专题04认识一元二次方程同步培优讲义（重点知识梳理+6大核心题型+分层练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题04认识一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.一元二次方程的定义辨析； 2.一元二次方程的一般形式，方程各项与系数的识别； 3.一元二次方程根的概念，利用方程的根进行整体代入计算。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程的定义，能准确辨别一元二次方程，区分整式方程与非整式方程、一次方程与二次方程。 2.熟练掌握一元二次方程的一般形式，能够正确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，明确二次项系数不为零的隐含条件。 3.理解一元二次方程根的意义，能够检验一个数是否为方程的根，掌握利用方程根的性质整体代入求值的方法。 4.初步体会一元二次方程的建模意义，了解其来源于实际问题，为本章后续解方程、用方程解决问题奠定基础。 ✺知识梳理 知识点一：认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三大判定条件：①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）；②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 注意：整理一般形式时，必须将方程右侧化为0，左侧按降幂排列，系数包含前面的正负号。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。 【重难点与易错辨析】 1.判定一元二次方程必须同时满足定义三要素，二次项系数不为0是解题最核心的隐含条件，含参数题型需优先检验。 2.确定方程各项及系数前，必须先化为标准一般形式，切勿遗漏系数的正负符号。 3.仅化简后最高次数为2的整式方程才是一元二次方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方程。 ✺题型精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2．若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 3．已知是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程，特别注意二次项系数不为，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 2．一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得 ， 故答案为：或． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0 (2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键． （1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案； （2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案． 【详解】（1） 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0； （2） 移项、合并同类项得：， 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 2．若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 3．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1) 解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）略 （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 3．请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 2．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 3．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 题型6.一元二次方程的解的估算 1．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 2．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根x的范围是． 故答案为：． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1) 补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． ✺分层练习 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 3．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 二、填空题 4．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 6．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 三、解答题 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 8．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3) 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可； （3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 9．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1) 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04认识一元二次方程同步培优讲义 ✺知识框架 1.一元二次方程的定义辨析； 2.一元二次方程的一般形式，方程各项与系数的识别； 3.一元二次方程根的概念，利用方程的根进行整体代入计算。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程的定义，能准确辨别一元二次方程，区分整式方程与非整式方程、一次方程与二次方程。 2.熟练掌握一元二次方程的一般形式，能够正确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，明确二次项系数不为零的隐含条件。 3.理解一元二次方程根的意义，能够检验一个数是否为方程的根，掌握利用方程根的性质整体代入求值的方法。 4.初步体会一元二次方程的建模意义，了解其来源于实际问题，为本章后续解方程、用方程解决问题奠定基础。 ✺知识梳理 知识点一：认识一元二次方程 1.一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），且等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程。 三大判定条件：①整式方程（分母不含未知数、根号不含未知数）；②只含一个未知数； ③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 2.一元二次方程一般形式 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a为二次项系数（a≠0是核心前提）；bx是一次项，b为一次项系数；c是常数项。 注意：整理一般形式时，必须将方程右侧化为0，左侧按降幂排列，系数包含前面的正负号。 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 核心用法：利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程。 【重难点与易错辨析】 1.判定一元二次方程必须同时满足定义三要素，二次项系数不为0是解题最核心的隐含条件，含参数题型需优先检验。 2.确定方程各项及系数前，必须先化为标准一般形式，切勿遗漏系数的正负符号。 3.仅化简后最高次数为2的整式方程才是一元二次方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方程。 ✺题型精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 3．已知是关于的一元二次方程，求的值． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 2．一元二次方程化成一般形式为________． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)关于x的方程． 题型3.由一元二次方程的定义求参数 1．关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则_______． 3．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 题型4.判断是否是一元二次方程的解 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 3．请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．已知是关于的方程的一个根，则________． 3．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 题型6.一元二次方程的解的估算 1．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 2．在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根x的范围是______． 3．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 ✺分层练习 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 3．根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 二、填空题 4．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 5．一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 6．一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 三、解答题 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 8．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 9．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $