第8节　指数函数（讲义）-2027届高三数学一轮复习

第8节　指数函数 　1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. 2.指数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为R,值域为(0,+∞) 图象过定点(0,1) 当x>0时,恒有y>1;当x<0时,恒有0<y<1 当x>0时,恒有0<y<1;当x<0时,恒有y>1 增函数 减函数 |微点拨| 指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,应分a>1与0<a<1来研究. 1.函数y=ax与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 2.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. [诊断自测] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. (√) (2)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n. (×) (3)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数. (√) 2.(苏教版必修第一册例题改编)函数y=ax+2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点 (　　) A.(-1,1) B.(2,1) C.(-2,2) D.(2,-2) 解析　C　令x+2=0,则x=-2,此时y=a-2+2+1=2,故函数y=ax+2+1的图象过定点(-2,2). 3.(人教A版必修第一册习题改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,2) 解析　由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2). 4.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.  答案　2或 解析　若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,则f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=. 考点一　指数函数的图象及应用 例1 (1)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为　　　　.  答案　(1)A　(2)(-∞,0] 解析　(1)因为0<a<1,所以y=ax的图象经过第一、第二象限,且当x越来越大时,图象与x轴无限接近.又b<-1,所以y=ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y=ax+b的图象,故y=ax+b的图象不经过第一象限. (2)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0]. 1.(变条件)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(0,1) 解析　曲线y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线,图象如图所示,由图象可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个交点,则m的取值范围是(0,1). 2. (变条件)若本例(2)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-1] 解析　作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m≤-1,即m∈(-∞,-1]. 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 1.(多选)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 解析　ABC　由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示, 由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故A正确; 作出直线y=k,当k>1时,若3a=6b=k,则0<b<a,故B正确; 作出直线y=m,当0<m<1时,若3a=6b=m,则a<b<0,故C正确; 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故D错误. 2.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 考点二　指数函数的性质的应用 角度1　比较指数式大小 例2 (一题多解)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 解析　D　法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;因为函数g(x)=0.6x是减函数,且0.5>0,所以0.60.5<0.60=1,即c<1.综上,c<a<b. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数,且0.6>0.5,所以1.010.6>1.010.5,即b>a;因为函数h(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,所以1.010.5>0.60.5,即a>c.综上,c<a<b. 角度2　解简单的指数方程或不等式 例3 (1)已知p:ax<1(a>1),q:-x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知函数f(x)=,则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(0,1) D.(1,+∞) 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)∵ax<1,当a>1时,y=ax是增函数,∴p:{x|x<0}. 对于不等式2x+1<x+2, 作出函数y=2x+1与y=x+2的图象,如图所示. 由图象可知,不等式2x+1<x+2的解集为{x|-1<x<0}, ∴q:{x|-1<x<0}. 又∵{x|-1<x<0}⊆{x|x<0}, ∴p是q的必要不充分条件. (2)由题意可知f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x), 所以f(x)为偶函数. 当x>0时,函数f(x)=,f(x)单调递减. 若f(2a)<f(a-1)成立,则|2a|>|a-1|,解得a<-1或a>. 又a>0,所以正实数a的取值范围是. 1.比较指数式的大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小. (2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x). (2)先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 3.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 解析　D　由题意得c==>,∴c>b, ∵<<,∴a<b,∴c>b>a. 4.已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] 解析　D　∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0, ∴0<2x≤1或2≤2x≤4,∴x≤0或1≤x≤2. 考点三　指数函数性质的综合应用 例4 已知函数f(x)=. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求实数a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值. 解　(1)当a=-1时,f(x)=, 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u=-(x+2)2+7在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y=在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=, 因为f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1, 因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,y=ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0. 求解与指数函数有关的复合函数问题时,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,当涉及单调性问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断. 5.函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,0] 解析　函数f(x)=由y=2t和t(x)=ax2-2x-1复合而成,由于y=2t是增函数,函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,所以t(x)=ax2-2x-1在区间(1,+∞)上单调递减.当a>0时,不符合题意;当a=0时,t(x)=-2x-1单调递减,满足题意;当a<0时,t(x)=ax2-2x-1的图象开口向下,对称轴为直线x=,故需要满足≤1,显然成立,满足题意.综上,a的取值范围是(-∞,0]. 6.是否存在实数a,使函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解　存在,令t=ax,则y=t2+2t-1. ①当a>1时,因为x∈[-1,1],所以ax∈,即t∈. 所以y=t2+2t-1=(t+1)2-2在上是增函数. 所以当t=a时,ymax=(a+1)2-2=14. 所以a=3或a=-5.因为a>1,所以a=3. ②当0<a<1时,t∈. 因为y=(t+1)2-2在上是增函数(对称轴t=-1<a), 所以ymax=-2=14.所以a=或a=-. 因为0<a<1,所以a=. 综上,a=3或a=. 1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　) A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] 解析　C　由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8]. 2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 解析　A　由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，得解得a=b=2， 所以==. 3.若函数y=2-x+1+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2] B.[-2,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,+∞) 解析　A　y=2-x+1+m=+m,由指数函数的单调性可得函数为减函数,因为图象不经过第一象限,所以当x=0时,+m≤0,解得m≤-2. 4.已知函数f(x)=1+2x-|1-2x|,则f(x)的值域是 (　　) A.(-∞,2] B.(0,2] C.(0,3] D.[1,2] 解析　B　①当x≤0时,0<2x≤1,所以f(x)=1+2x-1+2x=2·2x,又因为0<2x≤1,所以0<2·2x≤2,所以0<f(x)≤2;②当x>0时,2x>1,所以f(x)=1+2x+1-2x=2.综上,f(x)的值域为(0,2]. 5.若函数f(x)=在区间(-1,2)上单调递增,则a的取值范围是 (　　) A.[0,6] B.[-2,0] C.[6,+∞) D.(6,+∞) 解析　C　f(x)=,设y=,t=x2-(a-2)x-2a, 因为y=是减函数,f(x)在(-1,2)上单调递增, 所以t=x2-(a-2)x-2a在(-1,2)上单调递减,则≥2,即a≥6. 6.已知函数f(x)=的值域为M.若(1,+∞)⊆M,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 解析　B　当a=0时,f(x)=2-x+1∈(0,+∞),符合题意; 当a≠0时,因为函数f(x)=的值域为M,且满足(1,+∞)⊆M, 由指数函数的单调性可知,二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0, 当a>0时,依题意有y=ax2-x+1的最小值≤0,即0<a≤, 当a<0时,不符合题意. 综上,0≤a≤. 7.(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1,b≠0)的图象如图所示,则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 解析　BD　观察图象得,函数f(x)=ax-b是减函数,因此0<a<1, 设图象与y轴交点的纵坐标为y0,则0<y0<1, 又y0=f(0)=1-b,于是得0<1-b<1,解得0<b<1, 所以0<a<1,0<b<1. 8.(多选)已知函数f(x)=a·+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=0 B.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 C.若x<y<0,则f(x)<f(y) D.f(x)的值域为[0,2) 解析　ABD　∵函数f(x)=a·+b的图象过原点, ∴a+b=0,即b=-a,f(x)=a·-a, 且f(x)的图象无限接近直线y=2,但又不与该直线相交, ∴b=2,a=-2,f(x)=-2·+2,故A正确; 由于f(x)为偶函数,故若f(x)=f(y),且x≠y,则x=-y,即x+y=0,故B正确; 由于在(-∞,0)上,f(x)=2-2·2x单调递减, 故若x<y<0,则f(x)>f(y),故C错误; ∵∈(0,1],∴f(x)=-2·+2∈[0,2),故D正确. 9.不等式≤33x-4的解集为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　∪[1,+∞) 解析　依题意,≤33x-4,即≤33x-4, 由于y=3x在R上单调递增,所以1-2x2≤3x-4, 即2x2+3x-5=(x-1)(2x+5)≥0,解得x≤-或x≥1, 所以不等式的解集为∪[1,+∞). 10.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为　　　　.  答案　或 解析　当a>1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增, 由题意可得,f(2)-f(1)=a2-a=,解得a=或a=0(舍去); 当 0<a<1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减, 由题意可得,f(1)-f(2)=a-a2=,解得a=或a=0(舍去), 综上所述,a=或 a=. 11.已知定义域为R的函数f(x)=ax-(k-1)·a-x(a>0,且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若f(1)<0,判断函数f(x)的单调性,若f(m2-2)+f(m)>0,求实数m的取值范围. 解　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0, ∴k=2, 经检验k=2符合题意,所以k=2. (2)由(1)知,f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1), ∵f(1)<0,即a-<0, 又a>0,且a≠1,∴0<a<1, 而y=ax在R上单调递减,y=-a-x在R上单调递减, 故由单调性的性质可判断f(x)=ax-a-x在R上单调递减, 不等式f(m2-2)+f(m)>0可化为f(m2-2)>f(-m), ∴m2-2<-m,即m2+m-2<0,解得-2<m<1, ∴实数m的取值范围是(-2,1). 12.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=21-x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥恒成立,求实数n的取值范围. 解　(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)=21-x, 所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=21+x, 所以则f(x)=2x+2-x,g(x)=2-x-2x. (2)因为f(x)=2x+2-x≥2=2, 当且仅当2x=2-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)min=2. 所以对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 即2≥,则n2-2n-2≤1, 即n2-2n-3≤0,解得-1≤n≤3, 所以实数n的取值范围为[-1,3]. 13.(多选)点M(x1,y1)在函数y=ex的图象上,当x1∈[0,1),则可能等于 (　　) A.-1 B.-2 C.-3 D.0 解析　BC　由表示M(x1,y1)与点A(1,-1)所成直线的斜率k,又M(x1,y1)是y=ex在x∈[0,1)部分图象上的动点,图象如图所示. 由图可知B(1,e),则k∈(-∞,-2],只有B,C满足. 14.(多选)已知函数f(x)=m-是定义域为R的奇函数,则下列说法正确的是(　　) A.m= B.函数f(x)在R上的最大值为 C.函数f(x)是减函数 D.存在实数n,使得关于x的方程f(x)-n=0有两个不相等的实数根 解析　AC　因为函数f(x)=m-是定义域为R的奇函数,所以f(0)=m-=0, 解得m=,此时f(x)=-, 则f(-x)=-=-=-=-1+ =-=-f(x),符合题意,故A正确; 又f(x)=-=-=-, 因为ex>0,所以ex+1>1,则0<<1,所以-<f(x)<, 即f(x)∈,故B错误; 因为y=ex是增函数,y=ex>0,且y=在(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)=-是减函数,故C正确; 因为f(x)是减函数,所以y=f(x)与y=n最多有1个交点, 故f(x)-n=0最多有一个实数根, 即不存在实数n,使得关于x的方程f(x)-n=0有两个不相等的实数根,故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $