1.1.2集合的表示 培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2课时　集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 　　同学们,上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是人们相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“happy birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢?让我们一同进入今天的探究之旅. 知识点一　用列举法表示集合 把集合的所有元素_______出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做_______. (1)元素间用“,”隔开. (2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可. (3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}. (4)这里集合的“{　}”已包含所有的意思,比如{整数},即代表整数集Z,而不能用{全体整数},即不能出现“全体”“所有”等字眼. [例1]　(北师大版必修第一册例题)用列举法表示下列集合: (1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合; (2)方程x2-9=0的所有实数根组成的集合. 用列举法表示集合的3个步骤 1.求出集合的元素. 2.把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. 3.用花括号括起来. 【注意】　二元方程组的解,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开,如{(2,3),(5,-1)}. 1.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数组成的集合A; (2)小于8的质数组成的集合B; (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合C. 知识点二　用描述法表示集合 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为___________,这种表示集合的方法称为描述法. (1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}. (3)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (4)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1,或x>1}. (5)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集}是错误的. [例2]　(北师大版必修第一册例题节选)用描述法表示下列集合: (1)小于10的所有有理数组成的集合A; (2)平面α内,到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C. 用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型,一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素. 2.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x2-2x=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于-1且小于5的所有整数组成的集合; (3)所有能被3整除且大于0的整数组成的集合. 知识点三　集合中元素性质的应用 [例3]　已知集合A={x|kx2-8x+16=0}. (1)若集合A中只有一个元素,求实数k的值,并用列举法表示集合A; (2)若集合A中有两个元素,求实数k的取值范围; (3)若集合A中至多有一个元素,求实数k的取值范围. 本例的条件不变,是否存在实数k,使A={2,3}?若存在,求出实数k的值;若不存在,说明理由. 根据集合中元素的性质求参数问题的解题策略 1.若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.对于其中的参数问题,要注意分类讨论,不重复、不遗漏. 3.已知集合A={1,a2},B={1,2a+3},若集合A与集合B相等,则a等于(　　) A.-1或3 B.0或1 C.3 D.-1 1.知识清单: (1)列举法. (2)描述法. (3)集合与方程、不等式的关系. 2.方法归纳:分类讨论. 3.常见误区:列举法与描述法的乱用;涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程. 1.集合{x∈Z|-1≤x-1≤3}用列举法可表示为(　　) A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4} 2.不等式21-3x≥0的解集是(　　) A.{x|x≤-7} B.{x|x≥-7} C.{x|x≤7} D.{x|x≥7} 3.所有奇数构成的集合用描述法可以表示为　　　　　.  4.已知集合A={12,a2+4a,a+10},5∈A,则a=　　　　.  1.集合{x∈N*|x-3≤1}用列举法表示为(　　) A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4} 2.对集合用描述法来表示,其中正确的是(　　) A. B. C. D. 3.用描述法表示平面内第二象限的点构成的集合,正确的是(　　) A.{(x,y)|x>0,且y<0} B.{(x,y)|x≤0,且y<0} C.{(x,y)|x≥0,且y≤0} D.{(x,y)|x<0,且y>0} 4.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.集合A=用列举法表示为(　　) A.{-2} B.{-2,2} C.{-2,2,4} D.{-2,2,4,5} 6.(多选)下面说法中,正确的为(　　) A.{x|x+y=1}={y|x+y=1} B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C.{x|x>2}={y|y>2} D.{1,2}={2,1} 7.集合A={x|(x-1)(x-2)=0}用列举法表示为　　　　.  8.设集合{x|x2-2x+a=0}是单元素集合,则实数a=　　　　.  9.用适当的方法表示下列集合: (1)大于1且不大于17的质数组成的集合A; (2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合B; (3)C={(x,y)|x+y=5,x∈N*,y∈N*}. 10.已知含有两个元素的集合A={m,m2-3m},其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数? (2)若4∈A,求实数m的值. 11.定义集合运算A􀱋B={x|x=x1·x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,3,4},B={1,4},则A􀱋B所有元素之和为(　　) A.48 B.54 C.42 D.36 12.已知集合A={a2-3a,2a+1,5},且-2∈A,则实数a的值为　　　　.  13.已知集合A={2,a2-1,a2-a},B={0,a2-a-3},且3∈A,则集合B=　　　　.  14.已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若1∈A,求集合A;(用列举法表示) (2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. 15.对于任意两个正整数m,n,定义运算“*”:当m,n都是偶数或奇数时,m*n=m+n;当m,n中一个为偶数、另一个为奇数时,m*n=mn.在此定义下,集合M={(a,b)|a*b=16}中的元素个数是　　　　.  16.已知集合A=,B=,试问集合A与B有几个相同的元素?写出由这些相同元素组成的集合. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法. 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合. 　　同学们,上节课我们学习了集合的概念,还有一些特殊的集合,比如非负整数集、正整数集等,我们发现可以用自然语言描述一个集合,而语言正是人们相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方式,例如,我们中文说“祝你生日快乐”,英文为“happy birthday to you”等等,那么对于一个集合,会有哪些不同的表示方法呢?让我们一同进入今天的探究之旅. 知识点一　用列举法表示集合 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法. (1)元素间用“,”隔开. (2)当元素个数较少时,把元素一一列举出来并用“{　}”括起来即可. (3)当元素个数较多时,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必须把元素间的规律显示清楚,然后加省略号,比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5,…}. (4)这里集合的“{　}”已包含所有的意思,比如{整数},即代表整数集Z,而不能用{全体整数},即不能出现“全体”“所有”等字眼. (教材例1)用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合. 解　(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. [例1]　(北师大版必修第一册例题)用列举法表示下列集合: (1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合; (2)方程x2-9=0的所有实数根组成的集合. 解　(1)设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A.因为大于3且小于10的所有整数有4,5,6,7,8,9,所以用列举法可以表示为A={4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2-9=0的所有实数根组成的集合为B.因为方程x2-9=0有两个不相等的实数根-3,3,所以用列举法可以表示为B={-3,3}. 用列举法表示集合的3个步骤 1.求出集合的元素. 2.把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次. 3.用花括号括起来. 【注意】　二元方程组的解,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开,如{(2,3),(5,-1)}. 1.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数组成的集合A; (2)小于8的质数组成的集合B; (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合C. 解　(1)大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}. (2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B={2,3,5,7}. (3)由解得 所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),所以C={(1,4)}. 知识点二　用描述法表示集合 一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. (1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N*”不符合要求,应将“m∈N*”写进“{　}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N*}. (3)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (4)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1,或x>1}. (5)“{　}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但写成{x|x是所有实数},{x|x是全体实数},{x|x是实数集}是错误的. (教材例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A; (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解　(1)设x∈A,则x是一个实数,且x2-2=0.因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}. 方程x2-2=0有两个实数根,-,因此,用列举法表示为A={,-}. (2)设x∈B,则x是一个整数,即x∈Z,且10<x<20.因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. [例2]　(北师大版必修第一册例题节选)用描述法表示下列集合: (1)小于10的所有有理数组成的集合A; (2)平面α内,到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C. 解　(1)设x∈A,则x∈Q,且使x<10成立.因此,用描述法可以表示为A={x∈Q|x<10}. (2)设M∈C,则M∈α,M到α内的定点O的距离等于定长r.因此,用描述法可以表示为C={M∈α|O为α内的定点,r为定值,且M到O的距离等于r}. 用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型,一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素. 2.用适当的方法表示下列集合: (1)方程x2-2x=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于-1且小于5的所有整数组成的集合; (3)所有能被3整除且大于0的整数组成的集合. 解　(1)解方程x2-2x=0得x=0或x=2,故集合为{0,2}或{x|x2-2x=0}. (2)大于-1且小于5的整数为0,1,2,3,4,故集合为{0,1,2,3,4}或{x∈Z|-1<x<5 }. (3)能被3整除且大于0的整数可表示为3k(k∈N*),故集合为{x|x=3k,k∈N*}. 知识点三　集合中元素性质的应用 [例3]　已知集合A={x|kx2-8x+16=0}. (1)若集合A中只有一个元素,求实数k的值,并用列举法表示集合A; (2)若集合A中有两个元素,求实数k的取值范围; (3)若集合A中至多有一个元素,求实数k的取值范围. (1)分k=0和k≠0两种情况,当k=0时,直接求出x=2,当k≠0时,根据条件得Δ=0,即可求解. (2)根据条件得方程kx2-8x+16=0有两个不等实数根,即可求解. (3)k=0或k≠0且Δ≤0. 解　(1)若集合A中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有一个实根或有两个相等实根.当k=0时,原方程变为-8x+16=0,解得x=2,此时集合A={2};当k≠0时,则关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,则Δ=64-64k=0,即k=1,此时方程的根为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1. 当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}. (2)由题意得 解得k<1且k≠0.故实数k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}. (3)当集合A中含有一个元素时,由(1)知,k=0或k=1;当集合A中没有元素时,关于x的方程kx2-8x+16=0无实数解,即 解得k>1. 综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}. 本例的条件不变,是否存在实数k,使A={2,3}?若存在,求出实数k的值;若不存在,说明理由. 解　若{x|kx2-8x+16=0}={2,3},则2,3是方程kx2-8x+16=0的两个根, 则即则方程组无解,所以不存在实数k,使A={2,3}. 根据集合中元素的性质求参数问题的解题策略 1.若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.对于其中的参数问题,要注意分类讨论,不重复、不遗漏. 3.已知集合A={1,a2},B={1,2a+3},若集合A与集合B相等,则a等于(　　) A.-1或3 B.0或1 C.3 D.-1 解析　C　根据集合A与集合B相等,故a2=2a+3,解得a=-1或a=3.当a=-1时,a2=1,与集合中元素的互异性矛盾,故a=-1不正确.经检验可知a=3符合题意. 1.知识清单: (1)列举法. (2)描述法. (3)集合与方程、不等式的关系. 2.方法归纳:分类讨论. 3.常见误区:列举法与描述法的乱用;涉及x2的系数不确定时,忽略讨论方程是一次方程还是二次方程. 1.集合{x∈Z|-1≤x-1≤3}用列举法可表示为(　　) A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4} 解析　C　{x∈Z|-1≤x-1≤3}={x∈Z|0≤x≤4}={0,1,2,3,4}. 2.不等式21-3x≥0的解集是(　　) A.{x|x≤-7} B.{x|x≥-7} C.{x|x≤7} D.{x|x≥7} 解析　C　解不等式21-3x≥0,可得x≤7,故其解集为{x|x≤7}. 3.所有奇数构成的集合用描述法可以表示为　　　　　.  答案　{x|x=2k+1,k∈Z} 解析　所有奇数构成的集合用描述法可以表示为{x|x=2k+1,k∈Z}. 4.已知集合A={12,a2+4a,a+10},5∈A,则a=　　　　.  答案　1 解析　由集合A={12,a2+4a,a+10},5∈A,得a+10=5或a2+4a=5. 当a+10=5时,a=-5,此时a2+4a=5,不满足元素的互异性; 当a2+4a=5时,显然a≠-5,解得a=1,集合A={12,5,11},符合题意, 所以a=1. 1.集合{x∈N*|x-3≤1}用列举法表示为(　　) A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{1,2,3,4} 解析　D　易知{x∈N*|x-3≤1}={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4},所以用列举法可以表示为{1,2,3,4}. 2.对集合用描述法来表示,其中正确的是(　　) A. B. C. D. 解析　D　集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合,对于A,B,集合中的x有负数,A,B错误;对于C,集合中没有,C错误;对于D,满足对集合的描述,D正确. 3.用描述法表示平面内第二象限的点构成的集合,正确的是(　　) A.{(x,y)|x>0,且y<0} B.{(x,y)|x≤0,且y<0} C.{(x,y)|x≥0,且y≤0} D.{(x,y)|x<0,且y>0} 解析　D　表示平面内第二象限的点构成的集合为{(x,y)|x<0且y>0}. 4.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　C　∵集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},∴B={2,3,4},∴集合B中的元素个数为3. 5.集合A=用列举法表示为(　　) A.{-2} B.{-2,2} C.{-2,2,4} D.{-2,2,4,5} 解析　D　因为x∈Z,∈N,所以6-x=1或2或4或8,即x=5或4或2或-2,即A={-2,2,4,5}. 6.(多选)下面说法中,正确的为(　　) A.{x|x+y=1}={y|x+y=1} B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C.{x|x>2}={y|y>2} D.{1,2}={2,1} 解析　ACD　方程x+y=1中x的取值范围为R,所以{x|x+y=1}=R,同理{y|x+y=1}=R,所以A正确;{(x,y)|x+y=2}表示直线x+y=2上点的集合,而{x|x+y=2}=R,所以{(x,y)|x+y=2}≠{x|x+y=2},所以B错误;集合{x|x>2},{y|y>2}都表示大于2的实数构成的集合,所以C正确;由于集合的元素具有无序性,所以{1,2}={2,1},所以D正确. 7.集合A={x|(x-1)(x-2)=0}用列举法表示为　　　　.  答案　{1,2} 解析　A={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2}. 8.设集合{x|x2-2x+a=0}是单元素集合,则实数a=　　　　.  答案　1 解析　由题意可知,方程x2-2x+a=0有且只有一个实根,则Δ=4-4a=0,解得a=1. 9.用适当的方法表示下列集合: (1)大于1且不大于17的质数组成的集合A; (2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合B; (3)C={(x,y)|x+y=5,x∈N*,y∈N*}. 解　(1)大于1且不大于17的质数组成的集合A={2,3,5,7,11,13,17}. (2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合B={(x,y)|y=x2}. (3)C={(x,y)|x+y=5,x∈N*,y∈N*}={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}. 10.已知含有两个元素的集合A={m,m2-3m},其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数? (2)若4∈A,求实数m的值. 解　(1)根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4, 因此,实数m不能取0和4. (2)由(1)的结论,可知m≠4, 若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意), 因此,实数m的值是-1. 11.定义集合运算A􀱋B={x|x=x1·x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,3,4},B={1,4},则A􀱋B所有元素之和为(　　) A.48 B.54 C.42 D.36 解析　D　当x1=1,x2=1时,x=1×1=1.当x1=1,x2=4时,x=1×4=4.当x1=3,x2=1时,x=3×1=3.当x1=3,x2=4时,x=3×4=12.当x1=4,x2=1时,x=4×1=4.当x1=4,x2=4时,x=4×4=16.所以A􀱋B={1,3,4,12,16}.再求A􀱋B所有元素之和:1+3+4+12+16=36. 12.已知集合A={a2-3a,2a+1,5},且-2∈A,则实数a的值为　　　　.  答案　1或- 解析　因为-2∈A,所以2a+1=-2或a2-3a=-2,若2a+1=-2,则a=-,此时集合A=,符合题意;若a2-3a=-2,则a=1或a=2,当a=1时,集合A={-2,3,5},符合题意,当a=2时,集合A中含有重复元素5,不符合题意,舍去,所以实数a的值是1或-. 13.已知集合A={2,a2-1,a2-a},B={0,a2-a-3},且3∈A,则集合B=　　　　.  答案　{0,3} 解析　因为3∈A,所以a2-1=3或a2-a=3, 由a2-1=3,得到a=2或a=-2. 当a=2时,集合A不满足集合中元素的互异性,舍去, 当a=-2时,A={2,3,6},满足题意,此时B={0,3}; 当a2-a=3时,集合B不满足集合元素的互异性,舍去. 综上,B={0,3}. 14.已知集合A={x∈R|ax2-3x-4=0}. (1)若1∈A,求集合A;(用列举法表示) (2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. 解　(1)因为1∈A,所以a-3-4=0,解得a=7,解方程7x2-3x-4=0,可得x=1或x=-,所以集合A=. (2)当a=0时,方程为-3x-4=0,此时集合A=; 当a≠0时,集合A中至多有一个元素,只需判别式Δ≤0,即9+16a≤0,即a≤-. 综上所述,实数a的取值范围是 . 15.对于任意两个正整数m,n,定义运算“*”:当m,n都是偶数或奇数时,m*n=m+n;当m,n中一个为偶数、另一个为奇数时,m*n=mn.在此定义下,集合M={(a,b)|a*b=16}中的元素个数是　　　　.  答案　17 解析　当a,b都是偶数或奇数时,1+15=16,2+14=16,……,15+1=16; 当a,b一奇一偶时,1×16=16,16×1=16. 集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素共有15+2=17(个). 16.已知集合A=,B=,试问集合A与B有几个相同的元素?写出由这些相同元素组成的集合. 解　对于集合A,B,因为x∈N,∈N, 所以当x=1时,=1;当x=7时,=3;当x=9时,=9.所以A={1,7,9},B={1,3,9},所以集合A与B有2个相同的元素,集合A,B的相同元素组成的集合为{1,9}. 学科网（北京）股份有限公司 $