精品解析：福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级第一次月考数学试题

厦门市同安实验中学2025—2026学年度第一学期 高二年级第一次月考数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 点关于平面 的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面 对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面 的对称点坐标为 2. 在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三角内角为 求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 3. 已知方向相同，且，则等于（ ） A. 16 B. 256 C. 8 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案. 【详解】因为方向相同，且， 所以， 所以， 故选：A. 4. 如图，空间四边形中，，点 为 中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】. 故选：C 5. 直线 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，， ，由的图象可知， ，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知， ，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知， ，，矛盾，D错误. 6. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 7. 已知点 ，若直线 与线段相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】整理直线的方程 ，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为 ，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当 时，直线的方程为，即 轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为 ，斜率为， 若 ，解得；若，解得或， 综上， 的取值范围是或. 8. 在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据异面直线所成角的定义在图形中找出与所成的角，然后在三角形中利用解三角形的知识求解； 解法二、解法三：建立空间直角坐标系，从而得出与所成角的余弦值的表达式，求出其余弦值的最大值，即得其正弦值的最小值． 【详解】解法一：如图，连接，易证得直线平面． 因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点． 又，所以直线与直线所成的角即． 连接，平面，平面，， 在直角三角形中，设，， 则，因此， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为． 解法二：以 为原点，所在直线分别为轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则，设，其中， 则， 因为与垂直，所以，所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值， 此时取得最小值； 解法三：如图，连接，易证得直线平面． 因为与垂直，且是侧面上的动点，所以点是线段上的动点， 以 为原点，所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 于是，设， 所以，所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值， 此时取得最小值． 故选：B. 【点睛】本题考查空间中异面直线所成的角，考查考生的空间想象能力、运算求解能力和逻辑思维能力，本题是空间中异面直线所成角的正弦值的求解问题，其中解法一是用几何方法，根据异面直线所成角的定义在图形中找出该角，然后利用解三角形的知识求解；解法二是运用空间向量法，通过建立空间直角坐标系，直接设出点的坐标，然后利用向量夹角公式求解；解法三则是将两种方法结合起来，首先利用几何法证得点在线段上，然后建立空间直角坐标系，进而求解．属于中等题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若，则向量共面 C. 已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数 ，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数 ，使得， 即 ，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 10. （多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题是新定义题，根据题意判断选项中的直线上是否存在符合题意的点，实际上可通过判断点到直线的距离是否不大于 作出判断. 【详解】点到直线的距离，故A不符合题意； 点到直线的距离，故B符合题意； 点到直线的距离，C符合题意； 点到直线 的距离，故D不符合题意．故选：BC． 11. 四棱锥的底面为正方形， 平面 ，动点M在线段 上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，根据已知求出各边边长，进而计算面积即可得出答案；对于C项，假设存在点M，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据 ，得出 ，列出方程解出的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点M到直线 的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为 ，故A正确； 对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点 ， 易知 均为直角三角形，且 全等， 且，，， 则 ，且， 即有， 所以，即 的最小值为.故B不正确； 对于C项，假设存在点M，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为 轴建立 空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为 ， 所以 ，解得. 故存在点M，使得 .故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点M到直线 的距离 ， 所以，当时，点M到直线 的距离的最小值为.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个平面，的法向量分别是和，若 ，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由 ，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出 的值，进而可求得答案 【详解】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且 ， 所以，解得， 所以， 故答案为：4 13. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得到平面的距离. 【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以， 依题意可知平面， 所以平面， 由于 是 的中点，所以 到平面的距离是 到平面的距离的一半， 即 到平面的距离是. ,， 所以， 由于，所以， ， 设到平面的距离为，则， 即. 故答案为： 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，当直线与线段交于点 时，经计算得不合题意，当直线与线段交于点 时，根据可求得点 的坐标，即可得到直线的斜率. 【详解】 由题意得，直线过定点 ，. 如图1，当直线与线段交于点 时，， ，不合题意. 如图2，当直线与线段交于点 时， 由，得直线方程为，即. 中，设 边上的高为，则，即，解得，故. ∵点 在直线上，∴，即， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点 ，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； （2）直线的方程为 或 。 【解析】 【小问1详解】 由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为 ，化简得 . 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线为 ，且过点， 但直线在点 处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为 ，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为 ， 由直线过点，得 ，解得，直线的方程为 . 综上所述，直线的方程为 或 . 16. 如图，对正方体­，， ，分别是和的中点. （1）求到 的距离； （2）求异面直线 与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合点到直线的距离向量求法求结论； （2）结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 以 为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长，故 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， ， 所以点到 的距离； 【小问2详解】 由（1） ，已有 ， 所以 ，​，， 设异面直线 与所成角为，则. 17. 已知直线： ，直线： ，其中 为实数. （1）当时，求 的值； （2）当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】（1） （2）① ；②或 【解析】 【小问1详解】 直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. 【小问2详解】 当 时，直线： ， 由，得，则， ①直线 的斜率为， 因为 ，所以 ，得， 因为直线经过，其方程为 ， 化简得直线的方程为 . ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为 ，即 ， 因为点到直线的距离等于1，则 ， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 18. 如图，四棱柱中，平面，. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为 ，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据棱柱的性质，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 证明：在四棱柱中，，平面， 平面，平面. 平面，平面， 平面. 又平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，可得两两垂直， 以所在直线分别为轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系. 与平面所成角为，. .又， . 设平面的法向量，， ， 所以，令，得， 可得. 设平面的法向量，， 所以，令，得， 可得. 因为， 所以平面与平面夹角余弦值为. 19. 如图1，在直角中，，点 ， 分别为边，的中点，将沿着 折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面 ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得 与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）或．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）证明平面 ，由平行得证平面 ，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面 ，然后以为原点，为 轴，过平行 的直线为 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论． 【小问1详解】 由题意，，平面 ， 所以平面 ， 又因为图1中， 分别是中点，所以 ， 所以平面 ，而平面， 所以平面平面 ； 【小问2详解】 由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面 ，而平面 ，所以， ， 平面 ，所以平面 ， 以为原点，为 轴，过平行 的直线为 ，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为 ， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025—2026学年度第一学期 高二年级第一次月考数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 点关于平面 的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 3. 已知方向相同，且，则等于（ ） A. 16 B. 256 C. 8 D. 64 4. 如图，空间四边形中，，点 为 中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点 ，若直线 与线段相交(包含端点的情况)，则实数 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若空间中的满足，则三点共线 B. 空间中三个向量，若，则向量共面 C. 已知四点不共面，点 满足：，则四点共面 D. 是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 10. （多选）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A. B. C. D. 11. 四棱锥的底面为正方形， 平面 ，动点M在线段 上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点M，使得 D. 点M到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个平面，的法向量分别是和，若 ，则________． 13. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______． 14. 已知，，直线将分割成面积相等的两部分（O为坐标原点），则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知 顶点、、. （1）边上的中线所在直线方程及中线的长度； （2）若直线过点 ，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16. 如图，对正方体­，， ，分别是和的中点. （1）求到 的距离； （2）求异面直线 与所成角的余弦值. 17. 已知直线： ，直线： ，其中 为实数. （1）当时，求 的值； （2）当 时，直线，的交点为 ， ①直线经过 ，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 18. 如图，四棱柱中，平面，. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为 ，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 如图1，在直角 中，，点 ，分别为边，的中点，将沿着 折起，使得点 到达点 的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面 ； （2）在棱 上是否存在点 ，使得 与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $