专题1.1 认识特殊平行四边形（2大知识点+ 6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦特殊平行四边形的认识，以平行四边形为基础，系统梳理菱形（邻边相等的平行四边形）、矩形（一角为直角的平行四边形）、正方形（邻边相等且一角为直角的平行四边形）的定义及从属关系，同步整合轴对称（对称轴数量与位置）、中心对称（对称中心为对角线交点）等核心性质，搭建递进式知识支架。 资料设计凸显分层教学特色，基础题型强化定义与边角计算（如菱形边长、矩形折叠问题），培优题型深化中心对称应用与综合推理（如正方形旋转、图形拼接），结合易错点辨析（如矩形对称轴误判）培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师精准授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

专题1.1 认识特殊平行四边形 知识点1：特殊平行四边形的定义 1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，又满足四条边都相等的特征。 2.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。矩形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，又满足四个角都是直角的特征。 3.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是特殊的菱形，也是特殊的矩形，同时兼具菱形与矩形的所有特征。 4.从属关系 平行四边形包含菱形和矩形两类特殊图形，正方形同时属于菱形和矩形，是最特殊的平行四边形。 知识点2：特殊平行四边形的对称性 1.轴对称性 图形名称 是否为轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 菱形 是 2条 两条对角线所在的直线 矩形 是 2条 过两组对边中点的直线 正方形 是 4条 两条对角线所在的直线，以及过两组对边中点的直线 2.中心对称性 菱形、矩形、正方形都是中心对称图形，对称中心均为两条对角线的交点。 3.旋转重合特征 菱形、矩形：绕对称中心至少旋转后，能与原图形完全重合； 正方形：绕对称中心至少旋转后，能与原图形完全重合。 【基础必考题型】 【题型1】菱形定义下的边角计算 1.核心知识点 菱形的定义；平行四边形对边相等、邻角互补的性质 2.解题方法技巧 ①菱形首先是平行四边形，满足对边平行且相等、对角相等、邻角互补的基本性质； ②结合“一组邻边相等”可推导出菱形四条边长度相等，可直接用于边长、周长计算； ③出现60°、120°等特殊角时，可得到等边三角形，快速转化线段与角度关系。 【例题1】.（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点，连接．若，则菱形的周长为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由菱形的性质得到，，则由直角三角形的性质得到，再由菱形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴菱形的周长． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 【题型2】矩形定义下的边角计算 1.核心知识点 矩形的定义；平行四边形的性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①矩形首先是平行四边形，满足对边平行且相等的基本性质； ②结合“一个角是直角”可推导出矩形四个角均为直角，对角线可通过勾股定理计算； ③矩形折叠问题的核心是折叠前后对应边、对应角相等，结合直角三角形列方程求解。 【例题2】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，根据矩形和等腰三角形的性质，推出，，即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点， 矩形， ，，，，， ，， ， ， ， ． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形的性质得出，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出的度数，再代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 【变式题2-3】.（2026·河南开封·模拟预测）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（     ） A． B． C．5 D．12 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】如图，连接， 根据矩形性质可知：， ， ， ， 故选A． 【题型3】正方形定义下的边角计算 1.核心知识点 正方形的定义；四边相等、四角为直角的双重特征 2.解题方法技巧 ①正方形兼具菱形与矩形的特征，四条边相等，四个角都是直角； ②对角线将正方形分成等腰直角三角形，内角多为45°，可直接利用等腰直角三角形性质计算； ③旋转类问题中，利用正方形边相等、角为直角的特点，通过证明三角形全等转化线段与角度。 【例题3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出为等腰三角形，，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴. 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式题3-2】.（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，求出和的长，进而确定点的坐标． 【详解】解：连接交于点，如图， 四边形是正方形， ，与互相平分且相等， 点的坐标为， ，且在轴上， ，， ， 点的坐标为． 【题型4】对称性类型判断与对称轴计数 1.核心知识点 轴对称、中心对称图形的概念；特殊平行四边形的对称轴特征 2.解题方法技巧 ①判断轴对称图形：验证是否存在直线，使图形沿直线折叠后直线两旁完全重合； ②判断中心对称图形：验证是否存在点，使图形绕该点旋转180°后与自身重合； ③对称轴计数牢记：菱形2条（对角线）、矩形2条（对边中点连线）、正方形4条，注意区分不可混淆。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形有________条对称轴，其________所在的直线就是它的对称轴． 【答案】 2 对角线 【分析】根据轴对称图形及对称轴的定义，结合菱形的性质解答即可. 【详解】解：由菱形的性质可知，菱形有条对称轴，其对角线所在的直线就是菱形的对称轴. 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【答案】 /两 中点 【分析】根据对称轴定义结合矩形的特征，确定对称轴的数量与位置. 【详解】解：∵若一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该直线为图形的对称轴， ∴对于矩形，沿经过对边中点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， ∴矩形共有条对称轴，过对边中点的直线即为矩形的对称轴. 【变式题4-2】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）下列说法中，错误的是（   ） A．正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B．可以作无数条直线平分正方形的面积 C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的含义，正方形的性质，根据正方形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：A．正方形的对称轴不一定是其对角线所在的直线，符合题意． B．过正方形对角线的交点的直线都平分正方形的面积，则可以作无数条直线平分正方形的面积，正确，不符合题意． C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点，正确，不符合题意． D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）正方形是轴对称图形，它有________条对称轴，若它的对角线长为，则它的面积为________． 【答案】 4 3 【分析】第一问根据轴对称图形对称轴的定义，确定正方形对称轴的数量，第二问利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，代入正方形对角线长度计算面积． 【详解】解：对于第一问，根据对称轴的定义，正方形的对称轴包括两条对边中点所在的直线， 两条对角线所在的直线，因此正方形共有条对称轴; 对于第二问，已知正方形对角线长为，正方形的对角线互相垂直且相等， 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半， 因此 ． 【培优提升题型】 【题型5】中心对称图形的对称中心确定 1.核心知识点 中心对称的性质；对称中心的几何意义 2.解题方法技巧 ①单个规则中心对称图形的对称中心，为其对角线的交点； ②两个成中心对称的图形，对称中心是任意两组对应点连线的中点； ③过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两部分，可用于面积分割作图。 【例题5】.（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由折叠的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，同理，得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ， ， 同理， ∴四边形是正方形， ∴． 故选B． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，，由正方形的性质可得，证明△△可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， △△， ， ， ． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画四边形．所画四边形的顶点均在格点上，面积为8，每条边长均为无理数． (1)在图①中画既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图②中画轴对称四边形，但不是中心对称四边形； (3)在图③中画中心对称四边形，但不是轴对称四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，正方形的边长为，则面积为，且正方形既是轴对称图形也是中心对称图形； （2）此时四边形是轴对称图形，不是中心对称图形，面积为； （3）由勾股定理可得，，故该四边形为平行四边形，面积． 【详解】（1）解：如图①，正方形即为所求； （2）解：如图②，四边形即为所求； （3）解：如图③，平行四边形即为所求 【题型6】折叠情境下的计算与推理 1.核心知识点 折叠的性质；矩形/正方形的定义；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②设未知数，将相关线段用含未知数的式子表示，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解； ③分析折叠后重叠部分的图形形状，结合特殊三角形、平行四边形的性质辅助推导。 【例题6】.（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，利用折叠的性质得出，，，从而求出的长，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形和折叠可得，再根据等角对等边得出，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ， ， 折叠， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即的长是5． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 【答案】2 【分析】设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴. ，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 【变式题6-3】.（2026·广东佛山·三模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边对等角求出，即可求出的度数． 【详解】解：∵菱形纸片，， ∴，， ∴， ∵将菱形纸片折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴． 易错点 1、混淆矩形与菱形的对称轴：误将矩形的对角线当作对称轴，或漏记正方形的对称轴数量；矩形的对称轴为对边中点连线，并非对角线所在直线。 2、忽略特殊平行四边形的“平行四边形”前提：判定时只关注“邻边相等”或“一个角是直角”，忽略图形首先必须是平行四边形。 3、旋转重合角度判断错误：误以为菱形、矩形旋转90°即可与自身重合，实际二者最小旋转重合角度为180°，仅正方形最小旋转90°可重合。 重点 1、菱形、矩形、正方形的定义，以及三者之间的从属与包含关系。 2、三种特殊平行四边形的轴对称与中心对称特征，对称轴的数量、位置与旋转重合规律。 难点 1、利用轴对称性质，解决特殊平行四边形中的最短路径等最值问题。 2、折叠、旋转、图形拼接等综合情境下，结合定义与性质的逻辑推理与计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还具有对角线互相垂直、四条边都相等的特殊性质；对比选项可知：对边平行，对角线互相平分，对角相等，都是菱形和平行四边形共有的性质；只有对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不一定具有的性质.因此选． 2．如图，菱形中，与相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据菱形的四条边相等即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 是直角三角形， 点是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， ． 3．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 二、填空题 4．如图，四边形是矩形，点的坐标为，则对角线的长为__________． 【答案】 【分析】根据矩形性质得到矩形的两条对角线长度相等，根据两点间距离公式得到线段的长度，进而得到的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点，点， ∴， ∴． 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】 10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 所以菱形的边长为5． 三、解答题 7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据正方形的性质得，，结合证明便可得结论． 【详解】略 8．已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由矩形的性质可得，，再证明，即可得证． 【详解】略 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，试找出图中相等的线段和相等的角． 【答案】相等的线段：，，，． 相等的角：，，，， 【分析】利用矩形对边相等、四个内角为直角、对角线相等且互相平分的性质，结合对顶角相等的性质，即可找出所有相等的线段与角． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，，，； ∴， 由图可得，，， ， ， ， ， ， ，． ∴， 同理可得． 10．如图，已知正方形．求的大小． 【答案】， ， 【分析】正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角． 【详解】解：∵正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角， ∴，，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 认识特殊平行四边形 知识点1：特殊平行四边形的定义 1.菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，又满足四条边都相等的特征。 2.矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。矩形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，又满足四个角都是直角的特征。 3.正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是特殊的菱形，也是特殊的矩形，同时兼具菱形与矩形的所有特征。 4.从属关系 平行四边形包含菱形和矩形两类特殊图形，正方形同时属于菱形和矩形，是最特殊的平行四边形。 知识点2：特殊平行四边形的对称性 1.轴对称性 图形名称 是否为轴对称图形 对称轴条数 对称轴位置 菱形 是 2条 两条对角线所在的直线 矩形 是 2条 过两组对边中点的直线 正方形 是 4条 两条对角线所在的直线，以及过两组对边中点的直线 2.中心对称性 菱形、矩形、正方形都是中心对称图形，对称中心均为两条对角线的交点。 3.旋转重合特征 菱形、矩形：绕对称中心至少旋转后，能与原图形完全重合； 正方形：绕对称中心至少旋转后，能与原图形完全重合。 【基础必考题型】 【题型1】菱形定义下的边角计算 1.核心知识点 菱形的定义；平行四边形对边相等、邻角互补的性质 2.解题方法技巧 ①菱形首先是平行四边形，满足对边平行且相等、对角相等、邻角互补的基本性质； ②结合“一组邻边相等”可推导出菱形四条边长度相等，可直接用于边长、周长计算； ③出现60°、120°等特殊角时，可得到等边三角形，快速转化线段与角度关系。 【例题1】.（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，菱形的对角线相交于点，点是的中点，连接．若，则菱形的周长为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【题型2】矩形定义下的边角计算 1.核心知识点 矩形的定义；平行四边形的性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①矩形首先是平行四边形，满足对边平行且相等的基本性质； ②结合“一个角是直角”可推导出矩形四个角均为直角，对角线可通过勾股定理计算； ③矩形折叠问题的核心是折叠前后对应边、对应角相等，结合直角三角形列方程求解。 【例题2】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）如图，矩形的对角线，相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【变式题2-3】.（2026·河南开封·模拟预测）如图，矩形的面积为，对角线的长为，是边上不与端点重合的动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（     ） A． B． C．5 D．12 【题型3】正方形定义下的边角计算 1.核心知识点 正方形的定义；四边相等、四角为直角的双重特征 2.解题方法技巧 ①正方形兼具菱形与矩形的特征，四条边相等，四个角都是直角； ②对角线将正方形分成等腰直角三角形，内角多为45°，可直接利用等腰直角三角形性质计算； ③旋转类问题中，利用正方形边相等、角为直角的特点，通过证明三角形全等转化线段与角度。 【例题3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【变式题3-2】.（2026·贵州六盘水·二模）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，则边的长是（     ） A．3 B． C． D．6 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型4】对称性类型判断与对称轴计数 1.核心知识点 轴对称、中心对称图形的概念；特殊平行四边形的对称轴特征 2.解题方法技巧 ①判断轴对称图形：验证是否存在直线，使图形沿直线折叠后直线两旁完全重合； ②判断中心对称图形：验证是否存在点，使图形绕该点旋转180°后与自身重合； ③对称轴计数牢记：菱形2条（对角线）、矩形2条（对边中点连线）、正方形4条，注意区分不可混淆。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形有________条对称轴，其________所在的直线就是它的对称轴． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）矩形有________条对称轴，通过对边________的直线就是它的对称轴． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）下列说法中，错误的是（   ） A．正方形的对称轴一定是其对角线所在的直线 B．可以作无数条直线平分正方形的面积 C．正方形的每一条对称轴都过对角线的交点 D．平分正方形周长的直线必过正方形对称轴的交点 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）正方形是轴对称图形，它有________条对称轴，若它的对角线长为，则它的面积为________． 【培优提升题型】 【题型5】中心对称图形的对称中心确定 1.核心知识点 中心对称的性质；对称中心的几何意义 2.解题方法技巧 ①单个规则中心对称图形的对称中心，为其对角线的交点； ②两个成中心对称的图形，对称中心是任意两组对应点连线的中点； ③过中心对称图形对称中心的任意直线，都能将图形分成面积相等的两部分，可用于面积分割作图。 【例题5】.（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，现有一块边长为2的正方形毛巾，将其一角折叠至毛巾的中心位置，折痕的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为________． 【变式题5-3】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画四边形．所画四边形的顶点均在格点上，面积为8，每条边长均为无理数． (1)在图①中画既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图②中画轴对称四边形，但不是中心对称四边形； (3)在图③中画中心对称四边形，但不是轴对称四边形． 【题型6】折叠情境下的计算与推理 1.核心知识点 折叠的性质；矩形/正方形的定义；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②设未知数，将相关线段用含未知数的式子表示，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解； ③分析折叠后重叠部分的图形形状，结合特殊三角形、平行四边形的性质辅助推导。 【例题6】.（2026·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，，，点为上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在对角线上，则（    ） A．6 B． C．5 D． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式题6-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 【变式题6-3】.（2026·广东佛山·三模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 易错点 1、混淆矩形与菱形的对称轴：误将矩形的对角线当作对称轴，或漏记正方形的对称轴数量；矩形的对称轴为对边中点连线，并非对角线所在直线。 2、忽略特殊平行四边形的“平行四边形”前提：判定时只关注“邻边相等”或“一个角是直角”，忽略图形首先必须是平行四边形。 3、旋转重合角度判断错误：误以为菱形、矩形旋转90°即可与自身重合，实际二者最小旋转重合角度为180°，仅正方形最小旋转90°可重合。 重点 1、菱形、矩形、正方形的定义，以及三者之间的从属与包含关系。 2、三种特殊平行四边形的轴对称与中心对称特征，对称轴的数量、位置与旋转重合规律。 难点 1、利用轴对称性质，解决特殊平行四边形中的最短路径等最值问题。 2、折叠、旋转、图形拼接等综合情境下，结合定义与性质的逻辑推理与计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 2．如图，菱形中，与相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，四边形是矩形，点的坐标为，则对角线的长为__________． 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的边长为___________． 三、解答题 7．如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 8．已知如图，在矩形中，E为边的中点．求证：． 9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，试找出图中相等的线段和相等的角． 10．如图，已知正方形．求的大小． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $