第13章三角形分层训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13章三角形分层训练-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础巩固 一、单选题 1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，正确画出的边边上的高的是（     ） A． B． C． D． 3．一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 4．如图，，是等腰直角三角形，，顶点G，E分别在，上，交于点H．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 7．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 9．如图，在中，是中点，是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为__________． 10．如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，且，，，则的度数为_________． 11．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 12．下列说法中，正确的有________________________． ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高所在的直线分别交于一点． 13．已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 三、解答题 14．已知，，是的三边，，，且三角形的周长为偶数．求的值． 15．如图，在中，是高，于点，是的角平分线，且，试说明：． 16．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到． (1)画出，并写出，，三点的坐标； (2)连接，，则这两条线段的位置关系是______，数量关系是______； (3)求． 18．取一副三角尺按图拼接，固定三角尺，将三角尺绕点按顺时针方向旋转得到，如图所示设 ． (1)当时，求证：； (2)连接，当时， 的度数是否变化，若变化，求出变化范围；若不变，求出其度数． 难题突破 19．如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． (1)若，则__________； (2)如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第13章三角形分层训练-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C C B B C 1．C 【分析】只需比较每组中两条较短线段的长度和与最长线段的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A. ，不能组成三角形，不符合题意； B. ，不能组成三角形，不符合题意； C. ，能组成三角形，符合题意； D. ，不能组成三角形，不符合题意． 2．D 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的． 3．C 【分析】根据三角形内角和与角度比是可求出最大角，进而得出是哪种三角形． 【详解】解：该三角形最大内角的度数为， 这个三角形是直角三角形． 4．C 【分析】利用等腰直角三角形性质求出 ，结合平角定义求出 ，再利用平行线性质求解． 【详解】解： 是等腰直角三角形，， ， ，点 在同一直线上， ， ， ∴． 5．B 【分析】根据三角形的内角和求，由题目条件得，再利用三角形的高、角平分线进行角度计算即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， 是的高， ， 在中，， 即， ，, ， ， ， ， ． 6．B 【分析】先由题意得到，进而得到，最后由中线等分三角形面积即可得到答案． 【详解】解：∵， 则以边为底，与等高， ， ，则， ， 是的中线， ． 7．C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8．3（答案不唯一，3，4，5都正确） 【分析】根据三角形三边关系求出x的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， 化简得， 可取的整数值为3，4，5（答案不唯一）． 9．10 【分析】由是中点，可知和等底等高，因此，同理可得，，即可求得的面积． 【详解】解：是中点， ， 又是中点， ，， ． 10．20 【分析】已知边和角的条件，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定为等边三角形．根据三角形的内角和定理，求出．再根据等腰三角形的性质，得到，最后求出． 【详解】解：，， ， ， ， ，, ． ， ∴是等腰三角形，且． 在中， ． 11．/ 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积，说明和面积相等，连接，进而求出的面积，根据垂线段最短可得当时，值最小即可求解． 【详解】解：连接， 是中点， ，， 是中点， ，， 设，则， 四边形的面积为7， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当时，值最小， ， ． 12．①④ 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高所在的直线也都交于一点，因此④正确； 综上，正确的说法有①④共2个． 13．或或或 【分析】根据题意得出，，然后分四种情况分析：分别作出相应图象，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∴旋转角为：， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴旋转角为：， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 综上可得：运动的时间为或或或秒． 14． 【分析】根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合“三角形的周长为偶数”，即可获得答案． 【详解】解：∵，，是的三边，，， ∴， 即， ∴,即， ∵三角形的周长为偶数， ∴， ∴． 15．解：是高，， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【分析】先说明，根据平行线的性质，可得，，再根据角平分线的定义，说明，等量代换即可． 【详解】略 16．(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 17．(1)如图，即为所求： ，，． (2)，， (3)8 【分析】（1）根据平移的性质得到对应点的位置，再顺次连接即可画出图形，进而可得三点的坐标； （2）根据平移后对应线段平行（或在同一直线上）且相等即可得出结论； （3）根据网格特点，利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． 18．(1)证明： ，， ， ； (2)不变，为 【分析】（1）求出，得出，即可证出； （2）连接，设，交于点，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，进而在中利用三角形内角和定理等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设，交于点， 在和中，， ， ， 即当时， 的度数不变，为． 19．(1)10 (2)①；②或或 【分析】（1）过P作，根据平行线的性质，结合已知求得，，进而可求解； （2）①根据平行线的性质，平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，结合已知和三角形的内角和定理可求解； ②先求得，再根据平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，利用三角形的内角和定理和平角定义分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵的角平分线交最靠近的n等分线于点P，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：根据题意，点G、H、Q、R的位置有六种情况，如图2、图3、图4、图5、图6、图7， ①如图2，∵，，， ∴，， ∵直线， ∴，则， ∵， ∴， 同理，由图3、图4、图5、图6、图7，可知， 综上，当时，与n的数量关系为； ②由（1）和①可知，， ∴， 由图2知，，，， ∴， ∴； 由图3知，，，， ∴， ∴； 由图4知，，， ∴， ∴； 由图5知，， ∵， ∴， ∴； 由图6知， ， ∴； 由图7知， ， ∴ 综上，与的数量关系为或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $