25.1　一元二次方程的概念 同步练 2026-2027学年数学人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识和模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|一元二次方程定义、一般形式、根的概念、简单实际应用|以选择、填空为主，如定义辨析（题1-3）、一般形式转化（题4），巩固核心概念，强化符号意识| |能力提升|综合概念辨析、易错点（二次项系数）、复杂实际应用、推理定义|含数学文化（题7）、开放性试题（题6）、推理定义题（题9），深化模型意识与推理能力，衔接阶段测评|

25.1一元二次方程的概念 一元二次方程的定义及一般形式 1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是 (　　) A.x2-2y+4=0　 B.ax2+bx+c=0 C.3x2+x=20　　 D.x2+2x=x2-1 2.关于x的方程ax2-2x-3=0是一元二次方程,则a的取值范围是 (　　) A.a≠0　　　 B.a>0 C.a=1　　　　 D.a≥0 3.一元二次方程x2-3x=4的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 (　　) A.1,3,-4 B.1,3,4 C.1,-3,4 D.1,-3,-4 4.把下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)2x2=1-3x. (2)5x(x-2)=4x2-3x. 一元二次方程的根 5.(2025青海中考)若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值为　　　　.  6.(开放性试题)请写出一个有一根为2的一般形式的一元二次方程:　　　　　.  根据实际问题列一元二次方程 7.(数学文化)(2025辽宁中考)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步.设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为 (　　) A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 8.某剧场共有1 161个座位,已知每行的座位数都相同,且每行的座位数比总行数少16,设每行的座位数是x,根据题意可列方程为 (　　) A.x(x+16)=1 161 B.x(x-16)=1 161 C.(x-16)2=1 161 D.(x+16)2=1 161 9.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度是1.5 m/s,乙的速度是1 m/s,乙一直向东走,甲先向南走10 m,后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇.若设两人走了x s,则可列方程为　　　　　　　　.  忽视一元二次方程中二次项系数不为0 10.若(a-3)x|a-1|-4=0是关于x的一元二次方程,则a的值为　　　　.  1.下列说法正确的是 (　　) A.方程8x2-7=0的一次项系数为-7　 B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 C.当a=3且b≠-1,c≠0时,方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程 D.当m取任意实数时,关于x的方程(m2+1)x2-mx-3=0为一元二次方程 2.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0,若1+b+c=0,则下列各数中是该方程的根的是 (　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.0 3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+(m-1)(m-3)=0的常数项为0,则m的值为 (　　) A.1　　　　B.3　　　　C.1或3　　　　D.0 4.文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书.设该组共有x名同学,则可列出的方程是 (　　) A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210 C.x(x+1)=210 D.x(x-1)=210 5.已知m,n是方程x2+3x-1=0的两个根,则(m2+3m+3)(n2+3n-2)=　　　　.  6.若关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=1,则一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)-1=0必有一根为　　　　.  7.根据下列问题设未知数列方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式: (1)为响应“足球进校园”的号召,某校组织足球比赛,赛制为单循环形式(每两个足球队之间都要比赛一场),计划安排55场比赛,求参赛的足球队个数. (2)一个两位数,十位上的数比个位上的数大7,且十位上的数与个位上的数之和的平方等于这个两位数,求这个两位数. 8.若x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.下面是两位同学的解法: 甲:根据题意,得解得 乙:根据题意,得或解得或 你认为上述两位同学的解法是否正确?为什么?如果不正确,请给出正确的解法. 9.(推理能力)定义:方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程,其中a,b,c为常数,且a≠0,c≠0.根据此定义解决下列问题: (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程是　　　　　　.  (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程的根,求c的值. (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根,则m3+m2-6m+2 026的值为　　　　.  【详解答案】 基础达标 1.C　2.A　3.D 4.解:(1)方程2x2=1-3x化为一般形式为2x2+3x-1=0,二次项系数为2,一次项系数为3,常数项为-1. (2)方程5x(x-2)=4x2-3x化为一般形式为x2-7x=0,二次项系数为1,一次项系数为-7,常数项为0. 5.3　6.x2-3x+2=0(答案不唯一)　7.A 8.A　9.(1.5x-10)2=102+x2　10.-1 能力提升 1.D　解析:A.方程8x2-7=0的一次项系数为0,故A选项不符合题意;B.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),故B选项不符合题意;C.当a=3且b≠-1,c≠0时,方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0可化为(b+1)x+c=0,不是一元二次方程,故C选项不符合题意;D.∵当m取任意实数时,m2+1≠0,∴关于x的方程(m2+1)·x2-mx-3=0为一元二次方程,故D选项符合题意.故选D. 2.A　解析:关于x的一元二次方程x2+bx+c=0,∵1+b+c=0,∴当x=1时,方程左边=1+b+c=0=方程右边,∴x=1是方程x2+bx+c=0的根.故选A. 3. B　解析:根据题意,得 解得m=3.故选B. 4.B　解析:由题意可知,该组共有x名同学,每名同学送出(x-1)本图书,∴列出的方程是x(x-1)=210.故选B. 5.-4　解析:∵m,n是方程x2+3x-1=0的两个根,∴m2+3m-1=0,n2+3n-1=0, ∴m2+3m=1,n2+3n=1,∴(m2+3m+3)·(n2+3n-2)=(1+3)×(1-2)=-4. 6.x=2　解析:对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)-1=0,设t=x-1,∴at2+bt-1=0.∵关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0(a≠0)有一根为x=1,∴at2+bt-1=0有一根为t=1,∴x-1=1,解得x=2,∴a(x-1)2+b(x-1)-1=0必有一根为x=2. 7.解:(1)设参赛的足球队有x个, 根据题意,得=55. 整理,得x2-x-55=0. (2)设个位上的数为x,则十位上的数为x+7. 根据题意,得(x+7+x)2=10(x+7)+x. 整理,得4x2+17x-21=0. 8.解:上述两位同学的解法都不正确,均考虑不全面.正确的解法如下: 要使x2a+b-3xa-b+1=0是关于x的一元二次方程, 则或或或或 解得或或或或 9.解:(1)x2+3x-4=0 (2)由题意得一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+1=0, 把x=-1代入方程, 得c+2+1=0, ∴c=-3. (3)2 026 学科网（北京）股份有限公司 $