) A.a>0,b>0 B.a+b>0 C.a<0,b<0 D.a>1,b>1 解析　ACD　因为a>0,b>0⇒ab>0;a<0,b<0⇒ab>0;a>1,b>1⇒ab>0,所以选项A,C,D都是使ab>0成立的充分条件. 9.已知p:x<-2或x>10,q:x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　.  答案　a≤-9 解析　∵p是q的必要条件,∴q⇒p, ∴解得a≤-9. 10设集合A={x||x|≤3},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},a∈R. (1)若集合B是空集,求a的取值范围; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围. 解　(1)因为集合B是空集, 所以2-a>1+2a, 解得a<,所以a的取值范围为. (2)A={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}.“x∈A”是“x∈B”的充分条件等价于集合A是集合B的子集, 则集合B不是空集,2-a≤1+2a,解得a≥. 又解得a≥5,故a的取值范围为{a|a≥5}. 11.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 解析　A　因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙,如图. 综上,有丙⇒甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件. 12.已知a,b是实数,求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.该条件是否为必要条件?试证明你的结论. 证明　因为a2-b2=1,所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,证明如下: 若a4-b4-2b2=1,则a4-(b4+2b2+1)=0,即a4-(b2+1)2=0,即(a2-b2-1)(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1.因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $