2.4 有理数的加法与减法 （知识梳理+达标检测）《典例全解·题型通关》 -2026-2027学年苏科版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、同0相加）、运算律（交换律、结合律），衔接减法法则（转化为加法）及混合运算步骤（转化、省略符号、加法运算），构建递进式学习支架。 资料亮点在于知识梳理步骤化（如加法“看、定、求”流程）与达标检测情境化，含数轴应用、微信收支等实际问题，培养抽象能力和应用意识。计算题与规律探究题提升运算能力，助力课中教学效率和课后查漏补缺。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的加法与减法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数加法法则 1、有理数加法法则类型 同号相加：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号相加：两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 同0相加：一个数同0相加，仍得这个数。 2、有理数加法运算的步骤。 看：看两个加数是同号，还是异号，有没有0； 定：确定和的符号； 求：依据有理数加法法则求和。 知识点二有理数加法运算律 1、加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个有理数相加，先把前两个有理数相加，或者先把后两个有理数相加，和不变。 知识点三有理数减法法则 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 字母表示：a-b=a+（-b），其中a，b表示任意有理数。 知识点四有理数的加减混合运算 1、进行有理数的加减混合运算时，可以利用有理数减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算为简化书写形式，在和式里可以把加数的括号和它们前面的加号省略不写。 2、省略加号和括号的和式通常有两种读法，如-9-12-3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、负3的和”，按运算的意义读，读作“负9减12减3”，第1个数前面的符号是性质符号。 3、有理数加减混合运算的步骤。 （1）运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算； （2）省略括号和括号前的加号； （3）进行有理数的加法运算。 一、选择题 1．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可以得到，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，， ∴． 2．已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的和的符号的确定． 由条件且，可知，，而的符号不确定．通过分析绝对值比较，结合条件推导出一定成立． 【详解】解：∵且， ∴，， 故 ． 对于与： 若，则，由得， ∵， ∴，即 ； 若，则， ∵且， ∴，即； 综上，总有 ，故C正确，D错误； 对于A 和B，由于的符号不确定，与的大小关系不确定（例如当时，当时），故 A 和 B 不一定成立． 故选：C． 3．如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元，所以李叔叔月日至日扫码付款给超市元之前的钱数即为月日扫二维码付款给便利店后余额，即为元． 【详解】解：李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元， 月日扫二维码付款给便利店后余额为元． 故选：C． 4．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 5．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 6．生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形，在某个范围内，只要不影响使用，都属于合格品．如图、某品牌排球的产品参数标明球质量是，这表示排球的标准质量是，偏差是，下列质量的排球属于合格的是（    ） 型号 尺寸 5号 质量 周长 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查正数、负数的意义，根据规定排球的标准质量为，求出合格排球的质量的取值范围，再从各选项中得出答案． 【详解】解：根据规定排球的标准质量为，合格最大值为，合格最小值为， 各个选项中只有在这个范围内， 故选：C． 二、填空题 7．把写成省略加号的和的形式是_________． 【答案】 【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案. 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键． 8．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 【答案】1024 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据有理数的加减运算规则，将收入视为正数，支出视为负数，计算所有收支后的净变化，再与原始金额相加． 【详解】原始金额为1000元，收入80元和30元，支出45元、23元和18元， 因此剩余零钱为： （元）． 故答案为1024． 9．下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试：______． 【答案】//1.9 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，认清各数的特点是解题关键．根据分数的拆分原理及拆分的方法，把一个分数拆分为两个单位分数的差，在计算过程中可以抵消，据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 11．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 12．学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 【答案】12 38 【分析】本题考查最优策略下的过河时间计算，根据船的载客人数，结合“多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同”这一规则，分别分析两种载客人数下的最短时间． （1）当船的最大载客人数为人时，四人可同时乘船过河，过河时间取单人划船过河所需的最长时间，即的分钟； （2）当船的最大载客人数为人时，需通过多次往返完成过河，最优方案为：和先过河，返回；和再过河，返回；最后和再次过河，计算总时间即可得最短时间分钟． 【详解】解：（1）∵船的最大载客人数为人，四人可同时乘船过河， 又∵多人同时乘船时，过河时间与单人划船的最长时间相同，四人中最长时间为分钟， ∴四人过河所需最短时间为分钟． 故答案为：； （2）解：船的最大载客人数为人，需通过“快者往返送船”的策略优化时间，具体步骤如下： 第一次：（分钟）与（分钟）过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第二次：（分钟）与（分钟）过河，耗时分钟；返回，耗时分钟．累计：分钟； 第三次：（分钟）与（分钟）过河，耗时分钟．累计：分钟． 此时四人全部过河，总耗时最短为分钟． 故答案为：． 三、解答题 13．计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2）9 （3） （4）9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 14．快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． （1）该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ （2）若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 【答案】（1）该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米 （2）他这天上午行驶的总路程为42千米 【分析】本题主要考查了有理数的加法的实际应用． （1）把所有的数据相加即可； （2）把所有数据的绝对值相加求出送货路程，再加上从最后位置返回配送站的路程即可． 【详解】（1）解：（千米）． 所以该快递员最后到达的地方在配送站的南面，距离配送站有1千米． （2）解：（千米）， 所以他这天上午行驶的总路程为42千米． 15．汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： （1）请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? （2）在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 【答案】（1）摄氏度 （2）摄氏度 【分析】（）求出温度的变化的和，再与基准温度相加即可求解； （）求出每个时间的温度，再用最高温度减去最低温度即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 答：在中午点时，文物库房的实际温度是摄氏度； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差摄氏度． 16．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】（1）； （2）会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 17．某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． （1）本周小明实际完成计算题共多少道？ （2）请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 【答案】（1）53道 （2）方式B更有利 【分析】本题考查运用正负数的意义解决实际问题，有理数的混合运算，关键是能根据实际问题，结合正负数正确列出算式并计算； （1）按每天完成10道的标准，五天一共会完成道，再与将表格中数据相加即可得出实际完成的数量； （2）根据题意分别求得两种方式所得积分后比较大小即可． 【详解】（1）解：（道） 答：本周小明实际完成计算题共53道． （2）解：方式A：（分）， 方式B：（分）， ∵， ∴选择方式B对小明更有利． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的加法与减法（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数加法法则 1、有理数加法法则类型 同号相加：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号相加：两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 同0相加：一个数同0相加，仍得这个数。 2、有理数加法运算的步骤。 看：看两个加数是同号，还是异号，有没有0； 定：确定和的符号； 求：依据有理数加法法则求和。 知识点二有理数加法运算律 1、加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：三个有理数相加，先把前两个有理数相加，或者先把后两个有理数相加，和不变。 知识点三有理数减法法则 1、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 字母表示：a-b=a+（-b），其中a，b表示任意有理数。 知识点四有理数的加减混合运算 1、进行有理数的加减混合运算时，可以利用有理数减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算为简化书写形式，在和式里可以把加数的括号和它们前面的加号省略不写。 2、省略加号和括号的和式通常有两种读法，如-9-12-3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、负3的和”，按运算的意义读，读作“负9减12减3”，第1个数前面的符号是性质符号。 3、有理数加减混合运算的步骤。 （1）运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算； （2）省略括号和括号前的加号； （3）进行有理数的加法运算。 一、选择题 1．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 6．生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形，在某个范围内，只要不影响使用，都属于合格品．如图、某品牌排球的产品参数标明球质量是，这表示排球的标准质量是，偏差是，下列质量的排球属于合格的是（    ） 型号 尺寸 5号 质量 周长 A． B． C． D． 二、填空题 7．把写成省略加号的和的形式是_________． 8．小王微信钱包原有零钱1000元，一天内的收支情况如下：收到转账80元，扫二维码付款给超市45元，付款给网约车23元，收到红包30元，付款给书店18元．则当天结束后，小王微信钱包剩余零钱为________元． 9．下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试：______． 10．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 11．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 12．学校组织学生研学，行至一河边，某班四名学生想通过一条河．已知河边仅有一条小船可供使用，四人的单人划船过河时间如下表所示： 学生 所需时间/分钟 当多人同时乘船时，由于重量发生变化，此时过河时间与单人划船过河所需的最长时间相同． （1）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟； （2）若该船的最大载客人数为人，则、、、四人过河所需的最短时间为______分钟． 三、解答题 13．计算 （1） （2） （3） （4） 14．快递员某天早晨从配送站出发，沿南北走向的一条笔直道路送货（规定向北为正，向南为负），他这天上午送货时的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． （1）该快递员最后到达的地方在配送站的哪个方向？距离配送站有多远？ （2）若快递员送完最后一单货物后返回配送站，求他这天上午行驶的总路程． 15．汾阳博物馆的文物库房需要保持恒定的温度和湿度以确保文物安全．某天，智能温控系统记录下了从凌晨点到中午点的温度变化情况．在基准温度的基础上，温度的变化（单位：）如下：，，，，，，，，，，，，． 问题： （1）请计算在中午点时，文物库房的实际温度是多少摄氏度? （2）在这一时间段内，记录中的最高温度与最低温度相差多少摄氏度? 16．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● （1）“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 17．某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． （1）本周小明实际完成计算题共多少道？ （2）请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $