第十三章～第十五章 综合测试卷 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章-第十五章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟 满分：120分 测试范围：第13章三角形、第14章全等三角形、第15章轴对称 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.(25-26七年级下·湖南邵阳·期末)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题是反映 数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列4个选项中分别是古 算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其 中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是() B 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项. 解：选项A(圆中方形)：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意： 选项B(方形圆径)：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意： 选项C(圆材埋壁)：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意： 选项D(勾股容圆)：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合 题意 2.(25-26八年级上全国·单元测试)如图，BE,CF是△ABC的角平分线，BE,CF 相交于点O,∠A=50°，则∠BOC的度数是() E B A.70° B.120° C.115 D.130° 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的相关计算先由三角形内角和定理求出 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，再由角平分线定义求出 ∠0BC+∠0CB=（21BC+∠4C)=方x130=65,最后由三角形内角和定理求出答案即可 解：，∠A=50°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°. BE,CF是△ABC的角平分线， :∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB, 2 ∴20BC+∠0B-24Bc+∠ACB-x130=6 在△OBC中，∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=-180°-650=1150 故选C 3.(26-27八年级上云南昆明·阶段检测)如图，AB=AC,若要使△ABE≌△ACD, 则添加的一个条件后不能判定全等的是() A.∠B=∠C B.∠ADC=∠AEB C.BD=CE D.BE=CD 【答案】D 【分析】已知AB=AC和公共角∠A,根据全等三角形判定定理SAS,ASM,AMS逐一验证选项 即可. 解：已知AB=AC和公共角∠A, A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A不符合题意； B、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故B不符合题意； C、当BD=CE时，：AB=AC,AB-BD=AC-CE,即AD=AE,再结合已知条件，符 合SAS的判定条件，故C不符合题意： D、当BE=CD时，不符合全等三角形的判定条件，故D符合题意。 4.(25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)已知一个等腰三角形两个内角度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角度数为() A.75° B.90° C.105°或75° D.120°或 20° 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角 为比例中的4份，再利用三角形内角和为180°列方程求解. 解：设等腰三角形两个内角的度数分别为x、4x, 情况1：当顶角为x时，两个底角均为4x, ,三角形内角和为180°， .x+4x+4x=180°， 解得x=20°，即顶角度数为20°： 情况2：当顶角为4x时，两个底角均为x, ,三角形内角和为180°， .4x+x+x=180°， 解得x=30°，4x=120°，即顶角度数为120°： 因此该等腰三角形的顶角度数为20°或120°. 5.(26-27八年级上·湖北武汉阶段检测)如图，点P是∠AOB的平分线OC上一 点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则利用证明△POD≌△POE就可得到PD=PE ,那么在“SSS,AAS,SAS,ASA,H皿”这五种依据中，能作为上述全等三角形 证明依据的有（) E B A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可求解. 解：由题意知，在△POD和△POE中，I=∠2，∠PD0=∠PE0=90°，OP=OP,符合判定 定理“AAS”;因为已有两组角对应相等，则第三组角也一定对应相等，于是又符合“ASA ”;由角平分线的性质得PD=PE,所以由判定定理“HL”和“SAS”可证明△PDO≌aPEO ；剩下判定定理“SSS”条件不够，不能作为全等三角形的证明依据，所以能作为全等三角形 证明依据的有四种. 6.(25-26八年级上浙江温州期中)现有一直角三角形纸片，先将共一个锐角 ∠ABC折叠（如图1），使点A落在斜边BC上的A处，折痕与边AC交于点D.再 将另一锐角∠DCB折叠（如图2），使CD也落在斜边上，折痕与A'D交于点P,量 得DP=4P=3,则点p到CD的距离为() 2 B A B 图1 图2 A.4 B.3 C.2 3-2 D. 【答案】C 【分析】过P作PM⊥CD与M,根据将其一个锐角∠ABC折叠，使点A落在斜边BC上的A 处，可得PA'⊥BC,根据将另一锐角∠DCB折叠，使CD也落在斜边BC上，可得CP是 ∠BCD的平分线，即可得pM=HP:而已知4P=3,故pM-2即点P到CD的距离为 2. 解：过P作PM⊥CD与M,如图： A :将其一个锐角∠ABC折叠，使点A落在斜边BC上的A处， ∴.∠BA'D=∠BAD=90° .PN⊥BC, :将另一锐角∠DCB折叠，使CD也落在斜边BC上， ∴.∠DCP=∠BCP,即CP是∠BCD的平分线， PA'⊥BC,PM⊥CD. ∴.PM=A'P, 3 2 AP=3, .A'P=2, ∴.PM=2,即点P到CD的距离为2， 故选：C 【点拨】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质， 7.(25-26七年级下广东梅州期末)如图，点P是∠AOB外的一点，点M,N分 别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB 的对称点R落在MN的延长线上.若PM=3cm,PW=4cm,MN=4.5cm,则线段 R的长为() A D B A.4.5 B.5.5 C.6.5 D.7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出Q的长度。 解：：点P关于OA的对称点是Q, ∴OA垂直平分P№， ∴.M=PM=3cm. ,点P关于OB的对称点是R, ∴.OB垂直平分PR, .∴.RW=PW=4cm. .MW=4.5cm, ∴.N=MN-QM=4.5-3=1.5cm .R=2N+RN=1.5+4=5.5cm. 8.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将 △ABC折叠，使点B落在点A处，DE为折痕，在下列结论中，正确的结论有 () B ①△ADE≌△BDE: ②AE垂直平分CD: ③△ADC是等边三角形： ④AB<4CE. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得AD=BD,AE=BE ,结合∠B=30°，证明△ADC是等边三角形，即可判断③：证明AE是∠BAC的平分线，进一 步即可判断②：④易得AE=2CE，BE=2EC，AB<AE+BE,，进而可判断④，于是可得答 案 解：①：△ADE由△BDE翻折而成， .△ADE≌△BDE,故结论①正确； ③，△ADE≌ABDE, .'AD=BD,AE=BE, :∠B=30°，∠ACB=90°， ÷∠BAC=60,4C=AB=BD=4D. 2 ∴，△ADC是等边三角形，故结论③正确： ②'，△ADE≌ABDE,∠B=30°， .∠DAE=30°， ∴∠CAE=60°-30°=30°， ∴AE是∠BAC的平分线. .AC=AD. .AE⊥CD ∴.AE垂直平分CD,故结论②正确： ④∠CAE=30°， .AE=2CE, .BE=AE=2CE, .AB<AE+BE, ∴.AB<4CE,故结论④正确. 9.(2026:河北张家口·二模)如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将△BCD 绕点B逆时针旋转6O°得到△BAE,若∠DBC=a,则下列结论一定正确的是（) B A.∠1=60°-a B.A=60+0 C.∠2=a D.∠2=60°- 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知△BCD≌△BAE,进而根据全等三角形的性质可证△BDE是等边三 角形，进而根据三角形的外角定理可知∠1=a,进而可知∠2=60°-α即可求解。 解：，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE, ∴.△BCD≌aBAE, ∴.BE=BD,∠CBD=∠ABE=a,∠C=∠BAE=60° .∠DBE=60°， ,△BDE是等边三角形， .∠BDE=∠BED=60°， ∴.∠BDA=∠C+∠DBC=60°+C,∠BDA=∠ADE+∠BDE=60°+∠I .∠1=a, .∠BEA=∠BDC .∠BEA=∠BED+∠2=60°+∠2，∠BDC=180°-60°-∠1=120°-&， .60°+∠2=120°-u. .∠2=60°-a. 10.(25-26八年级下广东深圳期末)如图所示，农田间有两条平行灌溉渠4、马 ,渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽AB.水泵站P在北渠外侧，蓄水池Q 在南渠外侧，要使得PA+AB+B吧总长度最短，下列作图正确的是() 北渠 南渠 北渠 北渠 A B 南渠 南渠 P 北渠 北渠P D 南渠 南渠 【答案】B 【分析】由题意渠宽固定，即AB的长度是定值，要使得PA+AB+B总长度最短，则 PA+BO的长度最短即可. 解：将点P向下平移AB的长度得到P,连接PO,PB, 则PP=AB,PB=PA. ∴.PA+BQ=PB+BQ≥P'Q 即当P,B,Q三点共线时总长度最短. P 北渠 P 南渠 O 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(26-27八年级上新疆和田阶段检测)如图，在△ABC中，已知D,E,F分 别是BC,AD,BE的中点，且△ABC的面积为8cm,则△BCF的面积为： cm2 E 【答案】2 【分析】连接CE,由D,E分别是BC,AD的中点，可得SCs=4cm,再由F是BE的中 点，即可求解， 解：如图，连接CE, B D ,D是BC的中点， 1 ,E是AD的中点， 1 S.nCE=S.BDE+S.CDE=2+2=4(cm2), F是BE的中点， .5.-S.w-jxd-2(cm). 12.(25-26八年级上天津·期中)在△ABC中，AC=8,AB=12,则△ABC的中线 AD取值范围是。 B D 【答案】2<AD<10 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长AD到E,使 DE=AD,由“SAS”可证△ABD和△ECD全等，可得CE=AB,然后根据三角形任意两边之 和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解. 解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接CE, E :AD是BC边上的中线， .BD =CD, 在△ABD和△ECD中， BD=CD ∠ADB=∠EDC, DE=AD .△ABD≌△ECD(SAS). .CE=AB, ,AC=8,AB=12, :AB-AC<AE<AB+AC, 即4<AE<20, .2<AD<10 故答案为：2<AD<10 13.(25-26七年级下·广东河源期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边 上的中线，点E在边AB上，且BD=BE,若∠BAC=I0O°，则∠ADE的度数为 B D 【答案】20°/20度 【分析】由等腰三角形的性质及三角形内角和定理依次可得∠B=∠C=40°，AD⊥BC, ∠BDE=∠BED=70°，然后根据角的和差关系求解即可， 解：：AB=AC,AD是BC边上的中线， ÷∠B=∠C=180°-∠BAC180°-100 2 2 40°，AD1BC ∴.∠ADB=90°， BD=BE, :∠BDE=∠BED-180,B-180,40=70°. 2 2 .∠ADE=∠ADB-∠BDE=90°-70°=20° 14,(25-26八年级上贵州贵阳期末)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都 在正方形网格的格点上，△AB'C'与△ABC关于x轴对称，△A"BC"与△ABC关于y轴 对称，则B的坐标是 ， C”的坐标是 6 5 B -c- 6-5-4-3219 123.4.5.6x -2 3 【答案】 (（1,-2) （-5,1) 【分析】根据对称关系分别画出△AB'C'和△A"B”C”,再从直角坐标系中读取点B和点C”的 坐标即可。 解：：△AB'C'与△ABC关于x轴对称，△A"B"C”与△ABC关于y轴对称， ∴.画出△AB'C和△A”BC”,如图所示： 6 -4-3-2-10 23.4 6 由图可知：B的坐标是（山，-2），C"的坐标是(-5，) 15.(25-26七年级下·河北廊坊期末)如图，已知AB∥CD,CD∥EF,AE平分 ∠BAC,AC⊥CE,则∠1与∠4的关系为 B C 4 D 3 E 【答案】2∠1-∠4=90° 【分析】根据垂直的定义得到∠ACE=90°，从而∠2=90°-∠4，由平行线的性质得到 ∠CAB=180°-∠2=90°+∠4，由AE平分∠BAC,得到∠BAC=2∠1，即可推导出 2∠1-∠4=90° 解：，AC⊥CE, .∠ACE=90°， ∴.∠2=∠ACE-∠4=90°-∠4. AB∥CD .∠CAB=180°-∠2=180°-(90°-∠4)=90°+∠4. ,'AE平分∠BAC, .∠BAC=2∠1， .2∠1=90°+∠4， 即2∠1-∠4=90°， 16.(25-26八年级下·四川绵阳开学考试)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC, BC=6,△BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,若点 P和点分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PO的最小值为 ◇ Q 【答案】7 【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短， 连接Ag,AP,过点D作DH⊥BC于H,利用三角形的面积公式求出DH=7,由题意 PB+P≥Ag,求出A的最小值，可得结论. 解：连接AO,AP,过点D作DH⊥BC于H. D Q △DBC面积为21，BC=6, BC.DH .DH=7, :MN垂直平分线段AB, ..PA=PB, .PB+PQ=AP+PO≥AO, :当A0的值最小时，PB+P巴的值最小， 根据垂线段最短可知，当Ag⊥BC时，A犯的值最小， ADI BC A0=DH=7, .PB+PO 的最小值为 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分8分)(25-26七年级下·福建福州期末)如图，△ABC中，AC=BC, ∠ACB=9O°，点D在BC上，E为AC延长线上一点，且AD=BE.延长AD交BE于点 F (I)求证：CD=CE: (2)求证：AF⊥BE. B 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°，E为AC延长线上一点， ∴.∠BCE=90° 在RtAACD和RtABCE中， AD=BE AC=BC' .RtAACD≌Rt△BCE(HL). :.CD=CE: (2)证明：：RtAACD≌RtABCE, ∠CAD=∠CBE, .∠AFB=∠CAD+∠E=∠CBE+∠E=90° .AF⊥BE 【分析】(I)运用HL证明RtAACD≌RIABCE可得CD=CE; (2)根据Rt△ACD≌Rt△BCE可得∠CAD=∠CBE,进而即可求证. 解：(1)略 (2)略 18.(本题满分10分)(24-25八年级上·河南漯河阶段检测)如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O. (1)求∠AOE的度数： (2)求证：AC=AE+CD, E B 【答案】(1)∠AOE=60°：(2)证明：在AC上截取CF=CD,连接OF, B ,CE平分∠ACB, ∴.LDCO=∠FCO, 在△DCO和△FCO中， CD=CF ∠DCO=∠FCO OC=OC .aDCO≌aFCO(SAS), .∠COD=∠COF, .∠A0E=60° ∠COD=∠COF=60°， ∴.∠AOF=180°-∠A0E-∠COF=60°， ∠AOE=∠AOF, :AD平分∠BAC, .∠EAO=∠FAO, 在△EAO和△FAO中 T∠EAO=∠FAO AO=AO ∠AOE=∠AOF :.△EAO≌aFAO(ASA), .AE=AF, AC=AF+CF, ∴.AC=AE+CD 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和 差常用“截长或补短”的方法 (I)利用三角形的内角和求出∠ACB的度数，再利用角平分线得到∠CAD、∠ACE的大小， 最后求出外角∠AOE的度数： (2)在AC上CF=CD,构造△DCO≌aFCO,再利用条件证明△EAO≌aFAO,从而得到 AE=AF解题. (1)解：，∠BAC=90°，∠ABC=60°. .∠ACB=30° ,∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O ·∠CAD=2∠BAC=45°，∠ACE=2∠ACB=15°， :∠AOE是△AOC的外角， .∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°： (2)略 19.(本题满分10分)(26-27八年级上·四川绵阳阶段检测)如图，在等边三角形 ABC中，点E在AC上，点D在BC的延长线上，且AE=EC=CD,连接DE并延长 交AB于点F. (1)求证：DF⊥AB: (2)若EF=2,求DF的长 A B δ 【答案】(1)证明：，等边△ABC, .∠B=∠ACB=∠BAC=60°， .EC=CD. .∠D=∠CED, .'∠ACB=∠D+∠CED=2∠D ∠D=)∠4CB=30°， 2 .∠D+∠B=90°， .∠DFB=180°-（∠D+∠B)=90°， .DF⊥AB. (2)6 【分析】(1)根据等边三角形的性质，三角形外角性质，，三角形内角和，垂直定义证明即 可； (2)利用等边三角形的性质，直角三角形的性质解答即可， 解：(1)证明：略. (2)解：如图，连接BE, ,等边△ABC, .BA=BC,∠ABC=60°， .EC=EA. .BE⊥AC,∠ABE=∠CBE=∠ABC=30 E ∴.∠D=∠CBE, .BE DE, DF⊥AB,EF=2, ∴.BE=2EF=4, ∴.BE=DE=4, DF-EF+DE=6 20.(本题满分10分】(26-27八年级上江苏泰州阶段检测)如图，△ABC为锐角三 角形，分别以AC,BC为边，向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接BD 交AC于点F,连接AE交BC于点G,BD与AE交于点O,连接OC. (I)求证：BD=AE; (2)求∠AOD的度数； (3)求证：OC平分∠DOE. 备用图 【答案】(1)证明：：等边三角形ACD和等边三角形BCE, .AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60°， ∴.∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB ∴△BCD≌△ECA(SAS). .BD=AE: (2)∠AOD=60° 3)证明：，∠A0D=60°， .∠EOD=120°. 如图1，过点C分别作CP,CQ垂直于BD,AE,且垂足分别为点P,点， D 图1 ABCD≌AECA,BD=AE, :CP=CO, ∴OC平分∠DOE 【分析】(1)由等边三角形的性质可得AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=6O°，利用 SAS可证△BCD≌aECA,可知BD=AE: (2)根据△BCD≌aECA得到∠BDC=∠EAC,结合三角形的内角和定理和对顶相等可知 ∠AOD=∠ACD=60°： (3)过点C分别作CP,CQ垂直于BD,AE,且垂足分别为点P,点，根据 △BCD≌aECA得到CP=CQ,可知OC平分∠DOE. 解：(1)略 (2)解：由(1)可知：△BCD≌aECA, ∴.LBDC=LEAC.∠CFD=∠OFA. :∠BDC+∠CFD+∠ACD=∠EAC+∠OFA+∠AOD=18O」 .∠AOD=∠ACD=60° (3)略 21.(本题满分10分)(25-26八年级上·福建福州期末)把一块含30°角的直角三角 板ABC如图放置，其中∠BAC=30°.若点D是直线AC上的一个动点，连接BD,并 以BD为边在BD的右侧作等边△BDE. (I)如图①，当等边△BDE顶点E恰好也在直线AC上时，请判断线段DE和AE的 数量关系，并证明你的结论： (2)如图②，当点D运动到线段AC上时，请按以下要求补全图形：连接BD,以 BD为边在BD的右侧画出等边△BDE,连接AE.探究(I)中结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立，请直接写出新的结论 B E A 图① 图② 【答案】(1)DE=AE,理由如下： ,△BDE为等边三角形， ∴.DE=BE,∠BED=60° :∠A=30°，∠BED=∠A+∠EBA, .∠EBA=60°-30°=30°. .∠A=∠EBA, .BE=AE, .DE=AE: (2)DE=AE仍然成立， 证明：过点E作EF⊥AB,垂足为F,如图所示， A 在R1△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°， .LCBA=60°， .∠DBE=∠CBA, ∠DBE-∠ABD=∠CBA-∠ABD,即∠CBD=∠FBE. 又：BD=BE,∠BCD=∠BFE=90°， ·.△CBD≌aFBE(AAS), ..BC=BF 在Rt△ABC中，∠BAC=30°， 又EF⊥AB, .BE=AE. .BE DE, .DE=AE. 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性 质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键。 (1)利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可； (2)过点B作EF⊥AB,垂足为F,证得△CBD≌△FBE(AAS),结合直角三角形中30°的角所 对的直角边是斜边的一半可得出答案. 解：(1)略 (2)略 22.(本题满分12分)(25-26八年级上江西宜春·期末)利用角平分线构造全等三角 形是常用的方法.如图1，OP平分∠MON,点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP ,垂足为C,延长AC交ON于点B,则△AOC≌△BOC. (1)【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现AC与BC的数量关系为： (2)【类比解答】 如图2，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD于E,若∠B=35°， ∠EAC=61°，通过上述构造全等的方法，可求得∠EAD的度数为 (3)【拓展应用】 如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论， D B 图1 图2 图3 【答案】(1)4C=BC:(2)26°：(3)BE=2CD, F 理由如下：延长BE,CA交于点F. :∠BAC=90°， ∴.∠BAF=180°-∠BAC=90° .∠BAF=∠BAC=90° .∠F+∠FBA=90°， :BE⊥CD. .∠BEC=∠CEF=90° ∴.∠F+∠ECF=90° ∠FBA=LECF, [∠BAF=∠BAC AB=AC ∠FBA=∠ECF .AABF≌△ACD(ASA) ∴.BF=CD. :CD平分∠ACB, .∠ACE=∠BCE, 「∠ACE=∠BCE CE=CE ∠CEB=∠CEF .ACEF≌ACEB(ASA) ∴.BE=FE, :.BE-TBF. :.BE=-CD 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，由条 件证得△OBC≌aOAC是解题的关键. (1)根据ASA证明△OBC与△OAC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； (2)根据互余得出∠ACD的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可： (3)延长BE,CA交于点F,根据ASA证明△ABF≌△ACD解答即可. (1)解：OP平分∠MON, .∠BOC=∠AOC. :AC⊥OP, .∴.∠BC0=∠ACO=90° 在△OBC与aOAC中， ∠BOC=∠AOC OC=OC ∠BC0=∠AC0=90° ·aOBC≌AOAC(ASA) :AC=BC, 故答案为：AC=BC: (2)解：：AE⊥CD,∠EAC=61°， ∴.∠ACD=90°-61°=29° :CD是∠ACB的角平分线， .∠BCA=2∠ACD=58°， .∠BAC=180°-58°-35°=87° .∠EAD=87°-61°=26° 故答案为：26°： (3)略 23.(本题满分12分)(25-26八年级上河北邢台期中)问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动. 初步探究： (1)如图1，将含45°角的直角三角尺(AC=BC,∠ACB=90°)的直角顶点C放 在含30°角的直角三角尺（∠DEF=90°）的斜边DF上，过点A作AN⊥DF于点N,过 点B作BM⊥DF于点M,求证：△ANC≌△CMB. 猜想证明： (2)如图2，点C落在EF边上，点B落在DE边上，过点A作AP⊥EF于点P,猜 想AP,EP,BE之间的数量关系，并证明你的猜想. 拓展延伸： (3)如图3，点C落在EF边上，点B落在DE边上，连接AE,若CE=6,BE=8, 直接写出△ABE的面积. D B 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：∠ACB=90°， ∴.∠ACN+∠ACB+∠BCM=180° .∴.∠ACN+∠BCM=90° :AW⊥DF于点N, .∠ANC=90°， ∴.∠ACN+∠CAW=90°， ∴.∠BCM=∠CAN :∠ANC=∠CMB=90°AC=CB ∴.△AWC≌△CMB (2)AP=BE+EP,理由如下： .∠BCA=90° ∴.∠BCE+∠PCA=90°. AP⊥EF于点P, .∠PCA+∠CAP=90°， .∠BCE=∠CAP, BC=CA,∠E=∠APC=90°， .△BCE≌△CAP :.BE=CP,CE=AP, ∴AP=CE=CP+PE=BE+EP (3)△ABE的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证 明是解题的关键， (1)根据已知条件证明∠ACN+∠BCM=90°，∠ACN+∠CAW=90°，即可得到 ∠BCM=∠CAN,证明即可； (2)根据已知条件证明△BCE≌△CAP,得到BE=CP,CE=AP,即可得证： (3)过点A作AP⊥CE于点P,点P落在CE的延长线上，证明BE∥AP,根据平行线间的距 离处处相等，可得点A到BE边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可. 解：(1)略 (2)略 (3)△ABE的面积为8 如图，过点A作AP⊥CE于点P,点P落在CE的延长线上， DB 由(2)得△BCE≌△CAP, ∴.BE=CP=8 CE=6, .EP=2. .∠BEP=∠APE=90° .BE∥AP ,平行线间的距离处处相等， ∴.点A到BE边的距离也为2， ÷Sas=2×BE×2=8 第十三章-第十五章综合测试卷【培优卷】 考试时间：100分钟　　满分：120分 测试范围：第13章 三角形、第14章 全等三角形、第15章 轴对称 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，相交于点O，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，，若要使，则添加的一个条件后不能判定全等的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点是的平分线上一点，于点，于点，则利用证明就可得到，那么在“，，，，”这五种依据中，能作为上述全等三角形证明依据的有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）现有一直角三角形纸片，先将共一个锐角折叠（如图1），使点落在斜边上的处，折痕与边交于点．再将另一锐角折叠（如图2），使也落在斜边上，折痕与交于点，量得，则点到的距离为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 7．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026·河北张家口·二模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，已知，，分别是，，的中点，且的面积为，则的面积为_________． 12．（25-26八年级上·天津·期中）在中，，，则的中线取值范围是______． 13．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是边上的中线，点在边上，且，若，则的度数为_____． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上，与关于x轴对称，与关于y轴对称，则的坐标是________，的坐标是_______． 15．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 16．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分8分）（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． （1）求证：； （2）求证：． 18.（本题满分10分）（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 19.（本题满分10分）（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 20.（本题满分10分）（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，为锐角三角形，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点F，连接交于点G，与交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：平分． 21.（本题满分10分）（25-26八年级上·福建福州·期末）把一块含角的直角三角板如图放置，其中．若点是直线上的一个动点，连接，并以为边在的右侧作等边． （1）如图①，当等边顶点恰好也在直线上时，请判断线段和的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，当点运动到线段上时，请按以下要求补全图形：连接，以为边在BD的右侧画出等边，连接AE．探究（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出新的结论． 22.（本题满分12分）（25-26八年级上·江西宜春·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为：_____． （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为_____． （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 23.（本题满分12分）（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $