第十五章 轴对称（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学第十五章轴对称能力提升单元卷，以剪纸艺术、立表测影等传统文化及将军饮马等实际问题为情境，覆盖轴对称图形识别、坐标对称、三角形全等及最短路径等核心知识点，注重几何直观与推理能力考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、折叠角度计算、坐标对称|以剪纸情境考查几何直观，结合折叠问题提升空间观念| |填空题|6/18|对称点坐标、最短路径、中垂线与角平分线综合|通过动点问题考查模型意识，强化知识间逻辑联系| |解答题|9/72|作图证明、立表测影应用、将军饮马实践|融入传统文化素材（如立表测影），以将军饮马问题培养推理能力与创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章轴对称·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D 0 0 C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.m<-2 1 4 12.5 13.40 3 15.32 16.50°或80° 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. (I)证明：：CD⊥AB,且BD=DE, CD垂直平分BE. .BC=EC, ~EF垂直平分AC, .AE=EC, .AE=BC:3分 (2)解：：EF垂直平分AC, ..AE=EC, :△ABC的周长为21，AC=8, .BC+AB=13, ∴.BC+AE+BE=13 ∴.BC+EC+BE=13 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即△BCE的周长为13.6分 18. (I)证明：：△DBF是等腰三角形，DE⊥BF, .∠BDE= 1∠BDF 又：∠A=)∠BDF, 2 ∴.∠A=∠BDE, :DE∥AC, .DE⊥BF, .AC⊥BF:3分 (2)解：等腰△DBF中，∠B=50°，DE⊥BF, :∠BDE=∠EDF=90°-50°=40°， 由(1)知：DEIIAC, .∠AMD=∠EDF=40°.6分 19. (I)△ABD≌△DCE,理由如下： 证明：AB=AC, .∠B=∠C 在△ABD与△DCE中， [∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=DE .△ABD≌△DCE(AAS) ;3分 (2)解：：△ABD≌△DCE, :AB=DC=5,CE=BD=3. AC=AB=5」 AE=AB-EC=5-3=2.6分 20. 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)解：如图，△4BC即为所求； B B 2分 (2)解：由(1)中图可得点C的坐标为5，) ;4分 (3解：：点P(aa- 关于y轴对称点为P .P'(-a,a-1) .PP=4, a-(a=4 .a=2, ∴.a-1=1,-a=-2, P(-2, 6分 21」 【详解】(I)解：aABC和△ADE关于直线MN对称， 点C的对应点是点E,∠B的对应角是∠D.2分 (2)解：由轴对称性质得：BC=DE=5, 又：BC=CF+BF,BF=2, .C℉=BC-BF=5-2=3.5分 (3)解：△ABC、△ADE关于MN对称， ·∠DAE=∠BAC=108°，且直线MN平分∠CAE、∠BAD, 已知∠BAE=40°， 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAE=∠BAC-∠BAE=108°-40°=68°， F在对称轴MN上，AF平分∠CAE, ∠EAh=∠CAE=)x68=340.…8分 2 2 22. (1)证明：：AM平分∠BAC,MD⊥AC,MB⊥AB, ∴.DM=BM(角平分线的性质)， 在Rt△ABM和Rt△ADM中， AM=AM BM=DM, RtAABM≌Rt△ADM(HL) 2分 0△MBD (2) 等边三角形， .∠BAD=60°， .∠C=90°-∠BAD=30°， ,AM平分∠BAC, .∴.∠BAM=∠CAM=ラ∠BAD=30° .∠CAM=∠C. .MA=MC. .点M在线段AC的垂直平分线上；5分 ②，Rt△ABM，∠BAM=30° 在 中， .AM=2BM=4(米)， 由①知MC=AM=4(米)， :.BC=BM+MC=6(米)， .日影BC的长为6米.8分 23.(1)如图，点C即为所求： 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2分 B 图1 (2)如图，点C即为所求： B …4分 图2 (3)如图所示，整个过程所行的路程为6km. M N.6分 小河 分别作出点A关于OM、ON的对称点B,C,连接BC分别交OM、ON于点D,E,连接AD、AE,则 线段AD,DE,EA之和即为所求的最短路径. 由题意，得OB=OA=OC=6】 ∠BOD=∠AOD ∠COE=∠AOE :∠MON=∠AOD+∠AOE=30° :.∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+∠AOE=60°， :△OBC为等边三角形， .BC=OB=6km. .'AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=6km, ∴.整个过程所行的路程为6km.8分 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24. (1)证明：∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC. 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS) 3分 (2BD=CE 证明：：△ABC和△ADE为等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ACB=45°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, △ABD≌AACE(SAS) BD=CE6分 (③)解：以AB为边向左上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE, 点M到 的距离为1， 的面积为3.6， AD △AMD ADx1=3.6, 2 AD=7.2 :△ABE和△BCD都是等边三角形， .BE=BA,BC=BD,∠EBA=∠CBD=6O°， ·∠EBC=∠ABD 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△EBC≌△ABD. ..EC=AD ∠ABE=∠BAC=60°， AC∥BF, .∠ACM=∠FBM,∠CAM=∠F, 点M为BC的中点， ∴.CM=BM, ∴.△ACM≌△FBM(AAS) .AM FM,AC=BF, :∠ABE=∠BAC=∠BAE=6O°， ∠EAC=∠FBA=120°， EA=AB,AC=BF, ∴.△EAC≌△ABF(SAS) :CE=AF .AF=AD, AM=4F=4D=3.6 2 2 12分 25. 【详解】(I)解：，△ABC为等边三角形， .AB=BC=AC,∠A=∠B=∠ACB=60°， ,点D是AB中点， ∠ACD=LACB=2x60°=30°，即CD=30 2 :∠CDE=60°， ∠CED=180°-∠CDE-∠ECD=180°-60°-30°=90°，4分 (2)线段CD与CH相等，理由： ,aCEF沿CF折叠得到△CGF, 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CG=CE,∠CGF=∠CED=90°， F,G,H共线， ∠CGH=180°-∠CGF=180°-90°=90°， ∴.∠CGH=∠CED, 在aCGH和△CED中， CG=CE ∠CGH=∠CED GH=DE △CGH≌ACED(SAS) .CH=CD8分 (3)△ABC为等边三角形， ∴.∠ACB=60°，即∠ECF=60°， ,aCEF沿CF折叠得到△CGF, ∴.CE=CG,∠FCG=∠FCE=60°， .∠DCH=120°. ∴.∠DCB+∠HCG=∠DCH-∠FCG=120°-60°=60°， .∠HCG=60°-∠DCB」 :∠DCB+∠DCE=∠ECF=60°， .∠DCE=60°-∠DCB, .∠HCG=∠DCE, FH CD」 .∠DCH+∠H=180°， .∠H=180°-∠DCH=180°-120°=60°， .∠CDE=60°， .∠H=∠CDE. 在△CGH和△CED中， 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG=CE ∠H=∠CDE ∠HCG=∠DCE' ACGH≌ACED(AAS) .DE=GH ,aCEF沿CF折叠得到△CGF, .SACEF=SACGF EF=GF .△CGF和△CHF等高， SAcwSAcw-SAcSAow-FG:FH=FG:(FG+GH)-EF:(EF+DE) EF =3DE. ,EF(EF+DE)=(3DE):(4DE)=3:4 .S△cB:SACHE=3:4 .12分 9/9 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意. 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由长方形的性质可知，由此可得出，再根据折叠的性质求得图2中，由此即可算出图3中度数． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ． 由折叠的性质可知： 图2中，， ∴， ∴图3中，． 3．在一幅轴对称图形中，某点的坐标为，其对称点的坐标为，则该轴对称图形的对称轴是（   ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：和横坐标互为相反数，纵坐标相同，对称轴为y轴． 4．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 5．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察作图过程，得出，是的角平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质得，再运用三角形内角和性质得，根据同位角相等，两直线平行得，即可作答． 【详解】解：依题意，是的角平分线， ∴ 依题意，是的垂直平分线， ∴ ∴ ∴，故D选项不符合题意； 则 ∴，故B选项不符合题意； ∵，是的垂直平分线， ∴ ∴，故A选项不符合题意； 只知道，是的角平分线，是的垂直平分线，得不出的度数，故无法得出之间的关系， 故不一定正确， 故C选项符合题意． 7．我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，点B、C、D、E在同一直线上，，，，但与不全等，因为，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．若，，则图中与是“伪全等三角形”的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，，，但， ∴与是“伪全等三角形”； ∵， ∴， ∵，但， ∴与是“伪全等三角形”； 综上，图中与是“伪全等三角形”的有2个． 8．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、是等边三角形， ， ， ，， ，， ， ，，， 以此类推，的边长为， 的边长为， 故选：D． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 【答案】D 【分析】过作延长线于，连接，，，根据角平分线的定义证得，证明得到，，再证明得到，，进而可判断选项D正确；假设是的垂直平分线，证明得到，则根据垂直平分线的判定可得点、、共线，这种情况不一定成立，故假设不成立，可判断选项B错误；假设，则，可证明得到，可得，与矛盾，可知选项C错误；现有的条件无法证明，可判断选项A错误，进而可得答案． 【详解】解：如图，过作延长线于，连接，，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵是中点，， ∴是的中垂线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，故选项D正确，符合题意； 对于选项B，假设是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，即点、、共线， 由图知，这种情况不一定成立，故假设不成立，即选项B错误，不符合题意； 对于选项C，假设，则， ∴， ∵， ∴， ∴在中，这与矛盾，故选项C错误，不符合题意； 对于选项A，现有的条件无法证明，故选项A不符合题意． 10．如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质和同角的余角相等证明全等，可判断①；的长是变化的，而是定值，可判断②；由全等三角形的性质得到，再由线段的和差关系可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵中，，，D是的中点， ，，， ， ， ， ， ，故①正确； ∴， ∴， ∵的长是变化的， ∴的长是变化的，而的长是定值， 和不一定相等，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ∵， ， ， ， ， ，故④正确； ∴正确的有①③④． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，结合对称点在第二象限，可判断点位于第三象限，根据第三象限内点的横，纵坐标均为负，列出一元一次不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点在第三象限， ∴根据第三象限内点的坐标特征，可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为． 12．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，是的平分线， 直线是的对称轴，点关于直线的对称点是点， 连接，过点作，于点 ， ， ∵ ∴最小值为的长， ，是的平分线， ， ， ， ， 的最小值为． 13．锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】设的中点为点，由角平分线的性质可得，，进而得到，由中垂线的性质可得，则，因此． 【详解】解：如图，设的中点为点， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 【答案】 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ∴DE=DH 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ． 15．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，，点、分别在射线、上，，是面积为的锐角三角形，是线段上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，则的面积最小值为______． 【答案】 【分析】：连接，过点作，交于点，根据题意得出，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，即，即可求解． 【详解】解：连接，过点作，交于点， ，， ， 点关于的对称点是，点关于的对称点是， ，，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，即， 的面积最小值为． 16．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，，点D在线段上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可． 【详解】解：，， ． 令， 和关于直线对称， ，， ． ，且平分， ． ，， ． 同理可得，， ． 当时，，即， ； 当时，． 综上所述，的度数为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 18．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰中，，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：是等腰三角形，， ， 又， ， ， ∵， ∴； (2) 【分析】由等腰三角形的性质得，进而得到，即得，再根据平行线的性质即可求证； 由等腰三角形和直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：等腰中，，， ， 由（1）知：， ． 19．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连结，，已知，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)，理由如下： 证明：， ， 在与中， ， ； (2)2 【分析】（1）由可得，再根据即可证明； （2）得出，，求出，则可求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出关于y轴对称的； （2）结合（1）即可写出点的坐标； （3）根据点关于y轴对称点为，则，结合，求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图可得点的坐标为； （3）解：∵点关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 21．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是____________，的对应角是____________． (2)若，，则的长为____________． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，对应点、对应角、对应线段分别相等；对称轴平分对应点的连线，对称轴上的点到一组对应点距离相等，对应线段的交点在对称轴上．利用全等三角形边角关系、角的等量代换求解三小问． 【详解】（1）解：和关于直线对称， 点的对应点是点，的对应角是． （2）解：由轴对称性质得：， 又，， ． （3）解：、关于对称， ，且直线平分、， 已知， ， 在对称轴上，平分， ． 22．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】(1)角平分线的性质， (2)∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； 日影的长为米． 【分析】（1）由角平分线的性质可得，然后通过“”即可求证； （2）由是等边三角形，可得，则，通过角平分线的定义可得，所以，从而得，然后通过垂直平分线的判定即可求证； 通过角所对直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴（角平分线的性质）， 在和中， ， ∴； （2）解：略； 在中，， ∴（米）， 由知（米）， ∴（米）， ∴日影的长为米． 23．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）如图所示，整个过程所行的路程为． 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径． 由题意，得， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 24．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在与中， ， ， (2)． 证明：和为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， ∴， (3) 【分析】（1）先证明，进而证明 （2）证明，根据全等三角形的性质即可得证 （3）以为边向右上方作等边三角形，延长，交于点F，连接，根据三角形的面积公式，求得，证明，得出则，证明，得出，即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以为边向左上方作等边三角形，延长，交于点F，连接， 点M到的距离为1，的面积为3.6， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ，， 点M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴， ． 25．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 【答案】(1) (2)线段与相等，理由： ∵沿折叠得到， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ (3) 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求，结合三角形内角和算出； （2）由折叠得边、角相等，推出直角相等，结合，证三角形全等，得； （3）结合等边、折叠、平行线导等角，证全等得，同高三角形面积比等于底之比，代入线段长度求面积比值． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵点是中点， ∴，即， ∵， ∴； （2）略； （3）∵为等边三角形， ∴，即， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，， ∵和等高， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（     ） A． B． C． D． 3．在一幅轴对称图形中，某点的坐标为，其对称点的坐标为，则该轴对称图形的对称轴是（   ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 4．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（   ） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分 5．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 6．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线交于点；②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点．根据以上作图，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 7．我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，点B、C、D、E在同一直线上，，，，但与不全等，因为，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．若，，则图中与是“伪全等三角形”的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知：，点、、，在射线上，点、、、，在射线上，、、、均为等边三角形．若,则的边长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，是中点，点在的延长线上，过点作的垂线与的平分线交于点，与交于点，，垂足是．下列说法正确的是（     ） A． B．是的垂直平分线 C．当时， D． 10．如图，中，，，D是的中点，点E、F分别在边上，且．以下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围为______． 12．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是______． 13．锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________． 14．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于点、过点作于点，若，，则____________． 15．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，，点、分别在射线、上，，是面积为的锐角三角形，是线段上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，则的面积最小值为______． 16．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，，点D在线段上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的度数为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 18．（25-26七年级下·山东东营·期末）已知：如图，在等腰中，，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连结，，已知，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，试求的长． 20．在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． (1)作出关于y轴对称的； (2)直接写出点的坐标； (3)若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，求点的坐标． 21．（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是____________，的对应角是____________． (2)若，，则的长为____________． (3)若，，求的度数． 22．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． (1)若，下面是小明证明的过程，依据是___________，依据是___________； 证明：∵平分，，，∴（依据） 在和中，，（依据） (2)若为等边三角形． 说明点在线段的垂直平分线上； 已知日影的长为米，求日影的长． 23．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马． 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题． 【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短． 【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【评价反思】 （3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 24．（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． (1)求证： 【深入探究】 (2)如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 (3)如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 25．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为等边三角形，点为边上一点；点为边上一点，连接，，． (1)如图，当点是中点时，求的度数； (2)如图，在（1）的条件下，延长交延长线于点，将沿折叠得到，延长到点，使得，连接，线段与相等吗？说明理由； (3)如图，点为射线上一点，连接，将沿折叠得到，延长到点，连接，使得，若，且，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章轴对称·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.剪纸是中国民间传统艺术，下列剪纸图形中，属于轴对称图形的是() D 2.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)如图1是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图 2,再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是() 图1 图2 图3 A.105° B.120° C.140° D.130° 3.在一幅轴对称图形中，某点的坐标为(-2,3)，其对称点的坐标为(2,3)，则该轴对称图形的对称轴是 () A.x轴 B.y轴 C.直线x=1 D.直线y=1 4.如图，△ABC与△AB'C”关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是() A.直线AB、AB'的交点不一定在MN上 B.△AAP是等腰三角形 119 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△ABC与△A'B'C'面积相等 D.MN垂直平分AA,CC” 5.在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地△ABC内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀 覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在△ABC的() A.三条中线的交点处 B.三条高线的交点处 C.三条角平分线的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处 6.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，按如下步骤作图：①在CA和CB 上分别截取CE,CF,使CB=CF,分别以点E和点F为圆心，以大于2BF的长为半径作弧，两弧在 ∠ACB内相交于点G,作射线CG交AB于点H;②分别以点A和点C为圆心，以大于24C的长为半径作 弧，两弧相交于点M和N,作直线MN交CG于点D.根据以上作图，下列说法不一定正确的是() E B A.DM∥BC B.AD⊥CG C.AC=CH D.∠CAD=∠BCH 7.我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，点 B、C、D、E在同一直线上，∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,但△ABC与△ABD不全等，因为 ∠BAC≠∠BAD,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.若AB=AE,AC=AD,则图中与 △AEC是“伪全等三角形”的有() 219 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，己知： ∠MON=30° 点4、4、4，在射线N上，点.、、“，在射线 ,点、 上， △A4、△44、△48人、“均为等边三角形.若O4=,则△4B4 ,则 的边长为() B2 O A A2 -N A3 A A.80 B.64 C.48 D.32 9.(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，△ABC中，D是BC中点，点E在BA的延长线上，过点D作 BC的垂线与∠CAE的平分线交于点F,与AC交于点G,FH⊥AC,垂足是H.下列说法正确的是 () A.AF=AG B.FH是AG的垂直平分线 C.当∠BAC=90°时，AG=FG D.AB+2AH=AC 10.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是BC的中点，点E、F分别在边ABAC上，且 ∠EDF=90°.以下四个结论：①△BED≌△AFD;②EF=AD;③AC=BE+FC;④∠AGF=∠AED. 上述结论正确的是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 319 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(2m+l,m-3) 11.己知点 关于x轴的对称点在第二象限，则m的取值范围为 12.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD=4,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC 上的动点，则PC+P№的最小值是 13.锐角三角形ABC,BC边的中垂线和∠ABC的角平分线相交于点P,若∠A=68°，∠ABP=24°，则 ∠ACP的度数为， 14.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D、过点D作DE⊥AC于点E, 若AC=5,CB=2,则AE=」 D 15.(25-26七年级下江苏连云港期末)如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上， MN=9,△MON是面积为36的锐角三角形，P是线段MN上的动点，点P关于OA对称的点为C,点P关 于OB对称点为D,则aCOD的面积最小值为 B 16.(25-26七年级下河南期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B4C=130°，点D在线段BC上， △AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G,连接FG,当△DFG为以DG为腰的等 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 腰三角形时，∠FDG的度数为 D 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下·贵州贵阳期末)如图，在△ABC中，CD1AB,垂足为D,点E在边AB上，且 BD=DE,EF垂直平分AC,交AC于点F,连接CE. B (1)求证：AE=BC: (2)若△ABC的周长为21，AC=8,求△BCE的周长. 18.(25-26七年级下山东东营期末)已知：如图，在等腰 DBF中，DELBF, 点是线段D延长 线上一点，点c在线段Er上.连接AC交DP于点M,A=BDF. 2 D M B (I)求证：AC⊥BF: (2)若∠B=50°，求∠AMD的度数. 19.(25-26七年级下陕西宝鸡期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，连 结AD,DE,已知∠BAD=∠CDE,AD=DE. 519 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)△ABD与△DCE全等吗？请说明理由； (2)若BD=3,CD=5,试求AE的长， 20.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）· O (I)作出△ABC关于y轴对称的△4BC: C (2)直接写出点的坐标： (3)若 P(a,a-1 是△MBC内部一点，点P关于y轴对称点为P,且PP=4,求点P'的坐标. 21.(25-26七年级下·河北保定期末)如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直 线MN上. A M E B (1)图中点C的对应点是 ∠B的对应角是 (2)若DE=5,BF=2,则CF的长为 (3)若∠BAC=108°，∠BAE=40°，求∠EAF的度数. 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(25-26八年级下·宁夏银川期末)【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节 或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的圭尺，最后是观察正午日影在圭 尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间.如图，“表”AB与“圭”BC垂直，冬至时节“表” AB的日影最长(BC的长)，某一节气，光线AM平分∠BAC,D为AC上一点，连接MD,BD 68 士)基最古老的日 时仪器。用太阳投影的长 M 短变化，来测定节气。 (I)若MD⊥AC,下面是小明证明△ABM≌△ADM的过程，依据I是」 依据2是 证明：：AM平分∠BAC,MD⊥AC,MB⊥AB,∴DM=BM(依据1) AM=AM 在Rt△ABM和Rt△ADM中， BM=DM,Rt△ABM≌Rt△ADM(依据2) (2)若△ABD为等边三角形 ① M AC 说明点在线段心的垂直平分线上： 已知日影BM的长为2米，求日影8C的长 23. (25-26八年级上广东江门期末)综合与实践 【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣 的数学问题一一将军饮马. 营地B 山峰A 河流 题1图 【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点B宿营，将军到 河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题。 【问题探究】(1)如题2图，直线的两侧分别有AB两点，请你在直线I上确定一个点C,使AC+BC 最短. 719 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】(2)上述“将军饮马”问题可以转化成(1)中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题 转化为两点分别位于直线两侧的问题.如题3图，请你用尺规作图在直线上求出C点的位置.（不写作 法，保留作图痕迹) A。 A。 B 题2图 题3图 【评价反思】 (3)如题4图，草地边缘OM与小河河岸ON在点0处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草 地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地.已知OA=6km,请在备用图题5图中设计一条路线， 使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程. M 草地 A ●A 河流 N 题4图 题5图 24.(25-26七年级下·广东茂名·期末)【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为公共顶点，连接 BD,CE.可探究BD和CE的数量关系， D 图① 图② 图③ (I)求证：△ABD≌AACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC的数量关系并证明： 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造等边△BCD,连接AM、 AD、MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6，求AM的值. 25.(25-26七年级下·辽宁沈阳期末)△ABC为等边三角形，点D为AB边上一点；点E为AC边上一点， 连接CD,DE,∠CDE=60° D B B G G H 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D是AB中点时，求∠CED的度数： (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB延长线于点F,将△CEF沿CF折叠得到△CGF,延长FG 到点H,使得GH=DE,连接CH,线段CD与CH相等吗？说明理由： (3)如图3，点F为射线CB上一点，连接EF,将△CEF沿CF折叠得到△CGF,延长FG到点H,连接 CH,使得∠DCH=12,若FHCD,且EF=3DE,求o的值. 919