福建省厦门市第十中学2026-2027学年高二上学期数学国庆作业（一） 2026.9.25

厦门十中2026-2027学年第一学期高二数学国庆作业（一）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A A C C A D AC ABD AC 8．设，则， ，．设与的夹角为，由，． 11.在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，对于A，，，，，，，即， 而平面，因此平面，故A正确；对于B，，，因此=，因此直线DM与直线BC所角的余弦值为，故B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积为， 因此三棱锥的体积是定值，故C正确；对于D， ， ，则点到直线的距离为=== 当且仅当时取等号，故D错误； 12．/ 13．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，，，，所以或，所以斜率的取值范围是；当时，. 14．【答案】 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，.由 得 ，即 ，化简得 .由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 .因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 .当 ， 或 ， 时， 取最大值 .所以 的取值范围是 . 16．（1）；（2）． 【详解】（1）两点，点，则直线的斜率分别为： ，，且的斜率存在，如图， 观察图形知，当且仅当或时，直线l与线段AB有公共点，所以直线l的斜率k的取值范围是. （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，由直线的方向向量为，得直线的斜率， 所以直线的斜率. 17．【答案】(1)， (2)因为，，，，所以，，由（1）得 ，所以，即； （3）由（1）得，所以， 所以，即的长为． 18．(1)取的中点为，连接． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且，又因为分别为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面； （2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．   因为与底面所成角为，即，所以．过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．又因为平面，平面，所以.又因为平面，，所以平面，平面，所以．因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 设，则．， 设平面的法向量为，则，即.因为，即，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，即，即，令，则，所以．设平面与平面的夹角为，则，所以，即平面与平面的夹角为． 19.（1）在直三棱柱中，，，两两垂直，以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，，，则，，设平面的法向量为，则，则有，所以，又，，所以，点到平面的距离为； （2）①，，则，设，则，因为平面， 所以，，即 ，得，所以，得， 所以；②平面的一个法向量， 又，得 所以，与平面所成角的正弦值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级厦门十中高二数学 班级： 座号： 姓名： 成绩： 2025级厦门十中高二数学 班级： 座号： 姓名： 成绩： 厦门十中2026-2027学年第一学期高二数学国庆作业（一） 2026.9.25 一、选择题 1．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知向量，且，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 3.在空间直角坐标系中，点是点在坐标平面内的射影，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 6．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，设点D为的中点，点在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 8．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10．下面四个结论中正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是锐角 C．已知，则在上的投影向量为 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．如图，在长方体中，，点为线段上的 动点（包括端点）则下列结论正确的是（    ） A．当点M为的中点时，平面 B．当点M为的中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中已知，，点为中点，求点坐标______． 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 四、解答题 16．（1）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． （2）已知直线的方向向量为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 17.如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，；(2)求证：；(3)求的长． 18.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 19.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面.①求的值；②求与平面所成角的正弦值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $