2.4.2 圆的一般方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 32100 1.理解圆的一般方程及其特点． 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化． 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题． 学习目标 32100 圆的标准方程： (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r>0) (a，b)为圆心， r为半径 x2 +y2 =r2 圆心在原点 二元二次方程 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 复习导入 32100 3 问题1：把下列圆的标准方程展开，并观察展开后的方程有什么特点？ （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （1） （2） （3） （4） （5） 圆的一般方程 问题2：一般地，把展开，会得到怎样的式子？ 新知讲解 32100 问题2：一般地，把展开，会得到怎样的式子？ 二次项 一次项 常数项 结论：任何一个圆的标准方程可以写成下面二元二次方程的形式： 32100 5 思考：方程一定表示圆吗？ 试一试：判断下列方程分别表示什么图形？ （1）; （2）； （3）. 圆 点 不存在 问题3：方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？ 32100 6 将方程左边配方, 并把常数项移到右边, 得 方程无实数解，所以不表示任何图形. 表示以( )为圆心， 以 为半径的圆. D2+E2-4F >0， =0， <0， 方程只有一组解 ，表示一个点( ). 32100 7 当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 圆的一般方程的结构特征： ①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1； ②没有xy这样的二次项； ③圆心为( , )，半径为 . 1.圆的一般方程： 归纳 32100 2.圆的一般式方程与圆的标准式方程的不同之处： 圆的标准方程： 圆的一般方程： 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径(重“形”). 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程(重“数”)． 32100 1.判断正误. (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( ) (3)方程表示圆.( ) 【答案】 2.圆的圆心坐标是( ) A. B. C. D. 巩固练习 32100 10 问题4：点在圆的一般方程内的条件是什么？在圆外的条件是什么？ A A(a,b) A A(a,b) A A(a,b) 点在圆上 点在圆内 点在圆外 32100 11 3.判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . 【答案】（1）点在圆内；（2）点在圆外；（3）点在圆上 巩固练习 32100 12 例1 求过三点，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 思考：这里已知三点求圆的方程，你能想到什么方法？如果是设圆的标准方程，你会求解吗？(小组合作完成，并比较这些方法的的优缺点） 解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为 则 ∴过O, M1, M2的圆方程为 例题讲解 32100 13 解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为 则 ∴过O, M1, M2的圆方程为 32100 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程. 圆的标准方程： 圆的一般方程： 归纳 32100 4.若方程表示圆，求： (1)实数的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 解：(1)据题意知， 即，解得，故的取值范围为. (2)将方程写成标准方程为 ， 故圆心坐标为，半径. 巩固练习 32100 16 例2：已知圆的一条直径的端点分别是，，求圆C的方程. 分析：A与B的中点即为圆的圆心，即为圆的半径 解：由题意可知圆C的圆心C为， 半径， 因此，圆的标准方程为. 已知圆的直径的两端端点，则端点的中心即为圆的圆心，两端点距离的一半即为圆的半径. 补充 32100 例3：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 解：设点的坐标是，点的坐标是. 由于点的坐标是，且是线段的中点， 所以 于是有，. ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标 满足圆的方程，即. ② 把①代入②， 得， 整理，得. 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆. 知识补充：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式. (相关点代入法) 32100 18 相关点法： 用从动点坐标表示主动点坐标，代入给定的曲线方程. 动图演示如下： 32100 19 5.求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程. 解：设所求圆的一般方程为，则圆心为. ∵圆心在直线上，∴. 又∵点和在圆上， ∴. .③ 解③组成的方程组，得. ∴所求圆的一般方程为. 巩固练习 32100 20 6.已知点A(-1,1),B(3,3)是圆C的一条直径的两个端点,又点M在圆C上运动,点N(4,-2),求线段MN的中点P的轨迹方程. 解:因为A,B是圆C直径的两个端点, 32100 当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 标准方程 一般方程 方程 代数特征 系数 圆心 半径 平方和 特殊的二元二次方程 （a,b） r 课堂小结 32100 所以圆心C(1,2),半径r 所以圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 设P(x,y),M(x0,y0), 因为M,N的中点是P,所 因为M在圆C上,所以(2x-5)2+(2y)2=5, 故线段MN的中点P的轨迹方程 $