精品解析：广东清远市华侨中学2026-2027学年高三上学期九月月考数学试题

2026-2027学年清远市华侨中学高三级九月月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 下列导数的运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 3. 函数的最小值是（ ） A. 7 B. 1 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 4. 的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得， 因此，展开式中含项的系数为. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，依次判断代入求值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 6. 已知a，b，c分别是函数，，的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想可求解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点为函数和函数的交点的横坐标. 同理可得函数的零点为函数和函数的交点的横坐标. 由，得，解得，所以. 令，求导可得， 当时，恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，即， 同理，令，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即， 所以作出函数，，的图象如图所示， 由图象可得，所以. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数定义可得，可知4为的一个周期，且，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 8. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出、，根据回归直线方程必过，即可求出，从而得到回归直线方程，根据与成正相关，即可得到相关系数，再令求出，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D； 【详解】解：依题意，， 因为回归直线方程为必过样本中心点，即，解得， 故A正确；则回归直线方程为，则与成正相关，即相关系数，故B错误， 当时，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C正确， 该人工智能公司这5年的利润的方差为，故D错误； 故选：AC 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的图象判断区间导数值的符号，进而依次判断各项对应区间中的单调性. 【详解】由图知，在区间上，在区间上， 所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增. 故选：BC 11. 现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（ ） A. 选人为负责人的选法种数为 B. 每组选名组长的选法种数为 C. 若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 D. 若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理可判断A选项的正误；利用分步乘法计数原理可判断B选项的正误；利用分类加法计数和分步乘法计数原理可判断C选项的正误；利用间接法可判断D选项的正误. 【详解】对于A，个数学课外兴趣小组共有（人），故选人为负责人的选法共有种，A对； 对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选名组长， 所以不同的选法共有（种），B错； 对于C，分六类：从第一、二组中各选人，有种不同的选法； 从第一、三组中各选人，有种不同的选法； 从第一、四组中各选人，有种不同的选法； 从第二、三组中各选人，有种不同的选法； 从第二、四组中各选人，有种不同的选法； 从第三、四组中各选1人，有种不同的选法. 所以不同的选法共有（种），C错； 对于D，若不考虑限制条件，每个人都有种选法，共有种选法， 其中第一组没有人选，每个人都有种选法，共有种选法， 所以不同的选法有（种），D对. 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由条件求出，进而可得它的反函数． 【详解】设（且）， ∵函数经过点，即，即， ∴，， ∴它的反函数的解析式为． 故答案为：． 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得曲线在点处的切线方程，设曲线在处的切线为，由题意可得，进而可求得切点为，利用切点在曲线上可求解. 【详解】由，得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线为， 由，得，所以，解得， 又，所以，所以切点为， 又点在曲线上，所以， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 17. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）的分布列为 （2）类，理由如下： 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为： （2）小明应选择先回答类问题，理由略 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 19. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 【答案】（1）； （2）由（1）得，曲线为， 当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； 当直线的斜率存在时，设， 必要性： 若M，N，F三点共线，可设直线即， 由直线与曲线相切可得，解得， 联立可得，所以， 所以, 所以必要性成立； 充分性：设直线即， 由直线与曲线相切可得，所以， 联立可得， 所以， 所以 ， 化简得，所以， 所以或，所以直线或， 所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立； 所以M，N，F三点共线的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解； （2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证； 充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以， 又，所以椭圆方程为； （2）略 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年清远市华侨中学高三级九月月考试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列导数的运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最小值是（ ） A. 7 B. 1 C. 5 D. 4. 的展开式中，含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c分别是函数，，的零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 8. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某人工智能公司近5年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 利润y/亿元 2 3 4 5 7 已知变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 变量y与x之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元 D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2 10. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增 11. 现有个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有人、人、人、人，则下列说法正确的是（ ） A. 选人为负责人的选法种数为 B. 每组选名组长的选法种数为 C. 若推选人发言，这人需来自不同的小组，则不同的选法种数为 D. 若另有名学生加入这个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有种 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______． 13. 若对数函数经过点，则它的反函数的解析式为_______． 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 17. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 19. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $