27.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数图象和性质的综合应用，通过表格回顾k>0和k<0时的图象特征与性质，搭建旧知到新知的学习支架，为逆向探究和例题应用奠定基础。 特色在于逆向探究建立k、图象位置、变化趋势的互推关系，培养推理能力。例2追问通过代数推理与几何直观比较跨象限函数值，强化数形结合。帮助学生提升几何直观和推理能力，为教师提供结构化教学路径。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 27.2　反比例函数的图象和性质（第2课时） 教学目标 1．能根据已知条件确定反比例函数的表达式，体会数形结合思想． 2．通过对反比例函数的图象和性质的进一步研究，理解函数图象与表达式的对应关系，增强几何直观和推理能力． 教学内容 教学重点 进一步理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它解决一些问题． 教学难点 能利用反比例函数的图象和性质解决问题，更好地理解数形结合思想． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：前面我们研究了反比例函数的图象和性质，本节课我们将继续探究如何运用反比例函数的图象和性质解决问题． 问题1：回顾反比例函数的图象特征和性质，并完成下表． 函数 图象形状 图象位置 大致图象 变化趋势 ，k＞0 ，k＜0 师生活动：教师引导学生用表格回顾反比例函数的图象和性质，学生完成表格． 设计意图：复习回顾反比例函数的图象和性质，为探究如何运用反比例函数的图象和性质解决问题作铺垫． 新知探究 问题2：（1）若反比例函数图象的两个分支位于第一、三象限，则k的取值范围是多少？在每一象限内，y随x的增大如何变化？ （2）若反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，则k的取值范围是多少？图象的位置在第几象限？ 师生活动：教师提出问题，学生独立探究尝试回答．教师引导学生逆向探究，师生共同总结得出k的取值范围、函数图象位置、变化趋势三者能知一推二． 设计意图：通过逆向探究，体会数形结合思想，发展学生推理能力、几何直观，建立k、图象位置、函数变化趋势的互推关系． 例题精讲 例1　已知反比例函数的图象经过点A(－2，4)． （1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ （2）点B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题： （1）图象经过点A(－2，4)的含义是什么？ （2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？ （3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？ （4）某点不在图象上的含义是什么？ 学生先画出函数大致图象，再运用反比例函数图象和性质解决问题．教师适时点拨，规范过程的书写． 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．因为点A(－2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限．在每一个象限内，y随x的增大而增大． （2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(－2，4)在其图象上，所以点A满足，即，解得k＝－8． 因此，这个反比例函数的解析式为．因为点B，C的坐标都满足解析式，点D的坐标不满足解析式，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上． 设计意图：通过例题综合运用反比例函数相关知识，引导学生类比已有函数知识，用待定系数法求解析式，由k判断图象所在象限与变化趋势，通过代入验证判断点与图象的位置关系，培养运算能力、推理能力，渗透数形结合思想，强化知识综合应用． 例2　图1的曲线是反比例函数的图象的一支．根据图象，回答下列问题： 图1 （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 师生活动：学生充分研读题目后，教师引导并提出下列问题： （1）函数图象的另一支位于哪个象限？ （2）函数图象所在象限与解析式中哪个式子有关？ （3）在图象的两支上，y随x的增大如何变化？ 学生通过反比例函数图象，得出函数对应性质，并解决问题． 设计意图：借助反比例函数图象某一支的特征，引导学生逆向推导完整图象所在象限，推导参数取值范围，结合增减性比较函数值，体会数形结合思想，巩固图象与性质的互推方法． 追问1：你还有其他方法解决第（2）题吗？ 师生活动：教师引导学生在函数图象上取两个满足题意的点A和点B，如图2，借助图象直观地得出相应的结论． 图2 追问2：在函数图象的两个分支上取三个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＞x2＞0＞x3，那么y1，y2和y3有怎样的大小关系呢？你有什么不同的解决方法吗？ 师生活动：学生口述，说明理由，教师呈现不同方法和说理过程． 方法1：因为x1＞x2＞0＞x3， 所以点C在第三象限，y3＜0；点A，B在第一象限，y1＞0且y2＞0． 因为函数图象在每一个象限内，y随x的增大而减小， 所以y2＞y1＞0＞y3． 方法2：结合图象直观得出结论，如图3． 图3 设计意图：引导学生运用代数推理、几何直观两种方法比较跨象限的函数值，区分同一象限与不同象限的增减性差异，渗透数形结合思想，培养几何直观、推理能力，通过一题多解，深化对反比例函数的图象和性质的理解． 课堂练习 1．已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6)． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ （2）点B(3，4)，C，D(2，－6)是否在这个函数的图象上？为什么？ 2．反比例函数的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 3．已知点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在反比例函数的图象上．如果x1＜x2，且x1，x2同号，那么y1和y2有怎样的大小关系？为什么？ 师生活动：教师提出问题，学生独立完成后再交流，教师进行适时评价． 设计意图：帮助学生巩固对反比例函数的图象和性质的综合运用，实现知识向能力的转化，发展学生的运算能力、推理能力和几何直观． 课堂小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）如何判断平面直角坐标系中的点与反比例函数图象的关系？ （2）如何利用反比例函数图象，比较函数值的大小？ （3）你能归纳利用反比例函数图象和性质解决问题的一般步骤和方法吗？ 参考回答：（1）将点的横、纵坐标代入反比例函数解析式中，若等式成立，说明点的坐标满足函数关系，则点在函数的图象上． （2）同一象限内的点，可根据函数图象的变化趋势比较函数值大小；不同象限的点，先根据点所在象限判断函数值的正负，再比较大小．也可以在函数图象上描出对应点，通过比较点的高低位置，判断函数值的大小关系． （3）先根据已知信息，求出反比例函数的k值，或判断k的符号；再根据k的符号，画出函数的图象；对照图象特征，利用反比例函数的图象和性质解决问题． 师生活动：教师提出问题，学生根据问题进行课堂小结，教师辅助学生完善研究反比例函数图象和性质的思路、方法． 设计意图：引导学生归纳本课方法与技巧，体会数形结合在综合运用函数的图象和性质解决问题时的重要性，积累学习经验． 课后任务 教科书习题27.2第5，7题． 学科网（北京）股份有限公司 $