专题08反比例函数的图象和性质、实际问题与反比例函数同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题08反比例函数的图象和性质、实际问题与反比例函数同步培优讲义 ✺知识框架 ✅本节课在反比例函数概念基础上，利用描点法画出双曲线，研究图象的象限分布、增减性与对称性，掌握k的几何意义；建立反比例函数模型解决实际问题。本节是反比例函数单元的核心内容，也是后续综合题学习的基础。 1.图象绘制：描点法画反比例函数图象，认识双曲线特征 2.图象性质：象限分布、增减规律、图象对称性 3.核心结论：比例系数k的几何意义 4.基础应用：判断点与图象位置、比较函数值大小 5.实际应用：建立函数模型，求解实际问题并确定自变量取值范围 ✺学习目标 1.会用描点法绘制反比例函数图象，知道图象为双曲线，掌握图象基本特征。 2.掌握反比例函数图象与性质，能依据k的符号判断图象位置，理解增减性与对称性。 3.理解k的几何意义，能解决简单的面积问题。 4.会判断点是否在函数图象上，能利用性质比较函数值大小。 5.能从实际情境中构建反比例函数模型，结合实际确定自变量取值范围。 ✺题型归纳 题型1.判断（画）反比例函数图象 题型2.已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型3.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型5.判断反比例函数的增减性 题型6.判断反比例函数图象所在象限 题型7.已知反比例函数的增减性求参数 题型8.比较反比例函数值或自变量的大小 题型9.已知比例系数求特殊图形的面积 题型10.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型11.求反比例函数解析式 题型12.反比例函数与几何综合 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型14.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型15.一次函数与反比例函数的交点问题 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 题型17.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型18.实际问题与反比例函数 题型19.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、反比例函数图象的绘制 重要特征：反比例函数图象是双曲线，由两支曲线组成；图象无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 知识点二、反比例函数的图象与性质 反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表： 易错提示：函数增减性仅限同一象限内，跨象限的点不适用此规律。 知识点三、反比例函数图象的对称性 1.中心对称：双曲线关于坐标原点中心对称。 2.轴对称：双曲线关于直线y=x、直线y=-x轴对称。 知识点四、比例系数 k 的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接 y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点五、反比例函数性质的基础应用 1.判断点的位置：将点的横、纵坐标代入解析式，等式成立，则点在函数图象上。 2.比较函数值大小：根据k的符号确定图象象限，结合同一象限内的增减规律比较函数值。 知识点六、实际问题与反比例函数 ▲利用反比例函数解决实际问题的步骤： 1.审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； 2.建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； 3.计算求解：利用解析式求解对应变量的值； 4.规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 常见模型：路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、总工作量一定时效率与时间、压力一定时压强与受力面积。 【易错提醒】 1.绘制图象时误用折线连线，或误认为双曲线与坐标轴相交。 2.描述增减性遗漏 “在每个象限内” 的前提，跨象限乱用增减规律。 3.混淆 k>0与k<0对应的图象象限和增减变化。 4.运用k的几何意义求面积时，忽略绝对值导致符号错误。 5.比较函数值大小时，不区分点所在象限直接比较，造成解题错误。 6.解决实际问题时，忽略自变量的实际取值范围，得到不符合题意的结果。 ✺题型精讲 题型1.判断（画）反比例函数图象 1．反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．函数的图像经过的象限是______． 3．在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象． 题型2.已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 3．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 题型3.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 3．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 题型4.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 3．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 题型5.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．若反比例函数的图象经过点，当时，y随x的增大而___（填“增大”或“减小”或“不变”）． 3．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论．     题型6.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．当时，则反比例函数的图象在第_________象限． 3．指出下列反比例函数的图象所在的象限． (1)； (2)； (3)． 题型7.已知反比例函数的增减性求参数 1．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 3．对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 题型8.比较反比例函数值或自变量的大小 1．已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 3．如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 题型9.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 2．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 3．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 题型10.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 题型11.求反比例函数解析式 1．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 3．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 题型12.反比例函数与几何综合 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 2．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 3．如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 3．按要求完成下列各题： (1)若实数满足，求的值； (2)解关于的不等式：； (3)求方程的所有整数解． 题型14.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______． 3．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 题型15.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 2．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 题型17.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 题型18.实际问题与反比例函数 1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 3．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ ✺课堂小练 一、单选题 1．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 3．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 二、填空题 5．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 6．已知是反比例函数，则它的图象在第______象限． 7．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 8．如图，一次函数与反比例函数．（其中）图象交于，两点． （1）反比例函数的表达式为；____________； （2）的面积是；___________． 三、解答题 9．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 10．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点； (4)在（3）中，求的面积． 11．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08反比例函数的图象和性质、实际问题与反比例函数同步培优讲义 ✺知识框架 ✅本节课在反比例函数概念基础上，利用描点法画出双曲线，研究图象的象限分布、增减性与对称性，掌握k的几何意义；建立反比例函数模型解决实际问题。本节是反比例函数单元的核心内容，也是后续综合题学习的基础。 1.图象绘制：描点法画反比例函数图象，认识双曲线特征 2.图象性质：象限分布、增减规律、图象对称性 3.核心结论：比例系数k的几何意义 4.基础应用：判断点与图象位置、比较函数值大小 5.实际应用：建立函数模型，求解实际问题并确定自变量取值范围 ✺学习目标 1.会用描点法绘制反比例函数图象，知道图象为双曲线，掌握图象基本特征。 2.掌握反比例函数图象与性质，能依据k的符号判断图象位置，理解增减性与对称性。 3.理解k的几何意义，能解决简单的面积问题。 4.会判断点是否在函数图象上，能利用性质比较函数值大小。 5.能从实际情境中构建反比例函数模型，结合实际确定自变量取值范围。 ✺题型归纳 题型1.判断（画）反比例函数图象 题型2.已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型3.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型4.已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型5.判断反比例函数的增减性 题型6.判断反比例函数图象所在象限 题型7.已知反比例函数的增减性求参数 题型8.比较反比例函数值或自变量的大小 题型9.已知比例系数求特殊图形的面积 题型10.根据图形面积求比例系数（解析式） 题型11.求反比例函数解析式 题型12.反比例函数与几何综合 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型14.一次函数与反比例函数图象综合判断 题型15.一次函数与反比例函数的交点问题 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 题型17.一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型18.实际问题与反比例函数 题型19.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、反比例函数图象的绘制 重要特征：反比例函数图象是双曲线，由两支曲线组成；图象无限靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 知识点二、反比例函数的图象与性质 反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表： 易错提示：函数增减性仅限同一象限内，跨象限的点不适用此规律。 知识点三、反比例函数图象的对称性 1.中心对称：双曲线关于坐标原点中心对称。 2.轴对称：双曲线关于直线y=x、直线y=-x轴对称。 知识点四、比例系数 k 的几何意义 1.过y=(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于|k|。连接 y=(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于。 2.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到|k|的值，进而确定函数表达式。 知识点五、反比例函数性质的基础应用 1.判断点的位置：将点的横、纵坐标代入解析式，等式成立，则点在函数图象上。 2.比较函数值大小：根据k的符号确定图象象限，结合同一象限内的增减规律比较函数值。 知识点六、实际问题与反比例函数 ▲利用反比例函数解决实际问题的步骤： 1.审题分析：找出题目中乘积为定值的两个变量； 2.建立模型：设反比例函数解析式，代入已知条件求出k； 3.计算求解：利用解析式求解对应变量的值； 4.规范作答：结合实际意义确定自变量取值范围，检验结果合理性。 常见模型：路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、总工作量一定时效率与时间、压力一定时压强与受力面积。 【易错提醒】 1.绘制图象时误用折线连线，或误认为双曲线与坐标轴相交。 2.描述增减性遗漏 “在每个象限内” 的前提，跨象限乱用增减规律。 3.混淆 k>0与k<0对应的图象象限和增减变化。 4.运用k的几何意义求面积时，忽略绝对值导致符号错误。 5.比较函数值大小时，不区分点所在象限直接比较，造成解题错误。 6.解决实际问题时，忽略自变量的实际取值范围，得到不符合题意的结果。 ✺题型精讲 题型1.判断（画）反比例函数图象 1．反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，故可得答案． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 故选：B． 2．函数的图像经过的象限是______． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 3．在平面直角坐标系中，画出反比例函数的图象． 【答案】如图所示 【分析】用描点法画出反比例函数的图象，步骤为列表、描点、连线，取值时注意，以为中心对称选取正负的值，便于计算值和体现图象的对称性． 【详解】解：列表如下： 在平面直角坐标系中，画图如下：略 题型2.已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，该函数图象为过一、三象限的反比例函数，即， 故选：C． 2．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 3．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 题型3.由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 2．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 3．若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 题型4.已知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴的值可以是5． 2．反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 3．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下面的问题：图象的另一支在哪个象限？常数的取值范围是什么？ 【答案】图象的另一支在第四象限， 【分析】先根据反比例函数图象的一支所在象限，确定另一支所在象限，再依据反比例函数性质求出常数的取值范围． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时图象在第二、四象限是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，一支在第二象限， ∴另一支在第四象限． ∵在二、四象限， ∴， 解得． 题型5.判断反比例函数的增减性 1．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 2．若反比例函数的图象经过点，当时，y随x的增大而___（填“增大”或“减小”或“不变”）． 【答案】增大 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 将点坐标代入函数解析式求出k值，根据k的符号判断反比例函数的增减性． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， 当时，反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 3．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【答案】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 2．当时，则反比例函数的图象在第_________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了判断反比例函数图象所在象限，根据反比例函数中的，即可得出该反比例函数图象在第一象限，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该反比例函数图象在第一象限． 故答案为：一 3．指出下列反比例函数的图象所在的象限． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)第一、第三象限 (2)第二、第四象限 (3)第二、第四象限 【分析】（1）根据，当时，图象分布在第一，第三象限，解答即可； （2）根据，当时，图象分布在第二，第四象限，解答即可； （3）根据，当时，图象分布在第二，第四象限，解答即可． 【详解】（1）解：中，， 故函数图象分布在第一，第三象限； （2）解：中，， 故函数图象分布在第二，第四象限； （3）解：中，， 故函数图象分布在第二，第四象限． 题型7.已知反比例函数的增减性求参数 1．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 2．如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 3．对于反比例函数，在每一个象限内，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】 【分析】反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则比例系数大于0，由此可解． 【详解】解：在每一个象限内，y随x的增大而减小， ， ． 题型8.比较反比例函数值或自变量的大小 1．已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式及，的正负，确定，的符号，再分析各选项，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴，， ∴，故B选项正确，C选项错误， ∵与的大小关系不确定， ∴的符号不确定，故A、D选项不符合题意． 2．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 3．如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 【答案】(1)是负数 (2) 【分析】（1）根据图象所在象限即可得出答案； （2）根据图像性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵图象在二、四象限， ∴， 即：为负数； （2）解：∵， ∴在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴. 题型9.已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 2．如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 3．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 题型10.根据图形面积求比例系数（解析式） 1．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 2．如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义． 题型11.求反比例函数解析式 1．已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 2．已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，即可计算出的值． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点， ∴， 解得． 3．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 题型12.反比例函数与几何综合 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 2．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 3．如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 【答案】 【分析】由矩形可得到，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，然后求出反比例函数表达式，即可求解点F的坐标． 【详解】解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中， 则 ∴反比例函数解析式为 ∵点C的坐标为 ∴将代入中得 ∴． 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 2．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 3．按要求完成下列各题： (1)若实数满足，求的值； (2)解关于的不等式：； (3)求方程的所有整数解． 【答案】(1)11 (2)或 (3)或 【分析】（1）设，，得出，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）设二次函数，反比例函数，联立求出交点坐标为，，，然后画出图象求解即可； （3）首先得到，然后根据方程的解x是整数，得到是完全平方数，设（m是整数），得到是完全平方数，设（n是整数），表示出，然后分情况讨论求出，，然后代入求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∵， ∴，， ∵， ∴ ∴； （2）解：设二次函数，反比例函数 联立得， ∴或 ∴或或 ∴将或或分别代入得，或或 ∴二次函数，反比例函数的交点坐标为，，，如图所示， ∴由图象可得，当或时，二次函数图象在反比例函数图象下方 ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ ∴ ∵方程的解x是整数， ∴是完全平方数 设（m是整数） ∴ ∴ ∵方程的解y是整数， ∴是完全平方数 设（n是整数） ∴ ∴ ∵，且和的奇偶性相同 ∴当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意； ∴当，时，代入 得， ∴ ∴ ∴或 ∴（舍去）或 ∴将代入得， ∴ ∴或 解得或 ∴方程的所有整数解为或． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形求值，二次函数和反比例函数的图象和性质，解二元二次方程，一元二次方程的判别式的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型14.一次函数与反比例函数图象综合判断 1．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 2．已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 3．如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 题型15.一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 2．若点是函数和图象的一个交点，则的值为________． 【答案】10 【分析】点是两个函数交点，因此坐标满足两个函数解析式，可得和的值，利用完全平方公式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点是两个函数图象的交点， ∴点坐标满足两个函数解析式， ∴，即，同时，即， ∵， ∴代入，，得：． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 将代入反比例函数解析式得， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （3） 解：根据图象，不等式的解集为或． 题型16.一次函数与反比例函数的实际应用 1．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 3．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 题型17.一次函数与反比例函数的其他综合应用 1．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 【详解】解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： (2)或 【分析】（1）运用待定系数法，将分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它们的函数解析式； （2）设点P的纵坐标为m，由点P为线段上的一点，则有，由已知可得，，根据点C为中点，可得，最后由点C在反比例函数图象上，将点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，B点坐标为， ∴将代入反比例函数中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：； 同理，将代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设点P的纵坐标为m， ∵点P为线段上的一点，一次函数的解析式为：， ∴， ∵过P作y轴的垂线，垂足为H， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或． 题型18.实际问题与反比例函数 1．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大． 2．某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 3．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户交付首付款后，在36个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价格为18万元的汽车，首付款6万元．他计划用x个月结清余款，平均每月还款y万元． (1)y与x有怎样的函数关系？ (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能结清余款？ 【答案】(1) 与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数） (2) 0.6万元 (3) 24个月 【分析】（1） 根据“月还款额还款月数余款总额”，即可解答； （2）把代入函数解析式求解即可； （3）根据反比例函数的性质即可解答； 【详解】（1）解：根据题意，需要结清的余款为万元， 则， 整理得，根据题干要求36个月内结清余款，因此自变量的取值范围是，且为正整数， 故与是反比例函数关系，解析式为（，且为正整数）. （2）解：把代入函数，可得， 即每月还款万元； （3）解：5000元万元， 令，整理得，解得：， 根据题意， ∴，因此至少需要24个月结清余款． ✺课堂小练 一、单选题 1．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案． 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 2．已知反比例函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象在第一、三象限 C．随着的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【详解】解：由得，将代入解析式，得，故A正确； 函数图象在第一、三象限，故B正确； 该函数仅在每个象限内随的增大而减小，并非对任意都成立，故C错误； 当时，随的增大而减小，且时，故，D正确． 3．若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 4．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 二、填空题 5．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 6．已知是反比例函数，则它的图象在第______象限． 【答案】二、四 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，根据是反比例函数，可得的指数为，再由取值的正负判断图象所在的象限． 【详解】解：是反比例函数， ， ， 它的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 7．如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 8．如图，一次函数与反比例函数．（其中）图象交于，两点． （1）反比例函数的表达式为；____________； （2）的面积是；___________． 【答案】 / 6 【分析】（1）本题考查了反比例，解题的关键是把代入得计算即可； （2）本题考查了一次函数的性质，解题的关键是一次函数的解析式和一次函数和y轴的交点． 【详解】解：（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式是； 故答案为：； （2）把代入得：， ， ， 一次函数的解析式， 将，带入得： ， 解得：， ， 如下图，设直线与y轴的交点C， 让，则， ， ． 故答案为：6． 三、解答题 9．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 【答案】(1)； (2)每小时至少排水； (3)最少用可将满池水全部排空． 【分析】根据“排水总量排水速度排水时间”的等量关系，变形得到函数关系式； 结合反比例函数的增减性，代入求得最小排水速度； 结合反比例函数的增减性，代入求得最少排水时间． 【详解】（1）解：由题意得，蓄水池储水量为，即排水速度与排水时间的乘积为储水量，， 整理得， ∵排水时间为正数， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：要求内排空满池水，即排水时间， 将代入，得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴每小时至少排水； （3）解：∵已知最大排水速度为，即， ∴将代入，得，解得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴最少用可将满池水全部排空． 10．如图，一次函数（，为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求点的坐标及一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时的取值范围； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点； (4)在（3）中，求的面积． 【答案】(1)； (2)或． (3) (4) 【分析】（1）将点的纵坐标代入反比例函数解析式求出的值；用待定系数法将点和点的坐标分别代入一次函数解析式，求出和的值，即求得一次函数解析式； （2）根据图像，当时，反比例函数在一次函数图像上方，分别在点的左侧和点的右侧，根据两点的横坐标写出取值范围即可； （3）作点关于轴的对称点后，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （4）根据求解即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， ． 将点和代入一次函数，得 解得 一次函数的解析式为． （2）由图象知或． （3）如图，作点关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点， 则， 故 故当点共线时，值最小， ． 设直线的函数解析式为， 把，两点坐标代入，得 解得 故直线的函数解析式为． 令，则 解得，故点的坐标为． （4） 如图，连接． ． 11．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $