14.3角的平分线 专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

答案 <课首诊查 1.A 2.117° 3.(1)证明：：E为AC中点， ∴.AE=CE, 在△AED和△CEF中 (AE=CE ∠AED=∠CEF, DE=EF .△AED≌△CEF(SAS), ∠A=∠ACF, CF∥AB: (2)解：AC平分∠BCF, .∠ACB=∠ACF, ∠A=∠ACF, ∠A=∠ACB, :∠A+∠ABC+∠ACB=1809∠ABC=50, ∠A=180°-500 659, ∴.∠A=65°. 互动导学 模块一、全等三角形的应用 题型一：全等三角形性质与判定的综合应用 2经典例题 1.A 2.(1)证明：，FE⊥AB,∠ACB=90°， ∴.∠DEB=∠DCF=90°， 在△DEB和△DCF中， ∠DEB=∠DCF=90°，DE=DC,∠BDE=∠FDC, ∴.△DEB≌△DCF(ASA), ∴BD=DF (2)解：，DE=DC,由(1)可知：BD=DF, .∴.DE+DF=DC+BD 即EF=CB, ,FE⊥AB,∠ACB=90°， ∴∠AEF=∠ACB=90°， 在△AEF和△ACB中， ∠AEF=∠ACB=90°，∠A=∠A,EF=CB, ∴.△AEF≌△ACB(AAS), .AF=AB=5, AC=3, ,CF=AF-AC=5-3=2. 3.解：(1)BE=AD,BE⊥AD: (2)①如图所示： A 4 B C ②(1)中结论仍然成立， 证明：：△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB= ∴.BC=AC,EC=DC, :∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACB=∠DCE, ∠DCE=90°， ∴.∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， (BC=AC ∠BCE=∠ACD EC DC ∴.△BCE≌△ACD(SAS), ∴.BE=AD,∠1=∠2， ,∠3=∠4， ∴.∠AFB=∠ACB=90°， .BE⊥AD. 2强化训练 1.D 2.(1)证明：，∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB, ∴.∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°， ∴.∠DEB=∠A, 在△ACB和△EBD中， (∠ACB=∠EBD=90° ∠A=∠DEB AB=DE ∴.△ACB≌△EBD(AAS): (2)解：由(1)得：△ACB≌△EBD, ∴.BC=DB,AC=EB ,E是BC的中点， B分c '.'DB=12,BC=DB, ∴.BC=12, AC=EB=1BC=6. 2 3.(1)证明：，∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， (AB=AC N∠BAD=∠CAE AD AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS): (2)解：2∠1+∠3=180°： 理由如下：，△ABD≌△ACE, ,∴.∠ADB=∠AEC, AD=AE, ∴.∠1=∠AED, ∴.∠AEC=∠AEDH∠3， 而∠ADB+∠1=180°， ∴.∠AED+∠3+∠1=180°， ∴.2∠1+∠3=180°： (3)解：AD∥EC .∠1=∠3， 而2∠1+∠3=180°， ∴.∠1=∠3=60°， ∴.∠DAE=180°-2∠1=60°， ∴.a=60°. 题型二：全等三角形的实际应用 足经典例题 1.C 2.D 3.解：，∠AEB=90°，AD⊥DC,BC⊥DC, ∴.∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°， ∴.∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠BEC=90°， ∴.∠DAE=∠CEB,∠AED=∠EBC, ∠BEC+∠EBC=90°， 在△ADE与△ECB中， (∠DAE=∠CEB AE=BE ∠AED=∠EBC ∴.△ADE≌△ECB(ASA), ∴AD=CE,DE=BC, 又，AD=150米，BC=350米， ∴.DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500(米). 答：两个排污口之间的水平距离DC为500米. 卫强化训练 1.A 2.18 3.解：(1)见图： (2)在湖岸上选一点O,连接BO并延长到C使BO=OC CD,则AB=CD.测量DC的长度即为AB的长度： (3)设DC=m ,'BO=CO,∠AOB=∠COD,AO=DO ∴.△AOB≌△COD(SAS) ..AB=CD=m. 模块二、角平分线的性质与判定 题型一：角平分线的性质 连接AO并延长到点D使OD=AO,连接 足经典例题 1.A 2.A 3.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于F, D ,∠B=90°，AE平分∠DAB, ∴BE=EF ,E是BC的中点， ∴.BE=CE, ∴CE=EF, 又：∠C=90°，EF⊥AD, ∴.DE是∠ADC的平分线： (2),AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,EF⊥AD,∠B=∠C=90°， ∴AB=AF,DC=DF, ∴AB+CD=AF+FD=AD. 2强化训练 1.c 2.B 3.解：(1)AB∥CD, ∴.∠BAD+∠ADC=180°， AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, ∴.2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴.∠MAD+∠ADM=90°， ∴.∠AMD=90° 即AM⊥DM (2)作NMLAD交AD于N, ∠B=90°，AB∥CD, .BM⊥AB,CM⊥CD, ,'AM平分∠BAD,DM平分∠ADC, .∴.BM=MN,MN=CM, ∴.BM=CM, 即M为BC的中点。 题型二：角平分线作图 足经典例题 1.D 2.解：如图，AH为所作. H ,AH平分∠BAD, ∴.∠BAH=∠DAH, .'CD//AB,AB=CD,AD=BC=6, ∴.∠BAH=∠DHA, ∴.∠DAH=∠DHA, ∴.DA=DH=6, DH=2CH, ∴.CH=3 ∴.平行四边形ABCD的周长=2(AD+CD)=2×(6+9)=30. 2强化训练 1.(1)解：如图， E B D (2)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF, 在Rt△ADE和Rt△ADF中， (AD=AD DE=DF ,'.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴AE=AF, 而DE=DF, ∴AD垂直平分EF, 即AD⊥EF. 题型三：角平分线判定 2经典例题 1.证明：，∠C=90°，DF⊥AB, ∴.∠C=∠BFD=90°， 在Rt△CDE和Rt△FDB中， DE BD,CE=FB, ∴.Rt△CDE≌Rt△FDB(HL), .CD=DF, .∠C=90°，DF⊥AB, ∴点D在∠CAB的平分线上. 2强化训练 1.(I)证明：BE⊥AC,CD⊥AB, .∠ADC=∠AEB=90°， 在△ACD和△ABE中， ∠ADC=∠AEB ∠CAD=∠BAE」 AB=AC :△ACD≌△ABE(AAS), ..AD=AE: (2)证明：AD⊥FD,AE⊥FE,AD=AE, .FA平分∠DFE. 模块二、角平分线性质与判定的综合应用 足经典例题 L.(1)证明：过点E作EG⊥AD于G,EH⊥BC于H,如图： B D H ,EF⊥AB,∠AEF=50°， ∴.∠F4E=90°-50°=40°， .∠BAD=100°， ∴.∠CAD=180°-100°-40°=40°， ∴.∠FAE=∠CAD=40, 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB,EG⊥AD, ∴.EF=EG, ,BE是∠ABC的平分线， ∴.EF=EH, ∴EG=EH, ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴.DE平分∠ADC: (2)解：设EG=x, 由(I)得：EF=EH=EG=x, .SMCD=15,AD=4,CD=8, 408c*cD-EH=15, 即：4r+8r=30, 解得：x=2.5, ∴.EF=x=2.5, S74B6F=7x2535 2强化训练 1.解：(1)PF=PH=PG,理由如下： :AD平分∠BAC,PF⊥AC,PH⊥AB, ..PF=PH, ,BE平分∠ABC,PG⊥BC,PH⊥AB, ..PG=PH, ∴.PF=PH=PG: (2)PE=PD. 证明：，∠ABC=90°，∠C=60°， ∴.∠CAB=30°， :AD平分∠BAC,BE平分∠ABC, :∠CAD=∠BAD=1∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=1∠ABC=45, 过点P作PF⊥AC,PG⊥BC,垂足分别为F、G, 则∠PFE=∠PGD=90°， :∠PDG为△4DC的一个外角， ∠PDG=∠C+∠CAD=60°+1∠CAB=60°+15°=75， 2 :∠PEF是△ABE的一个外角， .∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+1∠CBA=30°+45°=75°， ∴.∠PEF=∠PDG, ,PF⊥AC,PG⊥BC, ∴.∠PFE=∠PGD=90°， 由第一问得：PF=PG, ∴.△PFE≌△PGD, ∴PE=PD. 图2 图H 题型二：角平分线的实际应用 2经典例题 1.D 2.理由：经过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥AC 因为点P是∠C和∠B的角平分线上的点， 所以PE=PF=PH 所以SAAP=是BXPE=-1OPE, 2 SABCP= ⊥BCX PH=20PH, SMACP= ⊥ACX PF=-15PF, 2 于点F,PH⊥BC于点H. SAABP:SAACP:SABCP=10PE:15PF:20PH=2:3:4. E 20m 30m H 40m 卫强化训练 1.B 课堂训练 (评分规则：第1-4题每题3分，第5题8分，第6题5分，共25分) 1.B 2.A 3.(1)证明：，AB∥DF, ∴.∠A=∠EDF, .AD=CE, ∴.AD+CD=CE+CD, 即AC=DE, 在△ABC和△DFE中， AB=DF ∠A=∠FDE, AC=DE ∴.△ABC≌△DFE(SAS): (2)解：，∠BCF=54°，∠DFC=20, .∴.∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°， .AB∥DF, ∴.∠B=∠D0C=74°， .△ABC≌△DFE, ∴.∠DFE=∠B=74°. 4.证明：作PD⊥BC于点D, BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB,PD⊥BC, ∴.PM=PD, 同理，PN=PD, ∴.PM=PN, 又PMLAB,PN⊥AC, ∴.PA平分∠MAN. M D 2026年人教版八年级上册数学-角的平分线 课首诊查 1、如图,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=1,AD=2,延长AD至点E,使得DE=AD,则AC长度可以是() A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图,BE=BA,DE∥AB,DE=BC,若∠BAC=38°,∠E=25°,则 3.如图,在△ABC中,D为AB上一点,E为AC中点,连接DE并延长至点F使得EF=ED,连CF. (1)求证:CF∥AB; (2)若∠ABC=50°,连接BE,CA平分∠BCF,求∠A的度数. 学科网（北京）股份有限公司 互动导学 模块一、全等三角形的应用 题型一：全等三角形性质与判定的综合应用 经典例题 1.在Rt△ABC中,∠ACB=90°.E是AB上的一点,且BE=BC.过E作DE⊥AB交AC于D,如果AC=4cm,则AD+DE等于() A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 2.如图,△ABC中,∠ACB=90°,延长AC到点F,过点F作FE⊥AB于点E,FE与BC交于点D,若DE=DC. (1)求证:BD=DF; (2)若AC=3cm,AB=5cm,求CF的长度. 学科网（北京）股份有限公司 3.如图1,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,E在线段AC上,连接AD,BE的延长线交AD于F. (1)猜想线段BE，AD的数量关系和位置关系：(不必证明)； (2)当点E为△ABC内部一点时，使点D和点E分别在AC的两侧，其它条件不变. ①请你在图2中补全图形； ②(1)中结论成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 强化训练 1.如图:在三角形ABC中,AB=BC,BD=CE,∠ABC=∠C=60°,则∠APE的度数是() A.70° B.65° C.60° D.55° 2.如图,在△ABC和△DBC中,∠ACB=∠DBC=90°,点E是BC的中点,DE⊥AB于点F,且AB=DE. (1)求证:△ACB≌△EBD; (2)若DB=12,求AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 3.如图,已知.，点B，D，E在同一条直线上. (1)求证: (2)写出之间的数量关系，并证明； (3)当时，直接写出α的度数. 学科网（北京）股份有限公司 题型二：全等三角形的实际应用 经典例题 1.如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案.先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且AC=BD=40m,OA=OD,又测得△COD的周长为70m,则A，B两端的距离为() A.10m B.20m C.30m D.35m 2.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃?应该带()去. A.第1块 B.第2块 C.第3块 D.第4块 3.如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口.已知点D、E、C在同一直线上,AD=150米,BC=350米,求两个排污口之间的水平距离DC. 学科网（北京）股份有限公司 强化训练 1.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是() A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 2.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF=6m,DE=8m,AD=4m,则 3.在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离.请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案. (1)画出测量图案； (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示)； (3)计算AB的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示). 学科网（北京）股份有限公司 模块二、角平分线的性质与判定 题型一：角平分线的性质 知识点睛 基础知识 实例剖析 知识点1： 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等注意：角平分线性质讨论的是点到直线距离，垂足在角的两边上。 如右图:如果OC平分∠AOB,且PD⊥OA,那么PD=PE 知识点2： 角平分线的尺规作图 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 知识点3： 角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的角平分线上 如右图:如果PD=PE,且PD⊥OA,那么P点在∠AOB的平分线上，所以OC平分∠AOB 知识点4： 三角形的内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，内心到三角形三条边的距离都相等 如右图:AO、BO、CO是△ABC角平分线的一部分,OE⊥AB,OF⊥AC,OD垂直BC,则OE=OF=OD 经典例题 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是() A、2 B.3 C.4 D.5 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=8,CD=3,则△ABD的面积是() A.12 B.8 C.24 D.11 3.如图,四边形ABCD.中,∠B=∠C=90°,点E为BC的中点,且AE平分∠BAD. (1)求证:DE平分∠ADC; (2)求证:AB+CD=AD. 学科网（北京）股份有限公司 强化训练 1.如图,AP平分∠BAC,PD⊥AC于点D,若PD=6,则P到AB的距离是() A.4 B.5 C.6 D.7 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是() A.30 B.15 C.20 D.27 3.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC. 求证:(1)AM⊥DM; (2)M为BC的中点. 学科网（北京）股份有限公司 题型二：角平分线作图 经典例题 1.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 2在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,用尺规作图画∠BAD的角平分线(不用写过程,留下作图痕迹),交DC于点H,若BC=6,DH=2HC,求平行四边形ABCD的周长. 强化训练 1.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E. (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)中所作的图形中,求证:AD⊥EF. 题型三：角平分线判定 经典例题 1.如图,在△ABC中,垂足为F，DE=BD,CE=FB,求证：点D在∠CAB的平分线上. 强化训练 1.如图,AB=AC,BE⊥AC,E为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BE,CD相交于点F,连接AF,求证: (1)AD=AE; (2)FA平分∠DFE. 学科网（北京）股份有限公司 模块二、角平分线性质与判定的综合应用 经典例题 1.如图,△ABC中,点D在BC边上,∠BAD=100°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50°,连接DE. (1)求证:DE平分∠ADC; (2)若AB=7,AD=4,CD=8,且.S△ACD=15,求△ABE的面积. 强化训练 1.如图,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P, (1)在图1中,分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH,这3条线段相等吗?为什么? (2)在图2中,∠ABC是直角,∠C=60°,其余条件都不变,请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 题型二：角平分线的实际应用 经典例题 1.如图，直线l₁，l₂，l₃表示三条公路.现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有() A.一处 B.二处 C.三处 D四处 2.如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花.请你设计出一个方案，并说明你的理由。 强化训练 1.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在() A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边的中垂线的交点 学科网（北京）股份有限公司 课堂训练 1.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=2,BC=4,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有() A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 3.如图,已知A,D,C,E在同一直线上,BC和DF相交于点O,AD=CE,AB∥DF,AB=DF. (1)求证:△ABC≌△DFE; (2)连接CF,若∠BCF=54°,∠DFC=20°,求∠DFE的度数. E 4.如图,BP,CP都是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.求证:AP平分∠MAN. 学科网（北京）股份有限公司 $