第十五章 轴对称 单元自测培优卷- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章轴对称单元自测培优卷 考试时间：45分钟满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.(2026陕西中考真题)下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对 称图形的是() 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可. 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁 的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形： C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，所以是轴对称图形 2.(26-27九年级上浙江温州·开学考试)下列命题的逆命题是假命题的是() A.等腰三角形的两个底角相等 B.全等三角形的面积相等 C.两直线平行，内错角相等 D.直角三角形两个锐角互余 【答案】B 【分析】将原命题的题设和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题，再判断新命题 是否为假命题即可. 解：A选项逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题. B选项逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题， C选项的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，是真命题. D选项的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题， 3.(25-26七年级下·甘肃张掖·期末)如图，在R1△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B 为圆心，大于)AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N作直线MN分别交BC、AB于 点D、E,连接AD.若∠B=32°，则∠CAD的度数为() E B A.24° B.28 C.32° D.26° 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得∠BAC=58°，由垂直平分线的性质可知 ∠DAB=∠B=32°，根据角之间的关系即可求出∠CAD的度数. 解：∠C=90°，∠B=32°， .∠BAC=58°， 由尺规作图可知，MN是AB的垂直平分线， :DA=DB, .∠DAB=∠B=32° ∴.∠CAD=∠BAC-∠DAB=58°-32°=26° 4.(24-25七年级下·广东东莞期中)如图，长方形0ABC的边OA,OC分别在x 轴、y轴上，点B的坐标为(3,2)，点D,E分别在AB,BC边上.若BD=1,沿直线 DE将△BDE翻折，点B落在点B处，此时BD∥x轴，则点B的坐标为() E B A.(,) B.(2,) C.(1.5,) D.(1.5,1.5) 【答案】B 【分析】本题考查图形折叠性质以及坐标的确定；解题关键是熟练掌握折叠性质，由长方形 OABC中B(3,2)得出OA=3,AB=2,再根据BD=1算出AD=1.依据翻折性质得 B'D=BD=1,利用B'D∥x轴及D在AB上，先确定B纵坐标，再结合OA长度得出横坐标为， 从而得到答案. 解：已知长方形0ABC中，点B的坐标为(3,2)，则OA=3,AB=2. BD=1, ∴.AD=AB-BD=2-1=1. ,'△BDE沿直线DE翻折得到AB'DE, .BD=B'D=1. B'D∥x轴，D在AB上AB∥y轴，D纵坐标为1， ∴.B纵坐标为2-1=1. :OA=3,B'D∥x轴， 综上，点B的坐标为(2,1)， 故选：B 5.(25-26八年级上河北邯郸期末)如图，点A的坐标为(1,0)，点B在第一、三 象限的角平分线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为() A.(0,0) B. c.（3 D. 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识 线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离，过A点作垂直于直线y=x的垂线AB,由 题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC⊥x轴，垂足为C,则点C为OA的中点，有 OC=BC=2,由此即可确定出点B的坐标. 解：过A点作垂直于直线y=x的垂线AB, :点B在第一、三象限的角平分线上运动，即点B在直线y=x上运动， ∠A0B=45°， ∴△AOB为等腰直角三角形， 过B作BC垂直x轴垂足为C, 则点C为OA的中点， 则OC=BC=2, 由作图可知B在x轴下方，y轴的左方， ∴横坐标为负，纵坐标为负， 11 所以当线段AB最短时，点g的坐标为22》” 故选：C 6.(26-27九年级上广东广州开学考试)如图，已知等边三角形ABC的边长为 IO,D为AB上一点，过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F,连结DF ,若BE=2,则DF的长为() A.25 B.4 C.6 D.45 【答案】C 【分析】计算出BD,CF,可得AD=AF,推出三角形ADF为等边三角形，即可得到 ∠EDF=90°，即可推出DF. 解：在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=10, .EC=BC-BE=8, :DE⊥BC, .∠DEB=90°， :∠BDE=90°-∠B=30°， .DB=2BE=4, :AD=AB-DB=6. :EF⊥AC, ∴∠EFC=90°， .∠CEF=90°-∠C=30°， CP-4 ..AF=AC-CF=6. :AD=AF, ∠A=60°， ,.△ADF为等边三角形， ..DF=AD=6 7.(24-25七年级下·贵州六盘水·期末)将一条长度为40cm的绳子AB拉直铺平 后，在绳子上依次任意取不与端点A、B重合的两点C、D,将A、B两点分别沿 C、D两点折叠至绳子上的新位置、B'处.当AB=10cm时，CD的长度为 () A.15cm B.25cm C.10cm或15cm D.15cm或25cm 【答案】D 【分析】本题根据折叠的性质得到对应线段相等，分两种情况讨论A'和B的位置关系，再利 用线段的和差关系计算CD的长度即可. 解：设AC=xCm,BD=cm,由折叠的性质可知，AC=AC=x,BD=B'D=y, AB=40cm, ∴.AC+CD+BD=40 可得CD=40-x-y. 分两种情况讨论： 情况1：折叠后A落在B'的左侧，此时A'B=1Ocm, .CD=A'C+B'D+AB'=x+y+10 ∴.x+y+10=40-x-y, 整理得x+y=15. ∴.CD=40-15=25cm. 情况2：折叠后B落在A'的左侧，此时A'B=I0cm, .CD=A'C+B'D-A'B'=x+y-10 ∴x+y-10=40-x-y,整理得x+y=25, ∴.CD=40-25=15cm. 综上，CD的长度为l5cm或25cm. 8.(25-26七年级下·河南期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=15,AD 平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,点P是DE上的动点，点 O是BD上的动点，则BP+P的最小值为() A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【分析】过点D作DH上AB于H,并延长DH,先判断出△ADH≌aADC(AAS),再判断出 ∠BDE=∠HDE,在DH上取一点，使DO=DO,连接PO,BO,进而判断出 △QDP≌aQDP(SAS),得出Pg=Pg,即可判断出Bg'⊥DH时，BP+PO最小，即可求出答 案。 解：如图，过点D作DH⊥AB于H,并延长DH, .∠AHD=90°=∠C, ,AD是∠BAC的平分线， ∴.∠DAH=∠DAC, AD=AD, .△ADH≌aADC(AAS). .∠ADH=∠ADC,AH=AC=5, .BH=AB-AC=15-5=10. ,DE⊥AD, ∴.∠ADE=90°， ∴.∠ADC+∠BDE=90°=∠ADH+∠EDH, ∴.∠BDE=∠HDE, E B 在DH上取-点Q,使Dg=D0,连接P,BQ, .DP=DP, .△ODP≌aO'DP(SAS), .P№=Pg, :.BP+P2=BP+PO≥BO,当点B、P、O共线时取等号， ,点Q是动点， BQ'⊥DH BP+PO BH=10 当 时，即点与点H重合 的值最小，最小值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.(2026·北京朝阳·三模)如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为 格点，则2P+∠0=度. 【答案】45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出 图中的全等三角形是解题的关键， 利用网格得出△PBC≌aCAg(SAS),∠ABQ=∠AQB=45°，再利用全等三角形的性质以及三角 形外角的性质即可得出答案 解：如图， B 由图可得，PB=AC,∠PBC=∠CAQ=90°，AQ=AB=BC, .△PBC≌aCAQ(SAS),∠ABQ=∠AQB=45°， .∠P=LAC0, :.∠P+∠BQC=∠ACQ+∠BQC=∠ABQ=45° 故答案为：45 10.(26-27八年级上江苏泰州阶段检测)如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA 上，OP=l0,点M、N在边OB上，PM=PN,若MN=2,则OM的长为一 04600 -B M N 【答案】4 【分析】过点P作PD⊥OB于点D,求出∠OPD=30°，则可求出OD的长，由三线合一定理 求出DM的长，再由线段的和差关系可得答案， 解：如图所示，过点P作PD⊥OB于点D, 0460 -B MDN ,∠ODP=90° :∠A0B=60°， ∴.∠OPD=90°-∠POD=30°， :.0D=oP=5 2 :PM=PN,PD⊥MW, :.DM=IMN=1. ..OM=OD-DM=4 11.(25-26七年级下·浙江绍兴·期末)如图，把一张正方形纸片按图折叠，就得 到一个角∠1，则∠1的度数是 任意折 沿折痕 【答案】90°190度 【分析】根据折叠2次，将一个周角四等分，即可求解. 解：∠1=360°÷4=90° 12.(26-27八年级上·湖南长沙阶段检测)如图，在Rt△ABC中，AB的垂直平分 线交BC边于点E.若BE=26,∠B=15°，则AC= 【答案】13 【分析】根据中垂线的性质，得到AE=BE=26,等边对等角结合三角形的外角的性质，得到 ∠AEC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出AC的长即可， 解：：在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E, .AE=BE=26, .∠EAB=∠B=15°. .∠AEC=∠EAB+∠B=30° 由图可知∠ACE=90° 1 ∴.AC=5AE=13 13.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨单元测试)如图，在△ABC中，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB于点P,交∠BAC的平分线AD于点D,连接BD并延长，交边 AC于点E(点E与点A不重合)·若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为。 E 【答案】45°或36° 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分BE=BC和CE=BC两种情 况讨论求解即可. 解：设∠BAC=2a, ,AD是∠BAC的平分线， ∴.∠BAD=∠CAD=&, ,PD是AB的垂直平分线， .AD BD, ∴.∠ABD=∠BAD=a, 又AB=AC, :∠4Bc=4C8-180r22a=90°-a. 2 ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=(90°-a)-a=90°-2a 连接CD, E .AB=AC, .△ABC是等腰三角形， ,AD是∠BAC的平分线， .AD⊥BC,BD=CD. ∴.∠DCB=∠DBC=90°-2a且∠EDC=∠DBC+∠DCB=180°-4a :△BCE是等腰三角形， .有两种情况： ①BE=BC,此时∠BEC=∠ACB=90°-a, 在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°， .(90°-2a）)+(90°-a)+(90°-a)=180°， 解得：a=22.5° ∴.∠BAC=2a=45°： ②CE=BC,此时∠EBC=∠BEC=90°-2a, 在△BCE中，∠EBC+∠BEC+∠ACB=180°， :.(90°-2a）+(90°-2a)+(90°-a)=180°. 解得：a=18°， ∴.∠BAC=2a=36° 综上，∠BAC的度数为45°或36° 故答案为：45°或36° 14.(24-25七年级下·山东济南阶段检测)如图，点C、D在线段AB的同侧， CA=4,AB=12,BD=9,M是AB的中点，∠CMD=120°，则CD长的最大值是 【答案】19 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识 点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题.作点A关于CM的对称点A,点B关于 DM的对称点B',证明△ABM'为等边三角形，即可解决问题 解：作点A关于CM的对称点A',点B关于DM的对称点B,连接A'C,A'M,B'M,AB ,B'D, D B M B .∠CMA=∠CMA',∠BMD=∠B'MD,AM=A'M,BM=B'M,AC=A'C,BD=B'D, ,∠CMD=120°， ∴.∠AMC+∠DMB=60°， ∴.∠CMA+∠DMB'=60°， .∠AMB'=60° M是AB的中点，AB=12, .MA=MB=6. ∴.MA=MB', ∴.△ABM'为等边三角形， .A'B'=A'M=AM=6, .CA=4,BD=9. CD<CA'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=4+6+9=19 ∴.CD的最大值为19. 故答案是19. 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.(8分)(25-26八年级下陕西咸阳期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上， 请用尺规作图法在△ABC内部作一点P,使得点P到边AB、BC的距离相等，且点P 到点C和点D的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法） B 【答案】解：如图，点P即为所求. 【分析】点P到边AB、BC的距离相等，则点P在∠ABC的角平分线上，点P到点C和点D的 距离相等，则点P在线段CD的垂直平分线上，据此作图即可， 解：略， 16.(8分)(25-26八年级下·河南开封期中)在△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,将△ABC沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为DE. (1)试求△ACD的周长： (2)若∠CAD:∠BAD=4:7,求∠B的度数. D B 【答案】(1)14：(2)35 【分析】(1)根据折叠的性质，得DA=DB,再根据三角形的周长，解答即可. (2)根据∠CAD:∠BAD=4:7,不妨设∠CAD=4x°，∠BAD=7x°，根据折叠的性质，得 ∠B=∠BAD=7x°，根据∠C=90°，利用三角形内角和定理列方程解答即可. (1)解：根据折叠的性质，得DA=DB, ,△ACD的周长是DA+DC+AC, .△ACD的周长是DA+DC+AC=BD+DC+AC=BC+AC, AC=6,BC=8, ∴.AC+BC=14. 故△ACD的周长为14. (2)解：：∠CAD:∠BAD=4:7,不妨设∠CAD=4x,∠BAD=7x°， 根据折叠的性质，得DA=DB, .∠B=∠BAD=7x°， ∠C=90°， .4x+7x+7x+90=180, 解得x= 故∠B=35° 17.(8分)(26-27八年级上江苏徐州阶段检测)如下图，△ABD和△ACE都是等 腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°. B (1)求证：BE⊥CD. (2)试判断∠AFD和∠AFE的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)证明：：△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE=90°， AD=AB,AC=AE,，∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE, AC=AE 在 和 中， ∠DAC=∠BAE △ACD△AEB AD=AB aACD≌aAEB(SAS), ∴.CD=EB,∠ADC=∠ABE, ∴.∠BFD=18O°-∠BDF-∠DBF =180°-∠BDF-∠ABD-∠ABE =180°-45°-（∠BDF+∠ADC) =135°-∠ADB =135°-45° =90°， .BE⊥CD (2)∠AFD=∠AFE.证明如下：· 过点A分别作AM⊥CD于点M,AN⊥BE于点N,如图. E M 由(1)可知，CD=EB,SAm=SAB, CD:AM-DE AN ∴.AM=AN :AM⊥CD,AN⊥BE, FA平分∠DFE, .∠AFD=∠AFE 【分析】(I)先证△ACD≌△AEB(SAS),推出CD=EB,∠ADC=∠ABE,再根据三角形内 角和定理得∠BFD=180°-∠BDF-∠DBF,通过等量代换推出∠BFD=9O°即可： (2)过点A分别作AM⊥CD于点M,ANLBE于点N,根据CD=EB,SMC=SM,可得 AM=AN,根据角平分线的判定定理，可得FA平分∠DFE. 解：(1)略 (2)略 18.(8分)(25-26七年级下四川达州期末)如图，△ABC中，AC的垂直平分线交 AC于点F,交BC于点E,AD⊥BC且BD=DE,连接AE. (1)AB=EC吗？说明理由： (2)若△ABC的周长为28cm,AC=12cm,求DC长. ■ B D E 【答案】(1)解：AB=EC,理由如下： ~EF垂直平分AC, .AE=EC. :AD⊥BC,BD=DE, ∴AB=AE, :AB=EC: (2)8cm. 【分析】(1)由线段垂直平分线的性质可得AE=EC，AB=AE,于是结论得证： (2)由△ABC的周长为28cm可得AB+BC+AC=28cm,再结合AC=12cm,可得 AB+BC=16cm,即AB+BD+DE+EC=16cm,由(I)可得AB=EC,再结合BD=DE, 可得DE+EC=AB+BD= 2×16cm=8cm,于是得解. 解：(1)略； (2)解：：△ABC的周长为28cm, .AB+BC+AC=28cm, AC=12cm, ∴.AB+BC=16cm, ∴.AB+BD+DE+EC=16cm, 由(I)可得：AB=EC, 又BD=DE, 1 ∴.DE+EC=AB+BD=。×l6cm=8cm, 2 即DC=8cm, ∴.DC长为8cm. 19.(8分)(26-27九年级上陕西宝鸡开学考试)如图，D,E分别是等边三角形 ABC的两边BC,AC上的点，且AE=CD,AD、BE相交于点P,BO⊥AD于O, PQ=4,PE=1. (1)求证： ∠BPQ=60° (2)求AD的长. 【答案】(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAE=∠C=60°，. 在△ABE和△CAD中， AE=CD ∠BAE=∠C AB=AC ∴△ABE≌aCAD(SAS), ∴.∠ABE=∠CAD ∴.∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=6O0° (2)9 【分析】(1)先根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CAD,可得∠ABE=∠CAD,再 利用三角形的外角性质即得结论： (2)先利用30°角的直角三角形的性质求出BP的长，进而可得BE的长，再利用(1)的结论 即可得出答案. 解：(1)略 (2)解：在RtABP2中，∠BPQ=60°， ∴.∠PBQ=30° P2=4 .BP=8. PE=1, .∴.BE=BP+PE=9 由(I)得△ABE≌aCAD. ..AD=BE=9 20.(8分)(25-26八年级上湖北武汉·期中)“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣 的数学问题，通常称为“将军饮马”问题. (1)如图1，若点A和点B分别在直线1的两侧，请作出示意图，在直线1上找到 点C,使得CA+CB有最小值，并说明作图依据： (2)如图2，若点A和点B在直线I的同侧，请在直线1上作出点P,使得PA+PB 有最小值： (3)如图3，已知∠AOB=30°，点O在∠AOB内部，点M,N分别在射线OA,OB 上，若O0=6,请求出△QMN周长的最小值. A● A· y ●B ●B -B 图1 图2 图3 草地 河流PP2 【答案】(1)连接AB,与直线！相交于一点C,则CA+CB有最小值.作图依据是两点之间 线段最短.故答案为：两点之间线段最短：(2)如图，点P即为所求 B 图2 (3)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练 掌握“将军饮马”等模型， (1)依据是两点之间线段最短得出答案： (2)作点A关于直线的对称点A',连接A'B交直线于点P,连接PB,点P即为所求： (3)分别作Q关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,交OA、OB于M、N,则△OMN 的周长最小，进而根据轴对称的性质推出△COD为等边三角形，进一步得出结果. 解：(1)略 (2)略 (3)如图2， 图2 D 作法：(I)作Q关于OA的对称点C, (Ⅱ)作点Q关于OB的对称点D, (Ⅲ)连接CD,分别交OA于点M,交OB于N, 则△OMN的周长最小， 连接OC、OD, 点C和点Q关于OA对称， .0C=00=6,∠M0C=∠00M, 同理可得， OD=O9=6.∠QON=∠NOD. ..OC=OD. ∠MOC+∠Q0M+∠QON+∠NOD=2∠Q0M+2∠QON=2(∠QOM+∠QON)=2∠AOB=60 ∴.△COD为等边三角形， .CD=6. ∴.△QMN的周长=OM+MN+ON=CM+MN+DN=CD=6. 21.(10分)(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)【问题背景】 如图1，在△ABC中，已知AB=AC,∠BAC=90°，AH是△ABC的高，AH=4cm, BC=8&cm,过点C的直线MW⊥BC.动点D从点C开始沿射线CB方向以3cms的速 度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运 动，连接AD、AE,设运动时间为(>0)秒. 【思考尝试】 (I)请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD= cm,CE= cm,当t为多少时，△ABD的面积为 12cm2? 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段BC上，且AD⊥AE时，△ABD是否与△ACE全等？说 明理由：此时CD+CE的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且AD⊥AE时，CD与CE有什 么数量关系？请说明理由. M M H D B D 图1 图2 备用图 2 14 【答案】（山31：21：3或3；(2）①△ABD≌△ACE'CD+CE=8cm' 理由如下： AD⊥AE, .∠DAE=90°， ,∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC, .∠BAD=∠CAE, .AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45° MN⊥BC, ∴.∠BCE=90°， .∠ACE=∠BCE-∠ACB=45°， ∴.∠ABC=∠ACE, .△ABD≌AACE(ASA): .BD=CE. .CD+CE=CD+BD=BC=8cm: ②CD-CE=8cm,理由如下， 如图，AD⊥AE, ∴.∠DAE=90° :∠BAC=90°， .∴.∠DAB=∠EAC :AB=AC, .∠ABC=∠ACB=45° ∴.∠ABD=180°-45°=135°， MN⊥BC, ∴.∠DCE=90°， .∠ACE=90°+45°=135°， ∴.∠ABD=∠ACE, .△ABD≌aACE(ASA, :.BD=CE. CD-BD=BC=8cm .CD-CE=8cm N 备用图 【分析】(I)根据运动速度和已知条件表示出CD和CE,分两种情况：当点D在线段BC上 时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； (2)①根据“ASA”证明三角形全等即可：根据全等三角形的性质得出BD=CE,再根据线 段间的数量关系进行求解即可： ②证明△ABD≌aACE(ASA),得出BD=CE,根据线段间数量关系，即可得出答案. (1)解：由题意得，CD=31cm,CE=2icm, 当点D在线段BC上时，BD=BC-CD=(8-3I)cm, S.w-AHBD 2 24BD=12, 1 1 二×4×(8-31)=12， 2 解得：1=3 当点D在CB延长线上时，BD=CD-BC=(3t-8)cm, 5.w-D 2×4(6-到=2， 14 解得：1=3： 综上，当1为号或号时，MBD的面积为12cm: 2 (2)解：①略 ②略 第十五章 轴对称单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·陕西·中考真题）下列图形都是由一对全等三角形组成的，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．全等三角形的面积相等 C．两直线平行，内错角相等 D．直角三角形两个锐角互余 3．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，长方形的边，分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在，边上．若，沿直线将翻折，点B落在点处，此时轴，则点的坐标为（） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，点的坐标为，点在第一、三象限的角平分线上运动，当线段最短时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·广东广州·开学考试）如图，已知等边三角形的边长为10，为上一点，过点作于点，过点作于点，连结，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）将一条长度为的绳子拉直铺平后，在绳子上依次任意取不与端点、重合的两点、，将、两点分别沿、两点折叠至绳子上的新位置、处．当时，的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026·北京朝阳·三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则________度． 10．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长为_____． 11．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，把一张正方形纸片按图折叠，就得到一个角，则的度数是__________． 12．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线交边于点．若，，则_________． 13．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，，的垂直平分线交于点P，交的平分线于点D，连接并延长，交边于点E（点E与点A不重合）．若是等腰三角形，则的度数为____．    14．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是___________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 16.（8分）（25-26八年级下·河南开封·期中）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）若，求的度数． 17.（8分）（26-27八年级上·江苏徐州·阶段检测）如下图，和都是等腰直角三角形，． （1）求证：． （2）试判断和的大小关系，并证明你的结论． 18.（8分）（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 19.（8分）（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． （1）求证： （2）求的长． 20.（8分）（25-26八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； （3）如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 21.（10分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （1）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （2）①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $