第8节 函数与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

第8节 函数与方程 课标要求： 1． 结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系； 2． 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理； 3． 了解用二分法求方程的近似解． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 函数的零点 （1） 概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点； （2） 方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点． 2． 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有．那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 3． 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）若在区间上图象连续，且，同时在区间上单调，则在内有且仅有一个零点； （2）函数的零点个数方程的实根个数函数与图象交点的个数； （3）一元二次方程根的分布，可用判别式、对称轴位置与区间端点函数值三个条件进行判断； （4）求零点（参数）范围常用“分离参数法”：由分离出，则零点存在直线与的图象有交点； （5）周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 2．易错提醒 （1）忽视“连续”：零点存在性定理的前提是图象连续不断，若函数不连续，也不能保证有零点； （2）误用定理逆命题：是零点存在的充分不必要条件．如，在上有零点，但； （3）零点不是点：零点是横坐标（实数），不能写成坐标点的形式； （4）把“至少一个”当成“仅有一个”：定理只能保证零点存在，不能保证唯一性，唯一性需要由单调性补充； （5）分离参数时忽视等号：直线与曲线恰好相切或交于端点时，取值范围的端点能否取到需逐一检验； （6）忽略二分法的使用条件：二分法求零点近似解的原理是零点存在性定理，不是所有的零点都能使用二分法求解．如，零点两边的函数值正负性相同时． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）任何一个函数都存在零点．（　　） （2）函数的零点是和．（　　） （3）函数的零点就是函数图象与轴的交点．（　　） （4）图象连续的函数（）在区间内有零点，则．（　　） （5）对于二次函数（），若，则没有零点．（　　） （6）用二分法求零点时，取区间中点，若，则零点落在区间内．（　　） 2．函数的零点是_________． 3．函数的零点个数为（　　） A． B． C． D． 4．方程的实数根所在的长度为的开区间（端点为整数）是_________． 5．若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是_________． 6．（多选）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（　　） A． B． C． D． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 函数零点所在区间的判断 【考法分析】重点考查利用零点存在性定理求零点所在的区间的方法． 【典例1】（1）方程的根所在的区间是（　　） A． B． C． D． （2）若，则函数的两个零点分别位于区间（　　） A．和内 B．和内 C．和内 D．和内 【变式1】（1）已知定义在上的连续函数，的部分对应值如下表所示，则能够判断在下列区间中有实数解的是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】确定函数零点所在区间的常用方法： （1）直接求出函数零点，直接根据零点判断其所在区间； （2）利用函数零点存在定理：首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数在区间内必有零点； （3）数形结合法：通过画出函数的图象，根据图象与轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点二 函数零点个数的判断 【考法分析】重点考查函数零点个数的确定，常用零点存在性定理、函数单调性与图象相交法． 【典例2】（1）已知函数，则函数的零点个数为（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 （2）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（　　） A． B． C． D． （3）已知函数，则方程的实数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）函数的零点个数为（　　） A． B． C． D． （2）已知是定义在上的奇函数，且，若在上单调递增，且，，则函数（）的零点个数为（　　） A． B． C． D． （3）已知函数，则函数的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】求函数零点个数的基本方法： （1） 直接法：令，方程有多少个不同的实数根，就有多少个零点； （2） 定理法：利用函数零点存在性定理，常结合函数的单调性、奇偶性和周期性进行计算； （3） 图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两个函数图象的交点个数得出函数的零点个数； （4） 复合函数的零点个数：一层一层的求函数的零点，结合上述三个方法进行计算． 考点三 函数零点的应用 【考法分析】重点考查根据函数零点求参数以及比较零点大小、判断零点范围等问题． 【典例3】（1）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（　　） A． B． C． D． （2）设函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_________． （3）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （4）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是_________． 【变式3】（1）已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数恰有个零点，则整数的取值个数是（　　） A． B． C． D． （3）函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（　　 ） A． B． C． D． （4）已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】已知函数有零点求参数值或取值范围的常用方法： （1） 直接法：直接根据题目条件构建关于参数的不等式，在通过解不等式确定参数的取值范围； （2） 分离参数法：将参数分离，转化成函数值域问题来解决； （3） 数形结合法：一般都是把函数拆分为两个函数，通过函数图象利用数形结合的方法来解决问题； （4） 复合函数求参问题：一层一层的求函数的零点，结合上述三个方法进行计算． 课后练习 1、 单选题 1． 函数的零点个数为（　　） A． B． C． D． 2． 函数的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 3． 已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值： 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4． 已知，则的零点所在的区间是（　　） A． B． C． D． 5． 已知分别为函数，，的零点，且，则（　　） A． B． C． D． 6． 已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（　　） A． B． C． D． 7． 已知函数，若是方程的四个根，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8． 已知函数为偶函数，当时，，若关于的方程恰有个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 下列函数在区间内存在唯一零点的是（　　） A． B． C． D． 10． 已知函数在区间上有两个不同的零点，则（　　） A． B． C． D． 11． 已知函数，若函数有个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．个零点之和是 3、 填空题 12． 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则实数的值为________． 13． 已知函数满足，且是偶函数，当时，．若在区间内，函数有个零点，则实数的取值范围是_________． 14． 函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】如函数，没有零点． （2）× 【解析】函数的零点是和． （3）× 【解析】零点不是点，函数的零点是函数图象与轴交点的横坐标值． （4）× 【解析】函数在区间内有零点，但是． （5）√ 【解析】，则二次函数的图象与轴没有交点，函数没有零点． （6）√ 2．和 【解析】令，则， 即，即或， ∴函数的零点为和． 3．B 【解析】当时，令， 则，即或（舍去）， 当时，令，则， ∴当时，或， ∴函数的零点为或，有个． 4． 【解析】令， 则的零点即为方程的实数根， ，， 即， 又函数在区间上连续， ∴函数在区间内有零点， 又函数和在上单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴函数有唯一一个零点在区间内， ∴方程的实数根所在区间是． 5． 【解析】当时，，没有零点， 当时，根据一次函数的单调性，在上单调， 函数在区间内连续， 由零点存在性定理，在区间内存在零点， 则，即， 解得或． 6．AC 【解析】当零点两边的函数正负性相同时，不能用二分法求零点． 【典例1】（1）C 【解析】令， 则方程的根所在区间即函数零点所在区间， ∵函数与在上单调递减， ∴函数在上单调递减， ，∴当时，， ∴在和内没有零点，选项A、B错误； ，，∴，∴， ， ∴，∴，，选项C正确； 当时，，∴函数在区间内没有零点，选项D错误． （2）A 【解析】函数是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点， 由得，，，， ∴，，， ∴，， ∵函数在上连续，∴在区间和内各有一个零点． 【变式1】（1）B 【解析】令， 则实数解所在区间即为函数零点所在区间， 函数和在上连续，则在上连续， 根据表格内容可知，， ，， ，， ∴，∴函数在区间内有零点． （2）C 【解析】函数与在上单调递增， ∴函数在上单调递增且连续， ∴函数在上最多有个零点， ， ， ∴，∴函数在内至少有一个零点， ∴函数有唯一零点且在区间内，∴． 【典例2】（1）B 【解析】函数和在上单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴函数在上至多有一个零点， ∵，， ∴，∴函数在上至少有一个零点， ∴函数在上存在唯一零点． （2）B 【解析】由得，函数是周期为的周期函数， 方程等价于， 令，则方程的实数根个数为函数与图象的交点个数， 当时，，作出与的图象如图所示： ∵，，， ∴函数与的图象的交点个数为，即方程的实数根个数为． （3）D 【解析】当时，， 当时，， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴是方程的实数解， 当时，，， ∴或， 当时，，此时无实根， 由得，或（舍去）， 此时方程有一个实根， 当时，，或， 此时方程有两个实根， 同理，方程有两个实根， 综上所述，方程的实数解的个数为． 【变式2】（1）C 【解析】函数与在上单调递增， ∴当时，单调递增且图象连续， ∴在上至多有一个零点， ，， ∴，∴函数在上至少有一个零点， ∴当时，函数有唯一一个零点， 当时，， 令，则，即， 解得或（舍去）， ∴当时，函数只有一个零点， ∴函数的零点个数为． （2）B 【解析】由得， ∴，即， ∴函数关于直线对称， ∵是奇函数，∴， ∴， ∴函数是周期为的周期函数， 在上单调递增，由对称性得在上单调递减， 由，，得， 当时，函数与函数的大致图象如下： 由图象可知，函数与的图象交点个数为， ∴函数的零点个数为． （3）B 【解析】令，则， 即或， 当时，若，则，即（舍去）， 若，则，即或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴方程有个实数解， 当时，若，则，即， 若，则，即或， 解得，，，（舍去）， ∴方程有个实数解， 综上所述，方程有个实根， 即函数的零点个数为． 【典例3】（1）A 【解析】函数、和在定义域内单调递增， ，，∴， ，∴， ，∴，∴． （2） 【解析】当时，，单调递增， ∴， 当时，， 令，则或， 若，则当时，，无零点， 当时，，无零点， 若，则当时，有一个零点， 由函数恰有个零点得，当时函数恰有个零点， ∴且，即，结合得， 若，则当时，，无零点， 当时，函数有两个零点、，符合题意， 综上所述，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是． （3）B 【解析】函数与在上单调递增， ∴函数在上单调递增， 若函数在区间上有零点，则或， 即或， 解得或， ∴若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是． （4） 【解析】若，则， 令，则， 若，则， 令，则或， 当时，，对称轴为， 若，则当时，或， 此时函数在上单调递增，函数的大致图象如下： 由函数图象可知，方程有两个实根，方程有一个实根， 此时函数有个零点，不符合题意， 若，则当时，、或， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的大致图象如下： 由函数图象可知，方程有个实根，方程有个实根， 又函数有个零点，则方程有个实根， ∴且，∴， 综上所述，实数的取值范围是． 【变式3】（1）C 【解析】函数的图象如下： 关于的方程恰有个不同的实数解， 不妨设，则， 根据二次函数的对称性得， ∴，即的取值范围是． （2）B 【解析】方程最多有个实根， 方程最多有个实根， ∴若恰有个零点，则方程有两个不同实根，方程有个实根，且互不相同， ∴且，即， ∴整数的可能值为， 当时，方程的根为和， 方程的根为， 此时函数的零点为，不符合题意， 当时，方程的根为和， 方程的根为， 此时函数的零点为，符合题意， 当时，方程的根为和， 方程的根为， 此时函数的零点为，符合题意， 当时，方程的根为和， 方程的根为， 此时函数的零点为，不满足题意， 综上所述，满足题意的整数为，两个值． （3）D 【解析】由题意，方程在内有实数解， 即在内有实数解， 函数在区间上单调递减， ∴，∴实数的取值范围是． （4）D 【解析】， 即，∴或， 函数的大致图象如图所示， 由图可知，方程有一个根， 要使方程有个不同的实数根， 则方程有个不同的实数根， 结合函数图象可知，∴， ∴实数的取值范围是． 课后练习 1．B 【解析】当时，，令，则或（舍去）， 当时，，令，则，即， ∴函数的零点为和，共个． 2．D 【解析】函数和在上单调递增， ∴函数在上单调递增， ∴函数在区间上最多有一个零点， ，， ，∴在区间内至少有一个零点， ∴函数有且仅有一个零点且在区间内． 3．B 【解析】由表格可知，，，， ∴函数在区间，，上至少有一个零点， ∴函数在区间上的零点至少有个． 4．C 【解析】令，则， 即，解得， ，∴， 又，∴， ∴的零点所在区间是． 5．A 【解析】由，得，则函数与的图象的交点横坐标是， 由，得，则函数与的图象的交点横坐标是， 由，得，则函数与的图象的交点横坐标是， 作出函数图象如图所示，由图可知，． 6．A 【解析】由得， ∴函数关于点对称， 函数的定义域为， ∵， ∴函数关于点对称， ∴函数与图象的交点也关于点对称， 若是两个函数图象的交点，则一定是两个函数图象的交点， 那么，， ∴． 7．D 【解析】画出函数的图象如图所示， 由有四个根，结合函数图象可知，直线与函数图象有个交点， ∴，，且， 令得或， ∴，，， ∴， 令，由得， ∴，令（）， 由对勾函数的单调性，在上单调递增， ∴，∴． 8．D 【解析】， 即，∴或， 当时，，此时方程无实根， 当时，，即，解得， ∵为偶函数，∴方程有两个实根，分别为和， 又方程恰有个不同的实根， ∴方程也有个不同于和的实根， 作出函数的大致图象如下： 结合图象可知，或且． 9．BCD 【解析】选项A，令，即， ∴，解得或， ∴函数在区间内没有零点，选项A错误； 选项B，令，即， 解得， ∴函数在区间内有唯一零点，选项B正确； 选项C，令，即，解得， ∴函数在区间内有唯一零点，选项C正确； 选项D，令，即，解得， ∴函数在区间内有唯一零点，选项D正确． 10．ACD 【解析】当时，函数在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意， 当时，函数在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意， ∴，选项A正确； 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 当时，， 要使函数在区间上有两个不同的零点， 只需满足，即， ∴，即，选项B错误； ∵，，∴，选项C正确； 由得，由得， ∴当且仅当即时取等号， ∴，选项D正确． 11．BCD 【解析】， 由题意，，即， ∴，即， ∴， 令，即， ∴， ∴或， 当时，， 即或， 解得，，，， ∴方程有个不同的实数解， 有个不同的零点， ∴方程有两个不同于上述四个解的实数解， 作出函数的大致图象如图所示， 结合函数图象可知，即，选项A错误； ∴，∴，选项B正确；，选项C正确； 结合图象可知方程的两个实数解是，， ∴个零点之和为，选项D正确． 12． 【解析】函数是偶函数，∴， ∴，∴， ∴函数是周期为的周期函数， 是的一个零点， ∴， ∴，∴． 13． 【解析】，∴函数是周期为的周期函数， 在区间内有个零点， 即函数与的图象在区间内有个交点， 画出两个函数的大致图象如图所示， 函数恒过点， 当时，两个函数图象在区间上没有交点，不符合题意， 当时，两个函数图象在区间上有两个交点，不符合题意， ∴，结合函数图象可知要使两个函数图象在区间内有个交点， 需满足，∴， ∴实数的取值范围是． 14． 【解析】画出函数的大致图象如图所示， 如图，，， 设，则， 且， 由得， ∴，∴，∴， 由题意，是方程的两个不同实根， ∴，，， ∵，∴， 又，∴的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $