第十三章～第十五章 综合测试卷 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章-第十五章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟 满分：120分 测试范围：第13章三角形、第14章全等三角形、第15章轴对称 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(26-27八年级上湖北期中)下列图标中是轴对称图形的是() 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可. 解：A,不是轴对称图形，故本选项不符合题意： B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意： D.是轴对称图形，故本选项符合题意 2.(26-27八年级上河南安阳阶段检测)把一根长14厘米的木条按下面所标长度 剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是() A. 7cm 3cm 4cm B 8cm 3cm 3cm C. 7cm 5cm 2cm D. 6cm 6cm 2cm 【答案】D 解：A.3cm+4cm=7cm,两边之和等于第三边，所以不能围成三角形： B.3cm+3cm=6cm,两边之和小于第三边，所以不能围成三角形： C.2cm+5cm=7cm,两边之和等于第三边：所以不能围成三角形： D.2cm+6cm=8cm>6cm,6cm+6cm=12cm>2cm,任意两边之和大于第三边，所以能围 成三角形 3.(26-27八年级上河南安阳阶段检测)如图，∠1是△ABC的外角，若∠A=70°， ∠1=130°，则∠C的度数为() A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】C 解：：∠1是△ABC的外角，∠A=70°，∠1=130°， ∴.∠C=∠1-∠A=130°-70°=60° 4.(25-26八年级上四川宜宾·期中)如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具 打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角 形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是() ③ ② A.SSS B.AAS C.ASA D.SAS 【答案】C 解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三 角形的判定依据是ASA. 5.(25-26七年级下·山东菏泽期末)如图，OC是∠AOB的平分线，CD⊥OA于点 D,且CD=3,则点C到OB的距离是() D A B A.5 B.3 C.2 D.无法确定 【答案】B 【分析】过点C作CE⊥OB于E,根据角平分线的性质即可求解. 解：如图，过点C作CE⊥OB于E, D B :OC是∠AOB的平分线，CE⊥OB,CD⊥OA, ..CE=CD=3 即点C到边OB的距离为3 6.(25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°， ∠ACB=60°，BP⊥AC于点P,CP=1,则AC的长度为() ◇ B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理分别求出∠A=30°、∠CBP=30°，再根据含30度角的直角 三角形的性质得AC=2BC、AC=2BC,即可得解， 解：，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°， ∴.∠A=30°， .AC=2BC, ·BP⊥AC于点P, .∠CBP=90°-∠C=30°， ∴.BC=2CP=2, .AC=2BC=4. 故选：D 7.(25-26八年级上河北邢台·期末)根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P 的坐标为(a,2a-3),则a的值为() A A.3 B.-3 C.2 D.3或-3 【答案】A 【分析】由作图可知点P在∠AOB的角平分线上，由角平分线的性质，结合第一象限的点的坐 标特征即可求解. 解：由作图痕迹可知点P(a,2a-3)在∠AOB的角平分线上， ∴.a=2a-3, a=3 8.(25-26八年级上·重庆巫溪期末)如图，A,B两个村庄独自从河流1上安装了 两条灌溉管道AD,BE,AD⊥I于点D,BE⊥I于点E.某水务局准备为两村庄在 河流1上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田.通过测量，确定在河流1的点P处 安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得 ∠PBE=30°，DE=150m,则AP+BP的最小值为() B E A.180m B.210m C.240m D.300m 【答案】D 【分析】延长AD到点F,使FD=AD,连接FP,可求得FP=AP,AP+BP最短即为 FP+BP最短. 解：延长AD到点F,使FD=AD,连接FP. B P E AD⊥1， ∴点F与点A关于直线I对称.， .FP=AP,∠A=∠F」 ∴.AP+BP=FP+BP. AP+BP最短， .FP+BP最短， F、P、B三点在同一直线上 BE⊥1， ∴.AD∥BE,∠ADP=∠BEP=90° ∴.∠A=∠F=∠PBE=30°， .AP=2PD,BP=2PE. ∴.AP+BP=2(PD+PE)=2DE=2x150=300(m). ∴.AP+BP的最小值为300m 故选：D 【点拨】本题主要考查轴对称图形、平行线的判定及性质，牢记轴对称图形的性质是解题的关 键， 9.(25-26八年级上河南省直辖县级单位·期末)在学习完等腰三角形之后，某兴 趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片ABCD,①先对折使AB与CD重 合，得到折痕EF;②折叠纸片，使得点A落在EF的点H上，沿BH和CH剪下 ABCH,小组成员得到了如下结论：①∠BHF=3O;②BF=CH:③ABCH是等边 三角形；④∠ABG=15°；⑤四边形ABHE和四边形DCHE全等.正确的个数是（) GE B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，翻折变换的性质可得BH=BC,因为EF是BC的垂直平分线，利 用垂直平分线的性质，可得BH=CH,又根据折叠的性质可知BH=AB,故BH=CH=BC ，可得aBHC是正三角形，可得∠HBC=60°，从而计算出∠ABG,∠B,得到8F=号H, 等量代换可得BF=2CH,再说明四边形ABHE和四边形DCHE四条边相等，四个角相等，即 可证明全等. 解：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°， 由折叠可知：AB=BH,∠ABG=∠HBG, :BH BC, :EF是BC的垂直平分线， ∴BH=CH.∠BFH=90°， :BH=CH=BC, ∴△BHC是正三角形，故③正确： .∠HBC=60°， :∠ABG=∠HBG= (90°-∠HBC)=15°，故④正确： ∠BHF=30°，故①正确： .BH=CH, :BF=)CH,枚②正确： 2 由折叠可知：AE=DE, ,∠BHF=∠CHF=30°，∠ABH=∠DCH=30°，∠A=∠D=∠AEH=∠DEH=90°， 又AB=CD,BH=CH,EH=EH, ∴，四边形ABHE和四边形DCHE全等，故⑤正确： ,正确的有5个， 故选D. 【点拨】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，全等 图形的判定，掌握正三角形的判定方法是正确解答的关键. 10.(25-26八年级上福建龙岩·阶段检测)如图，点P是∠BAC平分线AD上的一 点，AC=10,AB=5,PB=3,则PC的长可能是() B A.2 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【分析】在AC上取AE=AB=5,然后证明△AEP≌△ABP,根据全等三角形对应边相等得到 PE=PB=3,再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在AC上取AE=AB=5,连接PE, E B ,AC=10」 CE=AC-AE=10-5=5, 点P是∠BAC平分线AD上的一点， .∠CAP=∠BAP, AE=AB 在 和 中， ∠CAP=∠BAP △APE AAPB AP=AP .△APE≌aAPB(SAS), .PE=PB=3. 5-3<PC<5+3, 解得2<PC<8. 观察四个选项， 的长可能是7 PC 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(26-27八年级上江苏徐州阶段检测)若等腰三角形的一个角为100°，则底角 为 【答案】40°/40度 【分析】分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理判断是否符合条件， 解：分两种情况讨论： 若100°是底角， ∴.两个底角和为2×100°=200°>180°，不符合三角形内角和定理，舍去， 若100°是顶角， 180°-100° 底角 =40° 2 .底角为40° 12.(25-26八年级下·广东佛山期末)如图，∠ACB=∠BDA=90°，添加一个条件 使△ACB≌△BDA.(不添加字母和辅助线) B 【答案】AC=BD(答案不唯一) 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用HL,添加AC=BD即可. 解：在△ACB和△BDA中，∠ACB=∠BDA=90°，AB=AB(公共边)， ∴，添加AC=BD,利用HL可使△ACB≌△BDA. 13.(2026山西长治·三模)如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系 中，若点A的坐标为(0,4)，点C的坐标为(-，0)，则点B的坐标为 【答案】(3，-) 【分析】过点B作BILx轴于点I,证明△ACO≌aCBI(AMS)即可求解. 解：由题意得，A0=4,0C=1, 过点B作BI⊥x轴于点I,则∠CIB=∠COA=90° 由题意得，CA=CB,∠ACB=90° ∴.∠1=∠3=90°-∠2 :.△ACO≌△CBI(AAS) ∴.BI=C0=1,CI=A0=4 .∴.OI=C1-C0=3 B(3,-1). 14.(2026八年级上江苏淮安·专题练习)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC, E为BC的中点，连接DE、AE,AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F,若 AB=5,CD=3,则AD的长为一. B E 【答案】8 【分析】证明△BEF≌aCED(AAS),得到BF=CD=3,EF=DE,然后利用垂直平分线的性 质求解即可. 解：，AB∥DC, ∠F=∠EDC, :E为BC的中点， .BE=CE, 又'LBEF=∠CED, .aBEF≌aCED(AAS)」 ∴.BF=CD=3,EF=DE, ,AE⊥DE, ∴.AD=AF=AB+BF=5+3=8 15.(26-27八年级上江苏扬州阶段检测)如图，ACDF相交于点G,且 AC=DF.D、C是BE上两点，∠B=∠E=∠I.若BE=I,AB=m,EF=n,则CD的 长为 义G B D CE 【答案】m+n-I 【分析】可证明∠A=∠EDF,则可证明△ABC≌aDEF(AAS),得到BC=EF=n,DE=AB=m ,再由线段的和差关系可得答案 解：∠I=∠B,∠1=∠CGD, .∠B=∠CGD, :∠A+∠B+∠ACB=18O°=∠EDF+∠CGD+∠ACB, .∠A=∠EDF; 又∠B=∠E,AC=DF △ABC≌aDEF(AAS). :BC=EF=n,DE=AB=m, ..CE=BE-BC=1-n, ..CD=DE-CE=m-(I-n)=m+n-1 16.(26-27八年级上江苏泰州阶段检测)如图，已知∠A0B=60°，点P在边0A 上，OP=10,点M、N在边OB上，PM=PN,若MN=2,则OM的长为一. 060 B M N 【答案】4 【分析】过点P作PD⊥OB于点D,求出∠OPD=30°，则可求出OD的长，由三线合一定理 求出DM的长，再由线段的和差关系可得答案. 解：如图所示，过点P作PD⊥OB于点D, 0460 MDN .∠ODP=90° :∠A0B=60° ∠OPD=90°-∠POD=30°， :0D=oP=5, 2 PM=PW,PD⊥MN, :.DM-IMN=1. :.OM=OD-DM-4 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分8分)(26-27八年级上·云南临沧阶段检测)在△ABC中，AD是BC边 上的高，∠B=40°，∠C=60°.求∠BAD和∠CAD的度数. 【答案】∠BAD=50°：∠CAD=30° 【分析】先画出图象，再根据三角形内角和进行求解即可. 解：如图： A B :AD是BC边上的高， ∴.∠ADB=∠ADC=90°. 在△ABD中，∠BAD=180°-90°-∠B =180°-90°-40° =50° 在△ACD中，∠CAD=180°-90°-∠C =180°-90°-60° =30° 18.(本题满分10分)(2026江苏南通·三模)如图，在等腰△ABC中，BA=BC,点 F在AB边上，延长CF交AD于点E,BD=BE,∠ABC=∠DBE. (I)求证：AD=CE: (2)若∠ABC=30°，∠AFC=45°，求∠EAB的度数. 【答案】(1)证明：：∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABC+∠ABE=∠DBE+∠ABE, 即∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， BA=BC ∠ABD=∠CBE, BD=BE ∴.△ABD≌aCBE(SAS), ..AD=CE; (2)15° 【分析】(I)证明△ABD≌aCBE(SAS)即可： (2)根据三角形外角的性质可得∠BCF=15°，利用全等三角形的性质即可得到∠EAB=15°. 解：(1)略 (2)解：∠ABC=30°，∠AFC=45°， .∠BCF=45°-30°=15°， .'AABD≌ACBE, :∠EAB=∠BCF=150 19.(本题满分10分)(25-26八年级上广西河池期末)如图，在△ABC中，点D在 BC的延长线上，其中∠A=41°，∠B=65°. B C D (1)求∠ACD的度数. (2)作∠ACD的平分线CE.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 【答案】(1)106°：(2)如图所示，点E为所求点： E B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答. (2)理解题意，作出∠ACD的平分线CE,即可作答. (1)解：∠A=41°，∠B=65 ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=74° ∴.∠ACD=180°-∠ACB=106° (2)略 20.(本题满分10分)(25-26八年级上江苏南京期末)如图，△ABC的外角∠EAC的 平分线与边BC的垂直平分线相交于点D,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为点E,F (I)求证：BE=CF」 (2)若AB=a,AC=b(a<b),则AE=-. E D 【答案】(1)证明：连接BD,CD,如图： EA A B C 点D在BC的垂直平分线上， :.DB=DC, '点D在∠EAC的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF, 在Rt△DCF和RtADBE中， DE=DF DB=DC ∴.RtADCF≌RtADBE(HL), :.BE=CF: (2) 30-0叫 【分析】本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质， 熟练掌握相关性质定理是解题的关键， (I)连接BD,CD,根据垂直平分线的性质得到DB=DC,再证得RtADCF≌RtADBE(HL) ，从而得出结论： (2)易证得Rt△AED≌Rt△AFD(HL),根据全等三角形的性质得到AE=AF,再利用(1)的 结论BE=CF,根据线段的和差关系进行解答即可. 解：(1)略 (2)解：点D在∠EAC的平分线上，DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF, 在Rt△AED和RtAAFD中， DE=DF AD=AD' ∴.RtAAED≌RtAAFD(HL), :.AE=AF, :AB=a、AC=b、CF=BE、AE=AF=AC-CF=AC-BE, .AE+BE=AC=b BE-AE=AB=a, :.BE--(a+b) 6 故答案为： 21.(本题满分10分)(25-26八年级上·浙江温州阶段检测)如图，已知△ABC中， ∠C=90°，∠ABC=30°，DE是AB的垂直平分线，F为BC边上一点，且AF=AE. (I)求证：△ACF≌△ADE; (2)连接EB、EF,求证：EB=EF. D F B 【答案】(1)证明：：∠C=90°，∠ABC=30°， .AC-AB, 2 DE是AB的垂直平分线， 六∠ADE=90,AD=2AB=AC, .AD=AC, 在RIAACF和Rt△ADE中， 「AF=AE AC=AD' .△ACF≌aADE(HL): (2)证明：，∠C=90°，∠ABC=30°， .∠CAB=60°， ,AACF≌AADE, .∠CAF=∠DAE. ∴.∠CAF+∠FAB=∠DAE+∠FAB. 即∠CAB=∠FAE=60°， 又，AE=AF, .△AEF是等边三角形， ..AE=EF, ,DE是AB的垂直平分线， .AE=EB, ∴.EB=EF. 【分析】（由30角所对的直角边等于斜边的一半，可得4C=)B,由线段垂直平分线的 定义，可得∠ADE=90,4D-4,可得AD=AC,利用“L”即可正得结论： (2)由直角三角形的两个锐角互余，可得∠CAB=60°，由全等三角形的性质，可得 ∠CAF=∠DAE,结合已知可得△AEF是等边三角形，可得AE=EF,由线段垂直平分线的性 质，可得AE=EB,即可证得结论. 解：(1)略 (2)略 22.(本题满分12分)(2025八年级上全国·专题练习)在△ABC中，AB=AC,BC=8 ，点M从点B出发沿射线BA移动，同时点W从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点M,N移动的速度相同，MN与BC相交于点D. (I)如图①，过点M作ME∥AC,交BC于点E.求证：aDME≌aDNC; (2)如图②，过点M作MF⊥BC于点F,在点M从点B向点A(点M不与点A,B 重合)移动的过程中，线段BF与CD的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接 写出线段BF与CD的长度和：若改变，请说明理由. 图① 图② 【答案】(1)证明：ME∥AC, ∴.∠ACB=∠MEB,∠DME=∠N .AB=AC. ∴.∠B=∠ACB .∠B=∠MEB, ∴.BM=EM, 根据题意，可得BM=CN, .EM=CN, :∠MDE=∠NDC. .aDME≌aDNC(AAS) (2)不变，4 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形 的判定和性质是解题的关键， (1)根据题意可得∠DME=∠N,BM=EM,且∠MDE=∠NDC,运用角角边即可求证： (2②)根据题意得到MB=MG,CD=GD-)CG,BF=GF-)BG,由此得到 2 BF+CD=)BC=4,即可求解. 2 解：(1)略 (2)解：如图所示，过点M作MG∥AC交BC于点G, B4 FGD 由(1)可知MB=MG,CD=GD=CG, 2 又MF⊥BC, :.BF-GF-1BG, FCDGG)C4. 2 ÷线段BF与CD的长度和保特不变， BF+CD=4 23.(本题满分12分)(25-26八年级下·山东青岛期中)【问题情境】 如图①，△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线BD,CD交于点D. 【建立模型】 如图①，△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线BD,CD交于点D. 【建立模型】 (I)如图②，过点D作BC的平行线分别交AB,AC于点E,F,请你写出EF与 BE,CF的数量关系并证明. (2)如图③，在图①的基础上，过点A作直线IBC,延长BD和CD,分别交I于 点E,F,若AB=4,AC=3,请你直接写出EF的长度（不需要证明）. 【类比探究】 如图④，△ABC的内角∠ABC的平分线BD,与它的外角∠ACG的平分线CD交于点D ,过点D作BC的平行线分别交AB,AC于点E,F,请你写出EF与BE,CF的数 量关系并证明 A D E D B C 图① 图② R A E D D G B 图3 图④ 【答案】(1)EF=BE+CF,理由如下： 如图②， E D F B 图② :∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D, :∠DBC=∠DBE,∠LDCB=LDCF, :EF∥BC. ∴.∠BDE=∠DBC.∠CDF=∠DCB ∠DBE=∠BDE,LCDF=∠DCF, ∴BE=DE,CF=DF, :DE+DF=BE+CF, 即EF=BE+CF: (2)EF=7, (3)EF=BE-CF,理由如下： 如图④， F B G 图④ '∠ABC的平分线BD与∠ACG的平分线CD交于点D, ∴.∠DBC=∠ABD.∠ACD=∠DCG, :DE∥BC, .∠DBC=∠BDE.∠CDF=∠DCG. ∴.∠ABD=∠BDE.∠ACD=∠CDF」 ∴DE=BE,DF=CF, .EF DE-DF, :EF=BE-CF. 【分析】(I)先由角平分线定义得∠DBC=∠DBE,∠DCB=LDCF,再由平行线的性质得 ∠BDE=∠DBC,∠CDF=∠DCB,则∠DBE=∠BDE,∠CDF=∠DCF,证出BE=DE, CF=DF,进而得出结论： (2)同(1)证出AE=AB,AF=AC,进而得出结论： (3)同(I)证出DE=BE,DF=CF,进而得出结论. 解：(1)略 (2)EF=7;理由如下： 如图③， E D B C 图③ '∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D, ∴.∠EBC=∠ABE,∠FCB=∠ACF. :EF∥BC, .∠AEB=∠EBC,∠FCB=∠AFC. ∴，∠ABE=∠AEB,∠ACF=∠AFC .AE=AB,AF=AC. .AB=4.AC=3 EF=AE+AF=4+3=7: (3)略 【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知 识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题 的关键，属于中考常考题型. 第十三章-第十五章综合测试卷【基础卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（26-27八年级上·湖北·期中）下列图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）把一根长14厘米的木条按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，是的外角，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，是的平分线，于点D，且，则点C到的距离是（     ） A．5 B．3 C．2 D．无法确定 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点P，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P的坐标为，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．3或 8．（25-26八年级上·重庆巫溪·期末）如图，，两个村庄独自从河流上安装了两条灌溉管道，，于点，于点．某水务局准备为两村庄在河流上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流的点处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道的长度最短，此时测得，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在学习完等腰三角形之后，某兴趣小组开展了如下数学活动：如图，正方形纸片，①先对折使与重合，得到折痕；②折叠纸片，使得点落在的点上，沿和剪下，小组成员得到了如下结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形和四边形全等．正确的个数是（    ）      A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点P是平分线上的一点，，则的长可能是（     ） A．2 B．7 C．8 D．9 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）若等腰三角形的一个角为，则底角为________． 12．（25-26八年级下·广东佛山·期末）如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 13．（2026·山西长治·三模）如图，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为________． 14．（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 15．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，相交于点，且．D、C是上两点，．若，，，则的长为_____． 16．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分8分）（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）在中，是边上的高，，．求和的度数． 18.（本题满分10分）（2026·江苏南通·三模）如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19.（本题满分10分）（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，点D在的延长线上，其中，． （1）求的度数． （2）作的平分线．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20.（本题满分10分）（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点D，过点D作，，垂足分别为点E，F． （1）求证：． （2）若，，则 ． 21.（本题满分10分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． （1）求证：； （2）连接、，求证：． 22.（本题满分12分）（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点移动的速度相同，与相交于点． （1）如图①，过点作，交于点．求证：； （2）如图②，过点作于点，在点从点向点（点不与点重合）移动的过程中，线段与的长度和是否保持不变？若保持不变，请直接写出线段与的长度和；若改变，请说明理由． 23.（本题满分12分）（25-26八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $