2.4.1 圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过回顾直线方程的几何要素，引出确定圆的圆心和半径，建立解析几何知识脉络，为圆的方程推导搭建学习支架。 其亮点是以“坐标法三步曲”为主线，结合子问题驱动探究，通过例3对比待定系数法与几何法，培养数学思维与推理意识。课堂小结结构化反思，助力学生构建知识体系，既发展学生抽象能力与应用意识，也为教师提供清晰教学路径。

2.4.1 圆的标准方程 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1. 说出圆的几何定义和确定圆的两个基本要素（圆心和半径），理解圆本质上是一个“距离问题”。 2.经历圆的标准方程的完整推导过程，能独立完成从几何条件∣PC∣=r 到代数方程 (x−a)2+(y−b)2=r2 的转化，并能说明平方前后等价性及 r>0 的原因。 3.能准确说出参数 a,b,r 的几何意义（圆心坐标和半径），能根据圆心和半径正确写出圆的标准方程，能由方程迅速识别圆心和半径。 4.能根据已知条件（圆心半径、圆经过的点、直径端点等）求圆的标准方程；能利用代数运算判断点与圆的位置关系。 5.完整经历 “几何图形 — 几何约束 — 坐标化代数等式 — 代数运算 — 还原几何意义” 的探究过程，理解解析几何坐标法三步曲，感悟研究直线、研究圆使用的是同一套坐标法思想，建构解析几何单元结构化知识体系。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 内容解析 单元大观念： 坐标法是平面几何量化研究的通用核心方法，数形双向互化是解析几何的思维内核。一切平面直线、圆的几何问题，均可通过坐标系转化为代数方程与运算问题，同时代数结论必须回归几何直观验证意义，实现“形为数服务、数为形赋能”的思维闭环。 平面图形可以“翻译”为方程语言，几何关系可以“运算”为代数关系 单元大问题： 如何用代数方程统一、完整地刻画平面中的直线，并以此为基础研究直线的位置关系与度量问题？ 本课大问题： 如何借助坐标系，把 “圆” 这个几何图形翻译成为代数方程？如何从方程读出圆心与半径？怎样通过方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系？ 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 3 内容解析 数学本质： 坐标化思想：将平面几何的基本要素（点、直线、圆）用坐标语言进行表达，本质上是建立几何图形与代数对象之间的一一对应关系，实现“以数驭形”。平面上一点由其坐标 (x,y) 唯一确定；直线由二元一次方程 Ax+By+C=0 刻画；圆由二元二次方程(x−a)2+(y−b)2=r2 刻画。坐标系的建立是这一对应关系的基石。 几何要素决定方程思想：几何对象由确定它的几何要素唯一决定；圆由 “定点（圆心）、定长（半径）” 两个核心几何要素确定，把 “动点到定点距离等于定长” 的几何约束翻译成代数等式，建立圆的方程，实现几何图形与代数方程双向对应。 通性通法（坐标法三步曲）：①识别几何要素与几何约束；②坐标系下转化为坐标、代数等式；③代数运算求解，再把代数结果翻译还原为几何结论；这套程序性方法既适用于直线，也适用于圆，是本单元研究平面解析几何问题普适的研究范式。 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 4 【环节一】锚定大问题，构建整体学习视野 核心问题： 如何借助坐标系，把 “圆” 这个几何图形翻译成为代数方程？如何从方程读出圆心与半径？怎样通过方程判断点与圆、直线与圆的位置关系？ 子问题 子问题 1：从几何上看，哪些要素可以唯一确定一个圆？圆上所有动点满足什么样共同的几何约束？ 子问题 2：如何把 “平面内动点到定点距离等于定长” 这一条纯几何约束，翻译成平面直角坐标系下 的代数等式？ 子问题 3：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中每一个参数分别对应怎样的几何意义？ 圆心在原点时方程发生怎样变化？ 子问题 4：不画图，仅依靠坐标与方程运算，怎样判断任意一个点在圆上、圆内还是圆外？ 代数判断背后对应的几何含义是什么？ 子问题 5：对比前面直线方程的学习，建立圆的方程和建立直线方程，二者在研究路径上有什么共同范式？ 体现了解析几何什么核心思想？ 回顾 思考：如果我们要确定一个圆又需要哪些几何要素呢？ 前面我们学习直线方程时，确定一条直线的几何要素是什么？ 两个点 或者 一个点和直线方向（倾斜角） 确定一个圆的几何要素：圆心和半径 【环节二】温故寻距·圆从何来 1、定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 2、确定圆需要几个要素？ 【环节二】温故寻距·圆从何来 问题1：在初中我们学过圆，谁能说出圆的定义？确定一个圆需要哪几个条件？ 追问1：这个定义的核心是什么？ （确定圆的位置） （确定圆的大小） 圆心和半径 在平面直角坐标系中，如果一个圆的 圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 7 核心是“距离”。 这是一个距离条件——圆上的每一点都满足到圆心的距离恰好等于半径。 【环节二】温故寻距·圆从何来 圆本质上是一个“距离问题”。 今天我们要研究“距离”如何刻画圆。第二章、第三章的一条主线——用距离刻画曲线。 追问1：这个定义的核心是什么？ 现在我们在平面直角坐标系中研究圆。 8 如图，已知圆心 A 的坐标为(a， b)，半径为 r，圆上任意一点为M(x,y). O A M (x，y) x (a，b) 根据两点间距离公式，得 两边平方得： r ( x－a ) 2 ＋ ( y－b ) 2 ＝r 2 【环节三】以距定形·建构圆的标准方程 问题2：点 M在圆上的充要条件是什么？这个条件中哪些量是已知的，哪些是未知的？ 点 M在圆上 ⇔ ∣AM∣=r 已知 a,b,r，未知 x,y 现在我们在平面直角坐标系中研究圆 圆心为 A (a，b)，半径为 r 的圆的标准方程： (x－a) 2 ＋ (y－b) 2 ＝r 2 结构特征： ①是关于x，y的 元 次方程； ②注意半径 r 的取值：_______； 二 二 r＞0 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为 . x2＋y2＝r2 【环节三】以距定形·建构圆的标准方程 问题3：从圆的标准方程中，你能读出圆的哪些几何信息？ 圆心 (a，b) 半径为 r （r>0） （确定圆的位置） （确定圆的大小） 【环节三】以距定形·建构圆的标准方程 例1 已知一圆的圆心为 C (-3，4)，半径是，写出圆的标准方程. 解：已知圆的标准方程为 (x－a) 2＋(y－b) 2＝r 2， 代入圆心和半径得： (x＋3) 2＋(y－4) 2＝5， 故圆心为 C (-3，4)，半径是 的圆的标准方程为： (x＋3) 2＋(y－4) 2 ＝5. 【环节三】以距定形·建构圆的标准方程 练1.根据圆的标准方程，求出圆心和半径. (1)圆 的圆心是______，半径是___ (2)圆 的圆心是______，半径是____ (3)圆 的圆心是_____，半径是____ (3, 4) (-3, 1) 【环节三】以距定形·建构圆的标准方程 解：将圆心A(2,-3)，半径为5代入圆的标准方程，可得所求圆的方程为 例2. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)， M2(-2,-1) 是否在这个圆上． 【环节四】典例探究，方法提炼 追问1：判断点与圆位置关系的基本方法是什么？依据是什么？ 基本方法：计算点到圆心的距离𝑑，与半径 𝑟比较。 将几何位置关系转化为“距离”的数量比较 依据是圆的定义， 解：将点的坐标代入方程左侧=，此时左右相等，点M的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上． 把点的坐标代人方程左侧，此时左右不相等，点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上,且左<右，即点在圆内. 例2. 求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)， M2(-2,-1) 是否在这个圆上． 【环节四】典例探究，方法提炼 点P(x0, y0)在圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2内的条件是什么? 在圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外的条件是什么? 方法：判断d与r的关系，d为点P与圆心的距离。 教材P83 |PC|<r |PC|=r |PC|>r 点在圆上 点在圆外 点在圆内 位置关系 图形 几何条件 代数形式 C P C C P 【环节四】典例探究，方法提炼 例3 求经过点 P (1，1) 和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上 的圆的标准方程. 解：方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 即圆的标准方程是 (x－4)2＋(y＋3)2＝25. 【环节四】典例探究，方法提炼 例3 求经过点 P (1，1) 和坐标原点，并且圆心在直线 2x＋3y＋1＝0 上的 圆的标准方程. ∵弦的垂直平分线过圆心， 即圆心坐标为(4，－3)， 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 解：方法二(几何法)： 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. 【环节四】典例探究，方法提炼 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程 中三个参数，从而确定圆的标准方程．一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，的方程组； ③解——解方程组，求出，； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． (2)几何法： 圆的标准方程的两种求法： 【环节四】典例探究，方法提炼 4.已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程. x O(0,0) y A(4,0) • • B(0,3) • • 解：(待定系数法) 练习强化 【环节四】典例探究，方法提炼 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 21 主要方法：1、几何法、 2、待定系数法 【环节五】：课堂小结·结构化反思 问题4：请回顾本节课，我们是如何用“距离”的语言来“翻译”圆的？ 研究一个图形方程的一般步骤是什么？ 图形几何特征、 约束条件 代数方程 图形几何性质 坐标翻译 解释 问题5：圆的标准方程是什么？怎样求圆的标准方程？ 01 02 03 基础：教科书第84页练习第1-4题. 提升：教科书第88页习题4.2第1、2、3题. 拓展：我们已经知道，判断点与圆的位置关系的方法是：比较点到圆心的距离 d 与半径r 的大小。请类比这一方法，预测下一章“直线与圆的位置关系”中，如何判断一条直线与一个圆是否相交、相切或相离？请写出你的猜想，并说明理由. 情境引入： 课后作业 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 则有解得 半径为r＝＝5. ∴由得 $