第十三章 三角形章末进阶试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 章末进阶试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．3，4，8 D．3，4，5 2．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 6．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 7．如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 8．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（     ） A．2 B．3 C．9 D．12 10．如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 12．如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 13．若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 14．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 15．如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 16．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题 17．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 18．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 19．如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 20．如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 21．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 22．如图，平分的外角交的延长线于点D． (1)若，，求的度数是 ； (2)若，求的度数(用含的式子表示)． 23．规定：当三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”，其中称为“倍角”． (1)判断等腰直角三角形是否为“2倍角三角形”． (2)已知为“2倍角三角形”，且为锐角三角形，为“倍角”，求的取值范围． 24．已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 25．结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_________． (2)已知：如图2，与分别是的两个外角，且．则_________． (3)如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数．（用含，的式子表示） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D D D C A B A 1．D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项能否构成三角形即可． 【详解】解：A选项：最长边为5，，不满足三边关系，不能构成三角形，A选项错误； B选项：最长边为6，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项：最长边为8，，不满足三边关系，不能构成三角形； D选项：最长边为5，，满足三边关系，能构成三角形． 2．C 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．D 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4．D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 5．D 【分析】根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． 【详解】A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 6．D 【分析】计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 【详解】解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 7．C 【分析】先求出，再求出，然后求出，由此即可得． 【详解】解：∵的面积是1，且， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵在中，是中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 8．A 【分析】根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．B 【分析】先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合新定义分情况讨论，筛选出符合条件的结果，对照选项得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 根据“倍长三角形”定义分情况讨论： ①若，则，不满足，舍去； ②若，则，满足，符合条件； ③若，则，满足，符合条件； ④若，则，不满足，舍去； 综上所述，符合条件的第三边长为或，对照选项，只有符合． 10．A 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义，结合三角形内角和定理和垂线定义可以判断①②；根据，，得出，再根据三角形内角和定理，可以判断③；先根据，求出，再根据角平分线定义求出，然后根据平行线的性质求出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 11．/ 【详解】解：根据三角形三边关系，可得，即． 12．20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 13． 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 14．36 【分析】先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 15．/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16． 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 17．(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 18．(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 20．(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 【详解】（1）解：，， ， ， 平分的外角， ， ； （2）解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．(1)是“2倍角三角形” (2) 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）设（为另一个内角），则第三个内角为，根据定义，结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的内角为、、， ∴， ∴符合“2倍角三角形”的定义， ∴等腰直角三角形是“2倍角三角形”； （2）解：设（为另一个内角），则第三个内角为， ∵是锐角三角形，三个内角均小于， ∴且且， ∴且且， ∴， ∵， ∴． 24．(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理可求得 ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）先求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （3）解：延长，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $