专题1.2 集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合间的基本关系，系统梳理子集、真子集的定义与性质，子集个数的计算方法，以及Venn图的应用。以概念理解为基础，通过性质归纳、量化计算到直观图示，构建从基础到应用的学习支架，衔接判断集合关系、求参数等核心考点。 资料特色在于多维度呈现知识，用表格对比自然语言、符号语言与Venn图，培养数学语言表达能力。题型设计突出易错点，如考点3强调“优先讨论空集”，助力学生形成严谨的数学思维。课中辅助教师突破难点，课后作业分层巩固，帮助学生查漏补缺。

专题1.2 集合间的基本关系(知识梳理及题型总结) ·模块一 集合间的基本关系 ·模块二 课后作业 模块一 集合间的基本关系 1. 子集 · 如果集合A中任意一个元素都在集合B中，则称（A包含于B）。 · 符号： · 性质：（空集是任意集合的子集） 2. 真子集 · ，且B中存在元素不属于A，则（A真包含于B）。 · （空集是任意非空集合的真子集） 3. 子集的个数 若集合有n个元素： · 子集总数： · 真子集： · 非空子集： · 非空真子集： 注意：空集特殊，，子集只有，共个。 4. Venn图 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 （或   或   真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 （或    集合 相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 A=B    【考点1 判断集合间的关系】 · 区分 （元素属于集合）和（集合包含集合） 【例1.1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式1.1】下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式1.2】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【考点2 求子集、真子集、非空子集的个数】 · 易错坑：做题先数清集合元素个数，不要把集合本身、空集漏掉。 【例2.1】集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【变式2.1】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【变式2.2】集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【变式2.3】已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【考点3 根据集合关系求参数】 · 易错坑：一定要优先讨论空集的情况！空集是任何集合的子集。 【例3.1】设，且，则　________　. 【例3.2】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【变式3.3】已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【考点4 空集的辨析】 · 易错坑：∅不含任何元素的集合。 · 易混区分： 1. ：空集，没有元素 2. ：不是空集！里面有一个元素0 3. ：集合里面装了空集作为元素，不是空集 【例4.1】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4.1】（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 模块二 课后作业 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 3． 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 6．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 7．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9. 已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 10. 已知非空集合，且 ⫋，则___________ 11. 已知集合，，且B，求实数的取值范围. 12. 已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 13. 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 14. 记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 15. 已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 集合间的基本关系(知识梳理及题型总结) ·模块一 集合间的基本关系 ·模块二 课后作业 模块一 集合间的基本关系 1. 子集 · 如果集合A中任意一个元素都在集合B中，则称（A包含于B）。 · 符号： · 性质：（空集是任意集合的子集） 2. 真子集 · ，且B中存在元素不属于A，则（A真包含于B）。 · （空集是任意非空集合的真子集） 3. 子集的个数 若集合有n个元素： · 子集总数： · 真子集： · 非空子集： · 非空真子集： 注意：空集特殊，，子集只有，共个。 4. Venn图 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 （或   或   真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 （或    集合 相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 A=B    【考点1 判断集合间的关系】 · 区分 （元素属于集合）和（集合包含集合） 【例1.1】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 【例1.2】下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①③ 【分析】逐个判断集合间的包含关系与元素与集合的属于关系，注意集合元素的类型与、符号的正确使用. 【详解】对于①，的元素都在中，故，①正确. 对于②，菱形不一定是矩形（矩形要求四个角都是直角，而菱形只需四边相等），故菱形不是矩形的子集，②错误. 对于③，，故，③正确. 对于④，的元素是有序数对，而的元素是数和，元素类型不同，故两个集合之间不存在包含关系，④错误. 对于⑤，，⑤错误. 对于⑥，，⑥错误. 【变式1.1】下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素无序性和集合相等判断①；根据子集定义判断②；根据空集的性质判断③和④；根据元素与集合关系判断⑤. 【详解】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 【变式1.2】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用列举法表示集合，再根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断结论. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 【考点2 求子集、真子集、非空子集的个数】 · 易错坑：做题先数清集合元素个数，不要把集合本身、空集漏掉。 【例2.1】集合的真子集个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为. 【变式2.1】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】应用元素和集合关系及集合的包含关系判断求解. 【详解】已知，，且，所以的个数为. 【变式2.2】集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 【变式2.3】已知集合，则集合的子集个数为（     ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 【考点3 根据集合关系求参数】 · 易错坑：一定要优先讨论空集的情况！空集是任何集合的子集。 【例3.1】设，且，则　________　. 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 【例3.2】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足 . 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 【变式3.1】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 【变式3.2】集合，，，则实数的值为（     ） A．1 B．-1 C．0 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 【变式3.3】已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 【考点4 空集的辨析】 · 易错坑：∅不含任何元素的集合。 · 易混区分： 1. ：空集，没有元素 2. ：不是空集！里面有一个元素0 3. ：集合里面装了空集作为元素，不是空集 【例4.1】下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确. 【变式4.1】（多选）若集合．下列关系式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 【变式4.2】（多选）关于两个集合间关系的叙述，以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空集概念和集合间的关系求解即可. 【详解】是以空集为元素的集合有且只有一个元素就是空集，根据空集是任何集合的子集所以A，C正确. 故选：AC 【变式4.3】（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 模块二 课后作业 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 3． 满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 4．集合 的真子集的个数为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先求集合，进而求解. 【详解】由题意得：，解得，又， 所以，所以，所以， 所以集合的真子集的个数为. 5．集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 6．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 7．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】要熟记特殊的数集符号，结合数的分类一一求解即可. 【详解】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确. 故选：A. 8．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的定义，空集的性质，元素与集合、集合与集合的关系判断各项的正误. 【详解】由于，，，. 故选：B 9. 已知集合或 ，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由集合包含关系结合题设可得答案. 【详解】由题意，因集合或 ，， 则或，即或， 即实数的取值范围是 10. 已知非空集合，且 ⫋，则___________ 【答案】8 【分析】根据集合A是非空集合且 ⫋，得到中只有1个元素，即一元二次方程只有一个根，然后由求解. 【详解】由题意得，中只有1个元素，则，解得， 当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 则. 11. 已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 12. 已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 13. 设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 14. 记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或， 故的取值范围是. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 15. 已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $