1.4.1充分条件与必要条件讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，系统梳理推出关系、四种条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）、集合判断法等内容，通过思维导图构建知识框架，形成从定义理解到解题应用的学习支架。 资料以思维导图可视化知识脉络培养数学眼光，通过定义法、集合法等解题技巧训练数学思维，分层练习（A组基础、B组提升）结合详细解析助力数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固基础、提升能力，有效查漏补缺。

1.4.1充分条件与必要条件 第一部分【考点分布】 第二部分【知识储备】 项目 核心内容 推出关系 ：" 若则" 为真命题 充分条件 → 是的充分条件（有就够） 必要条件 → 是的必要条件（没不行） 充要条件 → 与互为充要条件（等价） 四种关系 ①充分不必要：， ②必要不充分：， ③充要： ④既不充分也不必要：互相推不出 集合判断 → 充分不必要 → 必要不充分 → 充要 口诀：小范围推大范围 解题方法 定义法 / 集合法 / 等价转化法（原命题 ⇔ 逆否命题） 易错点 语序不能颠倒；充分 / 必要条件不唯一；推不出举反例 第三部分【巩固练习】 A组 基础夯实 1．使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 3．在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 4．若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 6（多选题）．已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 7（多选题）．下列条件是“”的充分条件的是（    ） A．， B． C． D． 8．已知，其中．若是的必要条件，则实数的取值范围是_____． 9．若“”是“”的必要条件，则的取值范围是__________. 10．已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 11．已知集合，非空集合． (1)若，求：的取值集合； (2)若是的必要条件，求：的取值集合． 12．集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． B组 能力提升 13．下列选项正确的是（    ） A．“平行四边形的对角线互相垂直”是“这个平行四边形是菱形”的充分条件 B．“两个三角形的周长相等”是“这两个三角形全等”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 14．下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 15．若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ） A．若，则 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若，则 D．若，则， 17．下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 18．若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 19．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________． 20．若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 21．设全集，集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围（最终答案用集合的形式表示）． 第四部分【解题技巧总结】 必备技巧1： 充分、必要条件的判定 (1)定义法： ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法. 必备技巧2： 充分、必要条件的探索 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因此探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 方法技巧3： 由充分、必要条件求参数 根据充分、必要条件求参数的取值范围时，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第五部分【参考答案】 1．B 【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【详解】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 2．A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 3．B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 4．C 【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 5．C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 6．AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【详解】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 7．ABC 【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断ABC，由特例可判断D. 【详解】由，，可得，则，是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 由，可得，则由，可得，则是的充分条件. 取，满足，不满足，所以不是的充分条件. 故选：ABC 8． 【分析】记集合，由题意得，进而得，解出即可. 【详解】记集合． 因为是的必要条件，所以， 即，所以， 故答案为：. 9． 【分析】由题意可得集合是集合的子集，进而可求解. 【详解】因为“”是“”的必要条件，则集合是集合的子集， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 11．(1)； (2). 【分析】（1）首先求出集合的具体元素，根据判断集合中的元素特征，列方程求解的值，验证排除即可； （2）根据已知条件得出集合之间的关系，从而可得到集合的所有可能情况，逐一验证即可. 【详解】（1）化简得，解得或，所以， 因为，所以且， 所以，即，解得或， 当时，，即，化简得，解得或，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，化简得，解得或，即，满足题意. 故的取值集合为． （2）若是的必要条件，则， 又，由（1）可知或或. ①由（1）可知当时，. ②当时，由，解得或，由（1）知不成立； 当时，方程，即的解为或，，此时，舍去. ③当时，由（1）可得或，此时不成立，舍去； 当时，由（1）可知，此时，舍去. 综上所述：的取值集合为. 12．(1)8 (2) 【分析】（1）解不等式可化简集合B，即可得，然后由集合子集个数相关结论可得答案； （2）由题可得，然后分，为单元素集，为双元素集三种情况讨论可得答案. 【详解】（1）当时， ，， 其子集个数为个； （2）由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 13．A 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可解. 【详解】对于A中，平行四边形的对角线互相垂直是菱形的判定定理，即，所以A正确； 对于B中，三边分别为3，4，5的三角形是周长为12的直角三角形， 三边为4，4，4的三角形是等边三角形，两三角形周长相等但不全等，即，所以B错误； 对于C中，例如：当时，满足，但， 所以是的充分条件，所以C错误； 对于D中，若，满足，但不成立，所以D错误． 故选：A. 14．D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 15．B 【分析】由题意知可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题设，不等式且成立的充分条件是， 则，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 16．BCD 【分析】根据必要条件定义依次判断即可. 【详解】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例， 所以是的必要条件，故B符合题意； 对于C，由，则，能推出， 所以是必要条件，故C符合题意； 对于D，由，，能推出， 所以是的必要条件，故D符合题意. 故选：BCD 17．BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 18． 【分析】根据充分条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 19． 【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 20．(1)8个 (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得，进而写出子集个数； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 21．(1)； (2). 【分析】（1）利用补集的运算求出，利用交集的运算求出； （2）由“”是“”的必要条件，得到，利用子集的定义求解即可. 【详解】（1）当时，集合， 又因为全集，所以， 因为集合，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 又因为集合，，所以． 即的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $