暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程基础（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程基础（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2.预习前置：自主填空梳理 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】方程 2 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 2 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 方程的判断 3 【题型 2】 列方程 3 【题型 3】 利用等式的基本性质变形 4 【题型 4】 方程的解的判断 4 【题型 5】 利用方程的解求参数 5 四.经典题型精析（巩固提升） 5 【题型 6】 等式基本性质的应用 5 【题型 7】 利用方程的解求参数（拔高题型） 6 五.同步自测 7 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （二）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 9 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）理解方程、一元一次方程的定义，会判断一元一次方程 （2）掌握等式的基本性质，利用性质进行等式变形 （3）学会检验方程的解，初步感受方程建模思想 （4）重难点：一元一次方程定义参数题型、等式性质的灵活运用 2.预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： （1） 含有_____的等式叫做方程； （2）等式性质1：等式两边同时________（或________）同一个数（或式子），结果仍相等。 （3）等式性质2：等式两边同时乘________，或除以同一个________的数，结果仍相等。 （4）使方程左右两边相等的________的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做________。 答案：（1）未知数； （2）加上；减去 （3）同一个数；不为0 （4）未知数；解方程 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】方程 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程。 【要点提示】两个必备条件：① 是等式（有“ = ”）；② 含有未知数（x、y等字母）。 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 等式基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等 若，则。 【要点提示】等式两边同步加减，数值、式子均可，两边变化完全一致。 等式基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 若，则；若，则。 【要点提示】等式两边除以数时，该数绝对不能为0，0不能作为除数。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 方程的判断 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【题型 2】 列方程 【例题2】（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与的和的倍是，则可用方程表示为______． 16．（24-25七年级上·河南周口·期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 【变式2】（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【题型 3】 利用等式的基本性质变形 【例题3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【变式3】（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型 4】 方程的解的判断 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为________． 0 1 2 3 1 3 5 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【题型 5】 利用方程的解求参数 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知，当，时，A的值为．求b的值． 【变式1】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 等式基本性质的应用 【例题6】（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． （1）上述过程中，第①步的依据是什么？ （2）请分析小华第②步产生错误的原因； （3）写出正确的解题过程． 【变式1】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）如果，，，那么的值为 _____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． （1）如果，那么． （2）如果，那么． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 【题型 7】 利用方程的解求参数（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 7．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 8．（25-26七年级下·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 10．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 11．（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 12．（25-26七年级下·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 13．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 14．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 15．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ （2） 解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 （1）； （2）． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． （1）设宽为，请列出关于x的方程． （2）说明是该方程的解，而不是它的解． 20．（25-26七年级上·天津河西·期末）列方程表示下列语句中包含的相等关系： （1）比它的补角少； （2）x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； （3）去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； （4）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——一元一次方程基础（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 1. 预习目标 1 2.预习前置：自主填空梳理 2 二.教材知识梳理与解读 2 【知识点一】方程 2 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 2 三.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 方程的判断 3 【题型 2】 列方程 4 【题型 3】 利用等式的基本性质变形 6 【题型 4】 方程的解的判断 8 【题型 5】 利用方程的解求参数 9 四.经典题型精析（巩固提升） 10 【题型 6】 等式基本性质的应用 10 【题型 7】 利用方程的解求参数（拔高题型） 13 五.同步自测 15 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （二）解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 21 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.预习目标与填空 1. 预习目标 （1）理解方程、一元一次方程的定义，会判断一元一次方程 （2）掌握等式的基本性质，利用性质进行等式变形 （3）学会检验方程的解，初步感受方程建模思想 （4）重难点：一元一次方程定义参数题型、等式性质的灵活运用 2.预习前置：自主填空梳理 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： （1） 含有_____的等式叫做方程； （2）等式性质1：等式两边同时________（或________）同一个数（或式子），结果仍相等。 （3）等式性质2：等式两边同时乘________，或除以同一个________的数，结果仍相等。 （4）使方程左右两边相等的________的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做________。 答案：（1）未知数； （2）加上；减去 （3）同一个数；不为0 （4）未知数；解方程 二.教材知识梳理与解读 【知识点一】方程 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程。 【要点提示】两个必备条件：① 是等式（有“ = ”）；② 含有未知数（x、y等字母）。 【知识点二】等式的基本性质（解方程的理论依据） 等式基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等 若，则。 【要点提示】等式两边同步加减，数值、式子均可，两边变化完全一致。 等式基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 若，则；若，则。 【要点提示】等式两边除以数时，该数绝对不能为0，0不能作为除数。 三.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 方程的判断 【例题1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 【变式1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【题型 2】 列方程 【例题2】（2026·江苏苏州·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 解：由题意可列出方程为． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【答案】 解：首先，“与的和”用代数式表示为，再求该和的倍，即给此代数式乘以， 根据题意该结果等于，因此可列方程为． 16．（24-25七年级上·河南周口·期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 【题型 3】 利用等式的基本性质变形 【例题3】（24-25六年级下·上海·阶段检测）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【分析】利用等式的基本性质求解． 解：， 移项，得， 等式两边同时除以，得． 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____． 0 0.5 1 1 2 2.5 3 【答案】 【分析】本题考查方程的解，将方程两边同时除以2后，根据表格中数据，即可得出结果． 解：∵， ∴， 由表格可知，当时，， 故关于的方程的解为； 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·北京顺义·期末）把方程写成用含x的代数式表示y的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等式的性质，变形求解即可； 解：∵原方程为 ，移项得 ，将y的系数化为1，等式两边同乘，得；故A正确，其余都是错误的； 【题型 4】 方程的解的判断 【例题4】（2025七年级上·全国·专题练习）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值，则关于的方程的解为________． 0 1 2 3 1 3 5 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的概念，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．观察表格中与的值，找到两者相等时对应的值，即为方程的解． 解：当时，，，即， 所以方程的解为． 故答案为：． 【变式1】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 【变式2】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 【变式3】（25-26七年级下·海南海口·期中）当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 14 10 6 2 A．0 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】先将所求方程变形，得到对应的值，再结合表格信息找出对应的值即可得到方程的解． 解：， 方程两边同除以得：， 即， 由表格可知，当时，， ∴的解是． 【题型 5】 利用方程的解求参数 【例题5】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知，当，时，A的值为．求b的值． 【答案】 【分析】本题考查已知代数式的值，求字母的值，掌握相关知识是解题关键． 将，代入，可得关于的方程，解出该方程即可． 解：∵，时，A的值为， ∴， 化简得， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）若关于的方程的解是，则的值为（     ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 【分析】将已知方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可得到的值． 解：∵方程的解是， ∴将代入原方程得 ， 解得 ． 【变式2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程即可求出参数的值. 解：∵ 是方程 的解， ∴ 将 ， 代入方程得：， 解得 . 四.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】 等式基本性质的应用 【例题6】（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． （1）上述过程中，第①步的依据是什么？ （2）请分析小华第②步产生错误的原因； （3）写出正确的解题过程． 【答案】（1）等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立；（2）方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数；（3）正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 【分析】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． （1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）略 【变式1】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．左边两架天平处于平衡状态，若要使第三架天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ）个三角形 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据图1得到一个正方形的质量等于一个圆的质量，根据图2得到一个正方形的质量等于两个三角形的质量，进而得到一个圆的质量等于两个三角形的质量，进行求出图3右盘中三角形的个数即可． 解：由图1可知：一个正方形的质量等于一个圆的质量； 由图2可知：一个正方形的质量等于两个三角形的质量， 故一个圆的质量等于两个三角形的质量， 图3左盘中有3个圆，故需要在右盘放置6个三角形，才能使天平保持平衡； 故选C． 【变式2】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段检测）如果，，，那么的值为 _____． 【答案】12 【分析】设根据题意得到各图形之间的等量关系，利用等式代换，用x表示出★与□，再计算的值即可． 解：设 ∵， ∴， ∵，即， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． （1）如果，那么． （2）如果，那么． （3）如果，那么． （4）如果，那么． 【答案】（1）错误；（2）错误；（3）错误；（4）正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 解：（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 【题型 7】 利用方程的解求参数（拔高题型） 【例题7】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）方程与方程的解相同，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程． 求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出k的值． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义将代入方程得，再将所求代数式变形后整体代入计算即可. 解：是关于的一元一次方程的解. 把代入方程得. . 【变式2】（25-26七年级上·山东济宁·期末）某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 【变式3】（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可． 解： 将代入方程，得： ， 整理得：， 因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0， 则有：，， ∴，， ∴． 五.同步自测 （一）选择题（本大题共8个小题,每小题4分,共32分） 1．（25-26七年级下·重庆·期中）下面的式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义，方程需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是等式，据此判断各选项即可． 解：∵方程是含有未知数的等式，必须同时满足上述两个条件， 对选项A，是等式，但不含未知数，因此不是方程； 对选项B，含有未知数x，但不是等式，因此不是方程； 对选项C，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义； 对选项D，含有未知数，但不是等式，因此不是方程． 2．（2026·山西太原·三模）下列变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 解：根据等式性质，等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘（或除以）同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）小红有35元钱，小华有x元钱，小红给了小华3元钱后，两人的钱同样多，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：小华的钱数小红的钱数，将小红有35元钱，小华有元钱代入等量关系式后求解． 解：根据题意，得． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）若是方程的解，则的值是（    ） A．-6 B．6 C．-7 D．7 【答案】D 解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． 6．（25-26六年级下·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 7．（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面表述中，正确的是（     ） A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程． B．含有未知数的式子，叫做方程． C．表示两边相等关系的式子叫做等式． D．是方程的解． 【答案】C 解：A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误； B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如）不是方程，因此B错误； C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确； D． 因此不是该方程的解，D错误． 8．（25-26七年级下·北京·期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得，再根据等式的性质得到即可． 解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， ， 即， ∴，， 即， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在①；②；③；④中，是方程的是________．（填序号即可） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了方程的定义，解决本题的关键是对概念的理解．根据含有未知数的等式是方程求解即可． 解：在①；②；③；④中， 是方程的是②④． 故答案为：②④． 10．（2026·江苏盐城·二模）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式变形即可求出的值． 解：∵，且， ∴， 即． 11．（25-26六年级下·上海普陀·期末）把方程变形为用含有的式子表示，得_____________． 【答案】 解： ∴ 12．（25-26七年级下·四川眉山·期中）代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 13．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 14．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 16．（25-26七年级上·四川成都·期末）天平是用来测量物体质量的一种重要工具，它依据的是杠杆平衡原理．在数学学科中我们定义：若，则称a与b互为“天平数”．若 与互为“天平数”，则代数式_________________ 【答案】 【分析】本题考查了新定义，以及代数式求值，根据“天平数”的定义，建立方程，通过整体代入法求出代数式的值，即可解题． 解：因为与互为“天平数”， 所以． 整理得． 所以． 故答案为：． （2） 解答题（本大题共4小题，每小题9分,共36分） 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【答案】（1）是方程，未知数是x；（2）是方程，未知数是y；（3）不是方程；（4）是方程，未知数是a；（5）是方程，未知数是m；（6）是方程，未知数是x、y 【分析】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 根据方程的定义解答，即含未知数的等式叫做方程． 解：（1）解：是方程，未知数是x； （2）解：4是方程，未知数是y； （3）解：因为不是等式，所以不是方程； （4）解：是方程，未知数是a； （5）解：是方程，未知数是m； （6）解：是方程，未知数是x、y． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍是等式． （1）根据等式的性质解方程即可； （2）根据等式的性质解方程即可． 解：（1）解：， 两边同时减去8，得， 所以，； （2）解：， 两边同时加上4，， 所以， 两边同时乘以，得， 所以，． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． （1）设宽为，请列出关于x的方程． （2）说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 解：（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长（长+宽），周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 20．（25-26七年级上·天津河西·期末）列方程表示下列语句中包含的相等关系： （1）比它的补角少； （2）x的6倍与2的和等于x的3倍与4的差； （3）去年某镇居民人均可支配收入为元，比前年增长了，前年这个镇居民人均可支配收入为元； （4）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，问快马几天可以追上慢马．可设快马天可以追上慢马． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、补角的定义以及追及问题的数量关系，熟练掌握从文字描述中提取相等关系并转化为方程是解题的关键． （1）先明确补角的定义（两角之和为），再根据“比它的补角少”这一条件，建立与它的补角之间的等式． （2）分别表示出“的6倍与2的和”和“的3倍与4的差”，再根据“等于”这一关键词，将两个代数式用等号连接． （3）根据“去年人均可支配收入=前年人均可支配收入×（1+增长率）”的关系，代入已知数据建立方程． （4）利用“追及路程=慢马先行的路程”的关系来建立等式． 解：（1）解：根据“它的补角”得； （2）解：根据“的6倍与2的和的3倍与4的差”得； （3）解：根据“前年人均可支配收入去年人均可支配收入”得； （4）解：根据“追及路程=慢马先行的路程”得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $