第1讲 集合的概念及表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的概念及表示核心知识点，构建从元素与集合定义出发，经确定性、互异性、无序性三大特性，到从属关系、常用数集，再到列举法与描述法表示，最终延伸至含参问题及高考创新题型的学习支架。 资料以分层例题（中等、提高、高考、创新）和方法分析（如含参解题四步）为特色，通过“闭和集合”等创新题型培养数学抽象与逻辑推理核心素养。课中助力教师分层教学，课后学生可借变式练习与知识总结查漏补缺，强化知识应用。

新课标高中数学暑假预习讲义 第1讲 集合的概念及表示暑假预习讲义 【内容导航】 1. 集合与元素的定义与判定标准； 2. 集合元素三大核心特性； 3. 元素与集合的从属关系； 4. 常用数集符号及范围； 5. 列举法、描述法两种集合表示方法； 6. 集合概念的创新题型与高考综合应用。 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 精准理解元素、集合的定义，掌握集合元素确定性、互异性、无序性三大性质； 2. 熟记五大常用数集的符号与取值范围； 3. 掌握元素与集合的关系符号，能规范判断从属关系； 4. 熟练掌握列举法、描述法的书写规范，可灵活实现两种表示方法的互化。 二、能力目标 1. 具备快速判断一组对象能否构成集合的能力，规避模糊性陷阱； 2. 熟练利用元素互异性求解含参集合问题，并完成参数检验； 3. 具备题型迁移能力，可应对常规题、高考真题、创新定义题型。 三、素养目标 培养数学抽象、逻辑推理核心素养，建立严谨的数学语言思维，养成分类讨论、验证结果的解题习惯。 【学习重点】 集合元素的三大特性；元素与集合的关系判断；集合的两种规范表示方法。 【学习难点】 利用元素互异性求解含参问题；描述法集合的精准理解；创新定义型集合题型的解读与解题。 【知识框架】 集合概念体系：定义（元素+集合） → 核心三性（确定、互异、无序） → 从属关系（） → 五大数集 →表示方法（列举法、描述法） → 含参求值 → 创新题型 【学习过程】 （一）知识要点梳理 1. 集合与元素的定义 一般地，把研究对象统称为元素，由一些确定的、不同的元素所组成的总体叫做集合（简称为集）。集合通常用大写拉丁字母表示，元素通常用小写拉丁字母表示。 2. 元素与集合的关系 若是集合中的元素，称属于集合，记作； 若不是集合中的元素，称不属于集合，记作。 3. 集合元素的三大特性（核心考点） （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象要么是集合的元素，要么不是，二者必居其一，无模糊性； （2）互异性：集合中的任意两个元素互不相同，重复元素只保留一个（参数求解核心依据）； （3）无序性：集合中元素的排列顺序不影响集合本身，如。 4. 常用数集及专用符号 自然数集（含0）：；正自然数集（正整数集）：或； 整数集：；有理数集：；实数集：。 5. 集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，适用于有限集或元素规律明显的无限集； （2）描述法：用集合中元素的共同特征表示集合，格式：，适用于元素较多或无限的集合。 6. 集合的分类 有限集：元素个数有限的集合；无限集：元素个数无限的集合；空集：不含任何元素的集合，记作。 （二）公式/核心结论推导 无复杂公式，核心推导：根据元素互异性，若集合，则必有，据此可建立不等式求解参数，且求解后必须验根，排除元素重复的情况。 （三）例题讲解 ★ 中等难度例题 例1. 判断下列对象能否构成集合，说明理由： (1) 所有好看的电影； (2) 大于2且小于10的偶数。 例2. 用或填空：___，___，___。 例3 .用列举法表示集合。 例4. 用描述法表示平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合。 例5 .已知集合，若，求的值。 ★ 提高难度例题 例6. 已知集合仅有一个元素，求实数的值。 例7. 已知集合，若，求的值。 ★ 近三年高考例题 高考例1. 已知，求元素个数。 高考例2. 集合，判断正误。 ★ 创新题型 创新例1 .定义：若集合中任意两个元素的和仍属于该集合，则称集合为“闭和集合”，判断整数集是否为闭和集合。 解析：任意两个整数相加仍为整数，满足定义，故是闭和集合。 （四）方法分析 1. 集合判定法：抓确定性，模糊描述直接排除； 2. 含参解题四步：列式求解→互异检验→剔除增根→确定范围； 3. 集合表示选择：少量有限元素用列举法，无限、规律集合用描述法； 4. 创新题型解法：紧扣新定义，转化为基础集合性质求解。 （五）变式练习 1. 下列集合表示正确的是（ ） A. {所有自然数} B. {1,1,2} C. {小数} D. 实数集={R} 2. 已知集合，若，求的值。 3. 用描述法表示偶数集、奇数集。 4. （高考变式 ）已知，求。 （六）本节知识总结 1. 核心本质：集合是确定、互异、无序的元素总体，三大特性是解题根本； 2. 两类关系：元素与集合的从属关系（），无包含关系； 3. 两种表示：列举法直观、描述法通用，注意规范书写格式； 4. 高频易错：参数求解忘记验根、集合表示格式错误、混淆数集符号。 5.创新题型本质为基础性质的新定义包装。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习讲义 第1讲 集合的概念及表示暑假预习讲义【解析】 【内容导航】 1. 集合与元素的定义与判定标准； 2. 集合元素三大核心特性； 3. 元素与集合的从属关系； 4. 常用数集符号及范围； 5. 列举法、描述法两种集合表示方法； 6. 集合概念的创新题型与高考综合应用。 【学习目标导航】 一、知识目标 1. 精准理解元素、集合的定义，掌握集合元素确定性、互异性、无序性三大性质； 2. 熟记五大常用数集的符号与取值范围； 3. 掌握元素与集合的关系符号，能规范判断从属关系； 4. 熟练掌握列举法、描述法的书写规范，可灵活实现两种表示方法的互化。 二、能力目标 1. 具备快速判断一组对象能否构成集合的能力，规避模糊性陷阱； 2. 熟练利用元素互异性求解含参集合问题，并完成参数检验； 3. 具备题型迁移能力，可应对常规题、高考真题、创新定义题型。 三、素养目标 培养数学抽象、逻辑推理核心素养，建立严谨的数学语言思维，养成分类讨论、验证结果的解题习惯。 【学习重点】 集合元素的三大特性；元素与集合的关系判断；集合的两种规范表示方法。 【学习难点】 利用元素互异性求解含参问题；描述法集合的精准理解；创新定义型集合题型的解读与解题。 【知识框架】 集合概念体系：定义（元素+集合） → 核心三性（确定、互异、无序） → 从属关系（） → 五大数集 →表示方法（列举法、描述法） → 含参求值 → 创新题型 【学习过程】 （一）知识要点梳理 1. 集合与元素的定义 一般地，把研究对象统称为元素，由一些确定的、不同的元素所组成的总体叫做集合（简称为集）。集合通常用大写拉丁字母表示，元素通常用小写拉丁字母表示。 2. 元素与集合的关系 若是集合中的元素，称属于集合，记作； 若不是集合中的元素，称不属于集合，记作。 3. 集合元素的三大特性（核心考点） （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象要么是集合的元素，要么不是，二者必居其一，无模糊性； （2）互异性：集合中的任意两个元素互不相同，重复元素只保留一个（参数求解核心依据）； （3）无序性：集合中元素的排列顺序不影响集合本身，如。 4. 常用数集及专用符号 自然数集（含0）：；正自然数集（正整数集）：或； 整数集：；有理数集：；实数集：。 5. 集合的表示方法 （1）列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，适用于有限集或元素规律明显的无限集； （2）描述法：用集合中元素的共同特征表示集合，格式：，适用于元素较多或无限的集合。 6. 集合的分类 有限集：元素个数有限的集合；无限集：元素个数无限的集合；空集：不含任何元素的集合，记作。 （二）公式/核心结论推导 无复杂公式，核心推导：根据元素互异性，若集合，则必有，据此可建立不等式求解参数，且求解后必须验根，排除元素重复的情况。 （三）例题讲解 ★ 中等难度例题（5道） 例1. 判断下列对象能否构成集合，说明理由： (1) 所有好看的电影； (2) 大于2且小于10的偶数。 解析：(1) 不能构成集合，“好看”无统一标准，不满足确定性； (2) 能构成集合，元素为，确定且互异，集合为。 例2. 用或填空：___，___，___。 解析：根据常用数集定义，答案依次为、、。 例3 .用列举法表示集合。 解析：满足条件的整数为，集合表示为。 例4. 用描述法表示平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合。 解析：第一象限点的横、纵坐标均大于0，集合为。 例5 .已知集合，若，求的值。 解析：由得，解得或，代入验证集合元素互异，均符合条件。 ★ 提高难度例题 例6. 已知集合仅有一个元素，求实数的值。 解析：分两类讨论： 1 时，方程为，仅有一解，符合； 2 时，一元二次方程仅有一解，判别式，得。 综上，或。 例7. 已知集合，若，求的值。 解析：① 若，则，此时，集合元素重复，舍去； ② 若，解得（舍去）或。代入得，符合互异性， 故。 ★ 近三年高考例题 高考例1. 已知，求元素个数。 解析：，共个元素。 高考例2. 集合，判断正误。 解析：，正确，错误。 ★ 创新题型 创新例1 .定义：若集合中任意两个元素的和仍属于该集合，则称集合为“闭和集合”，判断整数集是否为闭和集合。 解析：任意两个整数相加仍为整数，满足定义，故是闭和集合。 （四）方法分析 1. 集合判定法：抓确定性，模糊描述直接排除； 2. 含参解题四步：列式求解→互异检验→剔除增根→确定范围； 3. 集合表示选择：少量有限元素用列举法，无限、规律集合用描述法； 4. 创新题型解法：紧扣新定义，转化为基础集合性质求解。 （五）变式练习 1. 下列集合表示正确的是（ ） A. {所有自然数} B. {1,1,2} C. {小数} D. 实数集={R} 【答案】C 2. 已知集合，若，求的值。 【答案】的值为3或-2. 【解析】因为，， 所以=6，解得. 所以的值为3或-2. 3. 用描述法表示偶数集、奇数集。 【答案】偶数集：{或{. 奇数集：{或{. 4. （高考变式 ）已知，求。 【解析】：（互异舍去）。 （六）本节知识总结 1. 核心本质：集合是确定、互异、无序的元素总体，三大特性是解题根本； 2. 两类关系：元素与集合的从属关系（），无包含关系； 3. 两种表示：列举法直观、描述法通用，注意规范书写格式； 4. 高频易错：参数求解忘记验根、集合表示格式错误、混淆数集符号。 5.创新题型本质为基础性质的新定义包装。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $