2.4.1 圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

讲课人： 日期： 2.4.1 圆的标准方程 学习目标 学习目标 核心素养 1.了解确定圆的几何要素，会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征. 直观想象 2.能根据所给条件求圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 逻辑推理 新课引入 探索新知 问题 ：圆的定义是什么？如图平面直角坐标系中，如何才能确定一个圆？ 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合； 定 点 ：圆心 A（确定圆的位置）； 定 长 ：半径 r （确定圆的大小）； O x y A r 平面直角坐标系中：如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 小结：确定圆的几何要素是：圆心和半径. 探索新知 问题 ：如图，已知圆心 A 的坐标为 (a，b)，半径为 r，设圆上任意一点 M (x，y)，如何求该圆的方程？ x y O A(a,b) M(x,y) (1) 5 探索新知 圆心C(a,b),半径r(r>0) 1.两个几何元素 确定一个圆的方程. 特点： 特别： 当圆心在原点(0,0)上时,圆的方程为： 2.括号内x,y的系数都为______ 1 圆心，半径 3.括号外连接符号为___ + 圆的标准方程 小试牛刀 C D 典例分析 例 1：求圆心为 A (2，−3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1 (5，−7)， M2 (−2，−1) 是否在这个圆上. （根据点的坐标与圆的方程的关系，只要点的坐标满足圆的方程，点就在圆上） 解：将圆心坐标和半径代入圆的标准方程得：( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25， 将点M1 (5，−7)，M2 (−2，−1) 分别代入方程 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 的左边， 得：(5 − 2) 2 + (−7 + 3) 2 = 25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程； (−2 − 2) 2 + (−1 + 3) 2 = 20，左右两边不相等，点M1的坐标不满足圆的方程； 综上，圆的标准方程为 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25；点M1在圆上，点M2不在圆上. 探索新知 追问：点不在这个圆上，那是在圆内还是圆外？如何判断？ 圆内 追问：点（-1，2）在不在这个圆上，那是在圆内还是圆外？ 将点M3 (-1，2)，代入方程 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 的左边， 得：(-1 − 2) 2 + (2 + 3) 2 = 34，左右两边相等，点M3的坐标不满足圆的方程； 圆外 探索新知 思考：结合上述实例，说说该如何判断点M (x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2 = r2 的位置关系？ 10 几何角度 代数角度 ⇔ 探索新知 C 典例分析 例 2：△ABC的三个顶点分别是 A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程. 解：待定系数法：设所求的方程是 (x – a)2＋(y – b)2 = r2 ① 因为 A、B、C 三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①；   上述三式两两相减，可消去 a2、b2、r2，得到关于 a、b 的二元一次方程组， 解此方程组得 a = 2，b = – 3，代入 (5 – a)2 + (1 – b)2 = r2，解得 r2 = 25； 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25. 典例分析 例 3：已知圆心为 C 的圆经过 A (1，1)，B (2，-2) 两点，且圆心 C 在直线 l：x – y + 1 = 0 上，请用两种不同的方法求此圆的标准方程. 待定系数法:设圆心C的坐标为 (a，b)，由已知得：a–b+1=0①； 又A，B是圆上两点，所以 |CA| = |CB|，根据两点间距离公式，有 综上，所求圆的标准方程为：(x+3) 2 + (y+2) 2 = 25. 由①② 得：a=-3，b=-2，所以圆心C的坐标为 (-3，-2)； 即a–3b–3= 0 ②； 圆的半径 r = |AC| = 典例分析 由垂径定理可知，圆心 C 在线段AB垂直平分线上， 综上，所求圆的标准方程为：( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25.   几何法：如图，设线段AB的中点为D，由A(1，1)，B(2，-2)两点的坐标得：   线段AB的垂直平分线l′的方程为：x – 3y – 3 = 0，   课堂小结 1. 圆的标准方程 2. 点与圆的位置关系 圆内、圆上、圆外 3. 求圆的标准方程的方法： 待定系数法、几何法. 课堂检测 A 课堂检测 B 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第85页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： Lavf58.46.101 2．以(2，1)为圆心，2为半径的圆的方程为(　　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝4 1．圆(x+2)2＋(y-3)2＝2的圆心和半径分别是(　　 ) A．(－2，3)，2 B．(2，－3)，2 C．(－2，3)， eq \r(2) D．(2，－3)， eq \r(2) 1.若一圆的圆心坐标为，直径AB的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：易知直径AB两端点的坐标分别为，，所以圆的半径为.因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程是.故选A. 2.已知 ， ，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：线段AB的中垂线为 ，令 得 ， 所以圆M的标准方程为 . 3.过点与点且面积最小的圆的标准方程为__________. 解析：由题意知，过点与点且半径最小的圆是以AB为直径的圆，则线段AB的中点为圆心，半径，故圆的标准方程为. $