2.2 不等式的求解 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学沪教版必修第一册第2章“不等式的求解”同步练，以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖四类不等式求解，实现从概念理解到实际应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一不等式求解|选择/填空题直接应用“大于取两边”等口诀，强化概念记忆| |提升层|多类型不等式综合|解答题含参二次不等式分类讨论，发展逻辑推理能力| |拓展层|实际问题应用|变式训练构建利润模型，体现数学与现实联系，培养模型意识|

沪教版·必修第一册 2.2 不等式的求解 2.2 不等式的求解 课时作业 沪教版·必修第一册 第2章 等式与不等式 班级__________ 姓名__________ 得分________ 一、知识梳理 1. 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 （1）形如 （、 为常数）的不等式，解集需分类讨论： 条件 的解集 ， ， 关键：不等式两边同除以 时， 不变号， 要变号； 时不能除，需单独讨论。 （2）一元一次不等式组：分别解出每个不等式的解集，再求这些解集的交集。在数轴上表示后"取公共部分"最为直观。口诀： 　　同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（空集）。 图 2-1 数轴上表示解集 2. 一元二次不等式的求解 形如 （或 ，，，）的不等式叫做一元二次不等式。 求解的核心是"三个二次"的联系：一元二次方程的根 二次函数的图像 一元二次不等式的解集。 图 2-2 时二次函数 的三种图像 设 ，， 是相应方程的两根，则： 判别式 的解集 的解集 记忆口诀（ 时）：大于取两边，小于取中间； 时看图像是否在 轴上方。 注意：若二次项系数 ，应先在两边同乘 （不等号变向）化为 的情形再求解。 解题步骤：①化为标准形式且 ；②计算 并求方程的根；③对照图像或上表写出解集。 3. 分式不等式的求解 基本思想是化分式为整式（同解转化），切不可直接去分母： 　　；　　； 　　 且 。 若不等式右边不是 ，应先移项通分化为右边为 的形式，再作上述转化。 易错提醒： 的解集是 ，其中 必须去掉（分母不能为零），而 可以取到。 选学·数轴标根法：把分子、分母的零点按从小到大标在数轴上，从最右端上方开始画曲线依次穿过各点（奇次穿过、偶次不穿），曲线在上方的区间即为大于零的解集。 图 2-3 数轴标根法示意（曲线在数轴上方的区间使式子取正值） 4. 含绝对值不等式的求解 （1）绝对值的定义：（当 ）；（当 ）。几何意义： 表示数轴上表示 的点到原点的距离； 表示 与 两点间的距离。 （2）基本类型（）： 不等式 等价形式 解集特征 中间一段 或 两边两段 先解不等式组 或 分别求解再取并集 （3）当 时要特别讨论： 无解（解集为 ）； 当 时解集为 ，当 时解集为 。 （4）几何法： 表示数轴上到 的距离小于 的点，故 。 图 2-4 的解集 （5）分类讨论法：形如 的不等式，可按零点 、 把数轴分成三段，在每段内去掉绝对值符号后求解，最后取各段结果的并集。 二、课时作业 （一）选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．不等式组 与 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．不等式 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 8．已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9．不等式 的解集是　　　　　　． 10．不等式 的解集是　　　　　　． 11．不等式 的解集是　　　　　　． 12．不等式 的解集是　　　　　　． 13．若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是　　　　　　． 14．不等式 的解集是　　　　　　． （三）解答题（共 50 分） 15．（8 分）解下列不等式（组）： （1）；　（2）不等式组： 且 。 16．（8 分）解下列一元二次不等式： （1）；　（2）；　（3）。 17．（10 分）解下列分式不等式： （1）；　（2）。 18．（12 分）解下列含绝对值的不等式： （1）；　（2）。 19．（12 分）已知关于 的不等式 。 （1）当 时，求该不等式的解集； （2）就实数 的取值情况，讨论该不等式的解集。 三、参考答案与解析 （一）选择题 1．A　移项得 ，即 ，两边同除以 （正数，不变号）得 。选 A。 2．C　由 得 ；由 得 。取交集（数轴上的公共部分）得 。选 C。 3．B　，方程 的根为 、。因二次项系数 ，"小于取中间"，故解集为 。选 B。 4．B　两边同乘 （不等号变向）得 。而 ，且二次项系数为正，故 恒成立，原不等式无解。选 B。 5．A　，由"小于取中间"得 。选 A。 6．A　，各部分同加 得 ，再同除以 得 。选 A。 7．C　解集为 意味着抛物线 恒在 轴上方。因二次项系数 ，只需 ，即 。选 C。 8．B　由解集形式知 ，且 、 是方程 的两根。由韦达定理： ，得 ，故 ； ，即 ，得 。 所以 。选 B。 （二）填空题 9． 解析：两边同乘 得 ，移项得 ，两边同乘 （变号）得 。 10． 解析：，两根为 与 ，二次项系数为正，"小于取中间"，故解集为 。 11． 解析：移项通分：，即 ，即 。 等价于 且 ，解得 或 ，再去掉 ，故解集为 。 12． 解析： 或 ，解得 或 。 13． 解析：解集为空集，说明 对一切实数 恒成立。因二次项系数为正，只需 ，即 。 14． 解析：几何意义为：数轴上的点 到 与到 的距离之和不小于 。而 与 两点间距离为 ，故当 在区间 内时距离和恒为 ；当 时距离和为 ，令 得 ；当 时距离和为 ，令 得 。故解集为 。 （三）解答题 15．解：（1）两边同乘 （正数，不变号）得 ， 即 ，即 。解集为 。 （2）由 得 ；由 得 。取交集得 ，解集为 。 16．解：（1），，两根为 、。因二次项系数为正且不等号为""，"大于取两边"，解集为 。 （2）两边同乘 得 ，即 ，两根为 、，"小于取中间"，解集为 。 （3）。因为完全平方数非负，故只能等于 ，即 。解集为 。 17．解：（1） 且 。 由 得 ，再去掉 ，故解集为 。 （2）移项通分：，即 ，即 。 两边同乘 得 ，等价于 ，两根为 、，"小于取中间"， 所以解集为 。 18．解：（1），各部分同加 得 ， 同除以 得 。解集为 。 （2）。分两种情况： ①若 ，即 ，则左边非负、右边为负，不等式恒成立，这部分解为 ； ②若 ，即 ，则原不等式等价于 或 ， 即 （与 矛盾，舍去）或 ，即 ，结合 得 。 取①②的并集，得解集为 。 19．解：注意到 。 （1）当 时，不等式化为 ，"小于取中间"，解集为 。 （2）原不等式即 ，其对应方程的两根为 与 。因二次项系数为正，需比较两根的大小： ①当 时，解集为 ； ②当 时，不等式化为 ，无解，解集为 ； ③当 时，解集为 。 点评：含参一元二次不等式的讨论，要抓住三条主线——二次项系数的符号、判别式的符号、两根的大小。本题二次项系数恒为正且可因式分解，故只需比较两根大小。 四、变式训练（选做） 20．若不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 21．某工厂生产一种产品，每件成本 元。市场调查表明：当售价定为 元（）时，日销售量为 件。若要使日利润不低于 元，求售价 的取值范围。 变式训练参考答案 20．解：由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根。 由韦达定理：，得 ；，得 。 代入所求不等式： 即 ， 提取 （）得 ，两边同除以 （负数，变号）得 ， 即 ，即 ，两根为 与 ， 所以解集为 。 21．解：设售价为 元，则每件利润为 元，日销售量为 件， 故日利润 （元）。 依题意得 。 展开整理：，即 。 ， 方程的两根为 ，即 ，。 因二次项系数为正，"小于取中间"，得 。 又须满足 ，故售价 的取值范围是 ，即售价应定在 元到 元之间（含端点）。 点评：实际应用题的最后一步一定要回到实际背景检验，把不符合实际意义的解（如价格为负、销量为负）舍去。 本节易错点小结 （1）不等式两边同乘（除以）负数时忘记变号； （2）解分式不等式时直接去分母，忽略了分母的正负与分母不为零； （3）二次项系数为负时没有先化为正； （4） 型不等式漏掉 的情形； （5）含参不等式讨论不全面，漏掉两根相等或系数为零的情形。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $