25.1　一元二次方程的概念 同步练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.1　一元二次方程的概念 随堂小练 新知梳理 1. 一般地，如果方程中只含有　　　　未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是　　　　，这样的方程叫作一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式是　　　　.其中　　　　是二次项，　　　　是二次项系数；　　　　是一次项，　　　　是一次项系数；　　　　是常数项. 3. 使一元二次方程左右两边　　　　的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的　　　　. 反馈训练 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. 2x＋1＝0 B. x2＋y＝1 C. x2＋＝1 D. x2＋2x＋1＝0 2. 若x＝－2是关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根，则k＝　　　　. 3. 一个矩形的长比宽多2cm，面积为48cm2.设宽为xcm，则可列方程为　　　　. 4. 教材变式题 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 3x2＝27； （2） x（x－3）＝12； （3） （x－1）2＝2x＋5. 5. 教材变式题 根据下面的问题，列出关于x的一元二次方程，并将所列方程化为一元二次方程的一般形式. （1） 一个直角三角形的两条直角边长相差7cm，面积是30cm2，求较长直角边的长.设较长直角边的长为xcm. （2） 某农场去年种植水稻的产量为500kg，通过改良品种，计划今后两年使产量逐年增长，且每年增长率相同.若两年后产量达到605kg，求每年的增长率.设每年的增长率为x. 同步练习 基础过关 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的为（　　） A. 3x（x＋1）＝3x2－5x B. ax2＋bx＋7＝0 C. 7（x－1）（x＋2）＝x D. x2＋＝y 2. 一元二次方程7x2－2x＝1的二次项系数、一次项系数和常数项依次是（　　） A. 7，2，1 B. 7，－2，1 C. 7，－2，－1 D. 7，2，－1 3. 教材变式题 将一元二次方程3x（x＋1）＝5（x－2）化为一般形式为（　　） A. 3x2－2x＝－10 B. 3x2－2x＋10＝0 C. －3x2－2x＋10＝0 D. 3x2－2x－10＝0 4. 已知关于x的方程（k＋5）x2－kx＋9＝0，当k　　　　时，该方程是一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为　　　　，一次项系数为　　　　，常数项为　　　　. 5. 教材变式题 将下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 9x2＝25； （2） 3x（x－4）＝7. 6. 教材变式题 有下列各数：－1，2，1，－2.其中，是方程x2＋x－2＝0的根的为（　　） A. －1，2 B. －1 C. 1，－2 D. 2 7. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋ax－3a＝0的一个根，则a的值为（　　） A. －4 B. 4 C. 2 D. 8. 若方程x2－4x＝0的一个根为m，则m2－4m＋1＝　　　　. 9. （易错题）如果关于x的一元二次方程（m－3）x2＋2x＋m2－9＝0有一个根为0，那么m的值为　　　　. 10. 教材变式题 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛.为了能让更多的足球爱好者现场观看到足球比赛，赛程计划安排18天，每天安排4场比赛，设参加比赛的球队有x支.根据题意，下列方程正确的是（　　） A. x（x＋1）＝72 B. x（x－1）＝72 C. x（x＋1）＝72 D. x（x－1）＝72 11. 根据题意，列出方程（不需要求解）： （1） 某班学生毕业时都会向全班其他学生各送一张自己的照片以作留念，全班共送出1056张照片，求全班有多少名学生.设全班有x名学生，可列方程为　　　　. （2） 一个直角三角形的斜边长为4，两条直角边长相差4.设较长的直角边长为x，可列方程为　　　　. 能力进阶 1. 若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列式子成立的是（　　） A. a＋b＋c＝0 B. a－b＋c＝0 C. a＋b－c＝0 D. －a＋b＋c＝0 2. 已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式－2m2＋2m＋2026的值为（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 3. 若方程（m＋2）x＋（m－1）x－2＝0 是关于x的一元二次方程，则m＝　　　　. 4. 若关于x的一元二次方程mx2＋2nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则3－2m－4n的值是　　　　. 5. 若x＝－3是关于x的方程2x2－a＝0的一个根，则常数a＝　　　　，这个方程的另一个根为　　　　. 思维拓展 1. 根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式（不需要求解）： （1） 6个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是27，求等腰直角三角形的直角边长x； （2） 一个矩形的周长为20，面积是24，求矩形的长x； （3） 从一块正方形木板上锯掉一块宽为3dm的矩形木板，剩下的矩形的面积为60dm2，原来正方形木板的边长为adm，求a的值（木板厚度忽略不计）. 2. 已知m是一元二次方程2x2＋4x－1＝0的一个根，求（m＋）÷的值. 3. 新考向 新定义题 关于x的一元二次方程a1（x－m）2＋k＝0与a2（x－m）2＋k＝0称为“同族二次方程”，如2（x－3）2＋4＝0与3（x－3）2＋4＝0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2（x－1）2＋1＝0与（a＋2）x2＋（b－4）x＋8＝0是“同族二次方程”，则a＋b＝　　　　. 4. 已知实数a是一元二次方程x2－2025x＋1＝0的一个根，求代数式a2－2024a＋的值. 参考答案 随堂小练 新知梳理 1. 一个；2 2. ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 3. 相等；根 反馈训练 1. D 2. 1 3. x（x＋2）＝48 4. （1） 一般形式为3x2－27＝0，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为－27（2） 一般形式为x2－3x－12＝0，二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－12（3） 一般形式为x2－4x－4＝0，二次项系数为1，一次项系数为－4，常数项为－4 5. （1） x（x－7）＝30，一般形式为x2－7x－60＝0（2） 500（1＋x）2＝605，一般形式为500x2＋1000x－105＝0 同步练习 基础过关 1. C 2. C 3. B 4. ≠－5；k＋5；－k；9 5. （1） 一般形式为9x2－25＝0，二次项系数为9，一次项系数为0，常数项为－25（2） 一般形式为3x2－12x－7＝0，二次项系数为3，一次项系数为－12，常数项为－7 6. C 7. B 8. 1 9. －3 10. D 11. （1） x（x－1）＝1056（2） x2＋（x－4）2＝80 能力进阶 1. B 2. B 3. 2 4. 1 5. 18；x＝3 思维拓展 1. （1） 解：由题意，得x2×6＝27.整理，得x2－9＝0（2） 解：由题意，得x（－x）＝24.整理，得x2－10x＋24＝0（3） 解：由题意，得a（a－3）＝60.整理，得a2－3a－60＝0 2. 解：原式＝m2＋2m.∵ m是一元二次方程2x2＋4x－1＝0的一个根，∴ 2m2＋4m－1＝0.∴ 原式＝m2＋2m＝ 3. －5 4. 解：由题意，得a2－2025a＋1＝0.∴ a≠0，a2＝2025a－1，a2＋1＝2025a.∴ a2－2024a＋＝2025a－1－2024a＋＝a－1＋＝－1＝－1＝2024 学科网（北京）股份有限公司 $