第2章 第8节 函数与方程-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 (2)A[因为函数y=xcos z十sinx为奇函数，所以图 象关于原点对称，排除C、D,因为当x=π时，y=一π 0,排除B.」 跟踪训练 xcos 2x 1.A[由函fx)=n,可得其定义城为（一o, 0)U(0,十∞)，关于原点对称， 且满足f(一x)= 一xC0s(-2x) xcos 2x ln[(-x)+1 ln(.x2+1) =一f(x), 所以函数∫(x)为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、 D选项； cos 2 文由f(1)=1n1+1n2 =os2<0,可排除C选项，所以 选项A符合题意.] 2.B f(x)=-z2+(e-e )sin z, 则f(一x)=一（一x)+(e一e)sin(-x) =-2+(e-e)sin x=f(x) ∴y=f(z)为偶函数，排除A,C: f(受)-+c-。 4 =c-e5-7>0… 故排除D,B正确.] 考点三 1.B[(1)法一：由f(x)=0,得 ∫x≤0 {x2+x-2=0' 或∫x>0 2 y=f (x) {-1+nx=0' 234 解得x=一2，或x=e 因此函数f(x)共有2个 零，点. 法二：函数∫(x)的图象如图 所示， 由图象知函数f(x)共有2个零，点，门 2.D[作函数f(x)的图象， 观察图象可知会有 y=2 f2x<0 12z<x+1:解得x<0, y=1 所以满足f(x十1)<f(2x)的x 的取值范围是（一○，0）.门 0 3.B[依题意，“伙伴点组”的点满 足，都在y=(x)的图象上，且关于坐标原，点对称.可作出函 数y=一n(-x)(x<0)关于原点对称的函数 y=lnx(x>0)的图象， 使它与直线y=kx一1(x>0)的交点个数为2即可. 当直线y=kx一1与y=nx的图 象相切时，设切点为(m,nm),又 y=lnx的导数为y=L 0 则km-1=nm,k=,解得m =1,k=1, 可得函数y=lnx(x>0)的图象 过点(0，一1)的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0,1) 时两函数图象有两个交点.] 第8节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点(3)f(a)·f(b)<0 2.(x10),(x2,0)(x1,0)3.f(a)·f(b)0 一分为二零点 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)/ 小题查验 kC2.B3.B41.565.(径，号) ·3 跃升·关键能力考点一 1.A[a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c一a)(c-b)>0, 由函数零，点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c)内分别 存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零，点：因此 函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.] 2.B[因为函数y=lnx,y=- 子在(0，十∞)上单洞 递增， 所以函数f(x)=nx-】在(0，十o)上单调递增， 又f1)=-1<0f2=h2-2=h2>0. Ve 则f(1)f(2)<0, 根据零点存在性定理，函数f(x)=nx一工的零点所在 区间为(1,2).] 3.D[令f(x)=2十x=0,解得x<0, 令g(x)=x-1=0,解得x=1,由h(x)=logx+x, 令A(行)=-1+子<0，h1)=1>0,又高数是增西 11 数，因此h)的零点∈(3l） 则b>c>a.] 考点二 [典例][解析]第一步作函 数y=f(x)的图象 作出函数y=f(x)的图象. 第二步解方程2f(x)一3f(x》 +1=0 由2f(x)-3f(x)+1=0,得 )=号我人)= 第三步观察y=合和y=1与y=f(x)的图象交点 个数 由图象知y=合与y=f)的图象有2个交点， y=1与y=f(x)的图象有3个交点. 第四步得出函数的零，点个数 因此函数y=2f(x)一3f(x)十1的零，点有5个. [答案]5 跟踪训练 1C[7=0时：i=点2o年释 一1或x=1.故所求函数的零点个数是2.] 2.解析：令f(x)=|lgx|一kx一2=0，可转化成两个函数 y1=lgx,y2=kx十2的交点问题. 对于①，当k=0时，lgx=2,两个交点，①正确； 对于②，存在k<0,使y1=lgx|与y2=kx十2相切，② 正确；对于③，若k<0,y1=|lgx|与y=kx+2最多有2 个交点，③错误；对于④，当k>0时，过，点（0,2)存在函数 g(x)=lgx(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜 率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交，点，故④正 确.综上可知①②④符合题意 答案：①②④ 考点三 [母题][解析]令g(x)= xlnx,h(x)=a,则问题可转化成 g( 函数g(x)与h(x)的图象有两个 交点.g'(x)=nx十1，令 0以 g'(x)<0,即lnx<-1,可解得 h(e)主 0<x。:令g(z)>0,即n1 8 >-1,可解得x>日，所以，当0<<时，函数8x) 单词递减：当>。时，函最)单调运增，由此可知当x =上时，g()=一上在同一坐标系中作出画数gm和 e h()的简图如图所示，据图可得-】<a<0.故实教a的取 e [答案] [子题1]解析：由本例解析知a=一 或≥0， 答案：0.+∞)U{日} [子题2] 解析：函数f(x) y lnx一x一a的零点，即为关于 x的方程lnx-x一a=0的实 根，将方程lnx一x-a=0,化 为方程lnx=x十a,令y1= lnx,y2=x+a,由导数知识 可知，直线y2=x十a与曲线y1=lnx相切时有a=一l, 所以关于x的方程lnx一x一a=0有两个不同的实根， 实数a的取值范围是（一co,一1）. 答案：(-0，-1) [子题3]解析：令g(x)= (zIn z,>0, g(x) {-x2-2.x,r≤0 h(x)=a,则 h(x) 问题转化为g(x)与h(x)的图 象有三个交点，g(x)图象如图. 由图象知-上<a<l.故实数a e 的取位范因是（一。）片 答案：(。) 第9节 夯实·必备知识必备知识 2.单调递增单调递增单调递增y轴x轴 思考辨析(1)×(2)/(3)×(4)×(5)、/ 小题查验 1.C2.D3.A4.25005.206.2ln21024 跃升·关键能力考点一 1.BCD「由折线图知，7月份后月接待游客量减少，A错 误；B、C、D正确.] 2.D[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h 时，乙车每消耗1L汽油，行驶里程都超过5km,则A错 误：对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路 程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最 少，则B错误：对于C选项：甲车以80km/h的速度行驶 时，燃油效率为10km/L,则行驶1h,消耗了汽油80×1 ÷10=8(L),则C错误；对于选项D:速度在80km/h以 下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对.] 考点二 ,kt,0t1, [典例][解析](1)由题图，设y 2) ,t>1, 当t=1时，由y=4,得=4， 4t,0t1, (合) =4,得a=3.所以y /1 1-3 ,t>1. ·30 参考答案 (2)由y≥0.25，得0≤1， 4t≥0.25， 2 ≥0.25， 解得6<1≤5，因此服药一次后治疗爽病有效的时间是 5-言碧（小时） 跟踪训练 B[由题意可知，当酒精含量低于20mg/100mL时才 可以驾车，即当x≥2时，f(x)=90·e8r+14<20,整 理得。<品-0.5<n言解得>5≈5,42， 0.5 所以至少经过6小时才可以驾车.] 考点三 1.解：(1)设A,B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0， 所获利涧分别为f(x)万元g(x)万元， 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2√. 根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0). g(x)=2√z(x≥0). (2)(i)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6. 所以总利涧y=8.25万元. (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18-x)万元，该 企业可获总利润为y万元 则y=子18-)+2匠，0<≤18. 令√E=t,t∈[0,32， 则y=子(-f+81+18)=-子-0+号 4 所以当1=4时=号=8.5， 此时x=16,18一x=2. 所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使 该企业获得最大利润，约为8.5万元. 2解：1)若m=2,则=22+2=2(2+2） 当u=5时，2+1=5， 「2=2， 令2=x(x≥1)，则x+1=5 x2 即2x2-5x+2=0, 解得x=2或=子（合去），此时1=1. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度， (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即≥2恒成立， 亦a…+号>≥2极成立，亦即m≥2（位）成立 令7=，则01，m≥2y-y)恒成立 由于y-y<m≥2 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围 是[+) 3.解：(1)第一步分别列出0<x≤40和x>40时对应的 利润W.当0<x≤40时，W=xR(x)-(16x十40)= 一6x+384x-40,当x>40时，W=xR(x)一(16.x+40)= 40000-16.x+7360. x 第二步列出利润W的分段函数 所以，W= { x (2)第三步计算0<x40时的利润W的最大值 ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2+6104. 所以Wmx=W(32)=6104；上篇：第二章函数、导数及其应用 第8节函数与方程 课程标准 核心素养 考情聚焦 由零点存在性定理判断零点是否 1.结合二次函数的图象，了解函数的1.判断函数零点的个 存在和零点所在的区间，求方程的根， 零点与方程根的联系，会判断一元 数，发展直观想象 二次方程根的存在性及根的个数. 素养. 函数的零点个数，基本初等函数的图 2.根据具体连续函数及其图象的特 2.确定函数零点所在的 象是高考的热点.以函数的零点，方程 点，了解函数零点存在定理，探索用 的根及函数图象的交点之间的等价转 区间，达成直观想象 化为桥梁，考查转化与化归思想，考查 二分法求方程近似解的思路，能借 和逻辑推理素养. 助计算工具用二分法求方程近似 3函数零点的应用，提 函数与方程思想，数形结合等思想.本 部分内容在高考中以选择题或填空题 解，了解用二分法求方程近似解具 升直观想象和逻辑推 形式考查的居多，在解答题中也有所 有一般性 理素养 体现，难度较大 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续 对于函数y=f(x),把使 的实数x叫 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,则函 做函数y=f(x)的零点. 数y=f(x)一定有零点. (2)函数零点与方程根的关系 2.由函数y=f(x)在闭区 方程f(.x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象 与 有交点台函数y=f(x) 间[a,b]上有零点不一定 有 能推出f(a)·f(b)<0, (3)零点存在性定理 如图所示： 如果函数y=f(x)满足：①在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线；② ;则函数 所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b] y=f(x)在(a,b)上存在零点，即存在c∈(a,b),使 上有零点的充分不必要条件： 得f(c)=0,这个c也就是方程fx)=0的根. 3.若函数f(x)在(a,b)上单调，且f(x)的图象是 2.二次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图象与零点 连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0→函数 的关系 f(x)在[a,b]上只有一个零点： △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 [自主诊断] 二次函数 [思考辨析] y=az?+bx+c (a>0)的图象 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 0干x2文 0 里打“/”，错误的打“×” (1)函数f(x)=x2一1的零点是(-1,0)和(1,0). 与x轴的交点 无公共点 零点个数 0 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数图象 3.二分法 连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0. 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数 (3)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.() y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的 区间 使区间的两个端点逐步逼近 (4)二次函数y=a.x2+bx+c(a≠0)在b2-4ac ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法」 <0时没有零点. ·39· 艺考生文化课百日冲关·数学 [小题查验] 4.用二分法求函数f(x)=3x一x一4的一个零点， 1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分 其参考数据如下： 法求零点的是 f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067 f1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029 f1.5500)=-0.060 据此数据，可得f(x)=3x一x一4的一个零点的 2.(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x一√元的零点所 近似值（保留三位有效数字）为 在区间是 ( 5.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足 A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时，f(x)=2x.若 C.(0.5,1) D.(1,2) 在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有 3.函数f(x)=ex十3x的零点个数是 ( 四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 A.0 B.1 C.2 D.3 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一确定函数零点所在的区间（自主练透） [题组集训] 3.已知三个函数f(x)=2x十x,g(x)=x-1,h(x) 1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b) =log3x+x的零点依次为a,b,c,则 ( ·(x一c)+(x一c)(x一a)的两个零点分别位于 A.a<b<c B.b<a<c 区间 ( C.c<a<b D.a<c<b A.(a,b)和(b,c)内 方法指导/ B.(一∞，a)和(a,b)内 确定函数(x)的零点所在区间的常用方法 C.(b,c)和(c,+∞)内 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y D.(-o∞，a)和(c,十∞)内 =f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再 2.函数f(x)=1n-1的零点所在区间为( 看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y= f(x)在区间(a,b)内必有零点. A.(0,1) B.(1,2) (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 C.(2,3) D.(3,4) x轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 判断函数零点的个数（师生共研） 续表 [典例] 已知f(x)= (g xl,x>0, 2x,x≤0， 则函数y= 2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 函数y=2fP(x) 核心素养 函数的零点就是方程 3f(x)+1的零点，即 数学抽象、直观想象—确定函数零点个数中的核 的根 方程2f2(x)-3f(x) 心素养 +1=0的根 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 函数y= 当x>0时，y=|lgx 函数y=2f(x)-3f(x) 2f(x) 的图象是函数y=lgx +1的零点，也就是方 的图象在x轴上方的 -3f(x) 部分保持不变，x轴下 程22(x)-3f(x)十1 方的部分沿x轴对称 在同一坐标系中画 +1的 解方程2f(x)-3fx) =0的根，把f(x)看成 f(x)= 到x轴上方 出函数y=lgx 零点 +1=0,得f(x)=1 (lg zl,x>0 在x>0时的图象 一个整体，本方程就是 {2x,x≤0. 当x≤0时，y=2x= 和函数y=2在 关于f(x)的一元二次 或 2- () 的图象 x≤0时的图象 方程，通过解方程可以 就是y=(2）的图 得出)=1或司 象在y轴左侧的部分 ·40· 上篇：第二章函数、导数及其应用 续表 (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a,b] 函数y= 解方程2f(x)-3f(x) 上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0, 结合函数f(x)的图象， 2f2(x) +1=0的根，是解适合 再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶 -3f(x) 此方程的x的值，也就 观察y=之和y=1与 性、周期性、对称性)可确定函数的零 +1的 是方程了)=名政 y=f(x)的图象交点 个数 点个数 零点 f(x)=1对应的x的值 (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点 函数的零点个数就是 个数问题.（画出两个函数的图象，其交点的 对应方程的根的个数 个数就是函数零点的个数) 即方程f()=合或 2和y=1与函数 1 [跟踪训练] f(x)=1对应的x的 x2-1,.x≤0， 零点个数 值的个数，转化为 y=f(x)的图象交点个 1.已知函数f(x) 则函数y=f(x) =号和y=1与y 数之和即为本题的零点 1og2x,x>0. 个数 的零点个数是 f(x)的图象交点个数，借 A.0 B.1 C.2 D.3 助图象利用数形结合 求解 2.已知函数f(x)=|1gx一k.x一2，给出下列四个 结论： [尝试解答 ①若k=0,则f(x)有两个零点； 方法指导引 ②3k<0,使得f(x)有一个零点： 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 ③了k<0,使得f(x)有三个零点； (1)直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数就 ④了k>0,使得f(x)有三个零点. 是函数零点的个数 以上正确结论的序号是 考点三 函数零点的应用（子母变式） 核心素养 xln x-a,x>0 [子题3]若函数变为f(x) 数学建模—唇齿相依的函数与方程 -x2-2x-a,x≤0， 函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与 若函数y=f(x)有三个零点，则实数a的取值范围 对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关 是 系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象 /规律总结/ 和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数 解决. 的取值范围常用的方法 方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的 等量关系，从而建立方程（组）或构造方程，通过解 不等式，再通过解不等式确定参数范围. 方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化 问题，使问题获得解决。 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x),再 转化成求函数f(x)值域问题加以解决. [母题]若函数f(x)=xlnx一a有两个零点，则 (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平 实数a的取值范围为 面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数 [子题1]若本例中f(x)有且只有一个零点，则实 形结合求解 数a的取值范围是 [子题2]若函数变为f(x)=lnx一x-a,其他条 @温馨提污 件不变，则a的取值范围是 学习至此，请完成配套训练课时冲关十三 ·41