第1章 二次函数 综合测评 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

九年级上册第1章综合测评 （满分：120分　考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式中， 是 的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线 向右平移 个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 已知二次函数 （ 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，现将该抛物线先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，所得抛物线正好经过坐标原点，则 的值是（　　） A. B. C. D. 6. 某企业专门生产季节性产品，当产品无利润时，企业会自动停产．经过调研预测，它一年中每月获得的利润 （万元）与月份 之间满足函数表达式 ，则该企业停产的月份为（　　） A. 月和 月 B. 月至 月 C. 月 D. 月、 月和 月 7. 如图，某建筑物有一扇抛物线形的大门，小强想知道这扇大门的高，他先测出大门的宽 m，然后用一根长为 m 的竹竿 竖直地接触地面和大门的内壁，并测得 m，则大门的高 为（　　） A. m B. m C. m D. m 8. 已知二次函数 ，则当 时，函数的最大值为（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数 的图象上有 ， 两点，则下列选项正确的是（　　） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 10. 已知二次函数 的图象过点 ，，，，其中 ， 为常数，则 的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 有一条抛物线，开口向上，对称轴是直线 ，且顶点在 轴上，并与 轴交于点 ，则该抛物线对应的函数表达式为＿＿＿． 12. 若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是＿＿＿． 13. 已知某飞机着陆后滑行的距离 (m)关于滑行时间 (s)的函数表达式为 ，则在该飞机着陆后滑行的过程中，最后 s 该飞机滑行的距离为＿＿＿ m. 14. 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，抛物线 与 轴交于 ， 两点，其中 ．若 ，则 的值为＿＿＿． 15. 如图，抛物线 与 轴交于点 ，，与 轴交于点 ，点 在抛物线上，点 在直线 上．若 ，则点 的坐标为＿＿＿． 16. 我们约定：当 满足 ，且 时，称点 与点 为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于 的二次函数 是“对偶函数”，则实数 的取值范围是＿＿＿． 三、解答题（共72分） 17. （8 分）求下面二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）； （2）． 18. （8 分）已知二次函数 ． （1）写出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当 时，直接写出函数 的取值范围． 19. （8 分）设抛物线 与直线 交于点 ． （1）求 ， 的值及抛物线的对称轴． （2）设 ， 是抛物线上两点，且 ，点 在直线 上． ① 当 时，求 的值； ② 当 时，求 的取值范围． 20. （8 分）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植．经试验，其平均单株产量 （千克）与每平方米种植的株数 （，且 为整数）之间满足一种函数关系．每平方米种植 株时，平均单株产量为 千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加 ，平均单株产量减少 千克． （1）求 关于 的函数表达式． （2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 21. （8 分）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及点 ． （1）求 的值和点 的坐标； （2）根据图象，直接写出满足 的 的取值范围； （3） 是二次函数图象上的一点，且到 轴的距离小于 ，根据图象，直接写出 的取值范围． 22. （10 分）如图，正方形 的边长为 ，将它截掉 个全等的直角三角形，得到四边形 ．设 的长为 ，四边形 的面积为 ． （1）求 关于 的函数表达式． （2）当 的长取何值时，四边形 的面积为 ？ （3）四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 23. （10 分）已知二次函数 （ 为常数）． （1）若该函数的图象经过点 ，判断该图象是否经过点 ，请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为 ，当 的值变化时，求 关于 的函数表达式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当 时，函数的最大值与最小值之差为 ，求 的值． 24. （12 分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ．已知点 的坐标是 ， 是该抛物线在第二象限内的一个动点． （1）求抛物线对应的函数表达式和顶点 的坐标． （2）如图①，连结 ，，设点 的横坐标是 ，问：当 取何值时，四边形 的面积最大？ （3）如图②，若直线 对应的函数表达式为 ，点 和点 分别在抛物线上和直线 上，问：是否存在以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. A 2. C 3. D 4. A 5. B 6. D 7. B 8. D 9. A 10. D　解析：因为 ， 两点的纵坐标相等，所以二次函数图象的对称轴为直线 ．所以 ．所以 ．因为二次函数 的图象经过点 ，所以 ，则二次函数的表达式为 ．又点 ， 在函数图象上，所以 ，，解得 ，．所以 ． 11. 12. 13. 24 14. 8 15. 或 16. 　解析：由题意可得 ，且 ，所以 ①，②．所以①②，得 ．所以 ．代入①，整理可得 ．因为二次函数 是“对偶函数”，所以关于 的一元二次方程 必有实数根．又因为根的判别式为 ，所以当 时，．所以 ．所以 ．所以 ．所以 ，此时不符合题意，这种情况舍去．所以必有 ．所以 ． 17. （1），图象开口向上．因为 ，，，所以 ，．所以二次函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是直线 （2），图象开口向下．因为 ，，，所以 ，．所以二次函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是直线 18. （1）由题意，得 ，所以顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．因为 ，所以二次函数的图象开口向上 （2）因为对称轴为直线 ，图象开口向上，所以当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．所以当 时， 的最小值 ；当 时，；当 时，．所以当 时，函数 的取值范围是 19. （1）由题意，把 分别代入 和 ，解得 ，．所以抛物线的对称轴为直线 （2）① 因为点 和点 关于直线 对称，且 ，所以点 和点 到对称轴的距离都为 ．所以 ，．将 代入抛物线对应的函数表达式 ，解得 ．因为点 在直线 上，所以 ，即 ② 由题意，得 ，所以 ．因为 ，所以 ．所以 20. （1）因为每平方米种植的株数每增加 ，平均单株产量减少 千克，且每平方米种植的株数为 ，所以 ．所以 关于 的函数表达式为 （，且 为整数） （2）设每平方米小番茄的产量为 千克．根据题意，得 ．因为 ，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ．答：每平方米种植 株时，能获得最大的产量，最大产量为 千克 21. （1）把 代入 中，得 ，解得 ．所以抛物线对应的函数表达式为 ．在 中，当 时，，所以 ．因为抛物线的对称轴为直线 ，点 在抛物线上，且与点 关于抛物线的对称轴对称，所以 （2）由函数图象可知，满足 的 的取值范围是 或 （3） 22. （1）因为在正方形 上截掉 个全等的直角三角形，所以 ，，，．因为 ，同理可得 ，所以四边形 为矩形．又因为 ，所以四边形 为正方形．在 中，，，，所以 ．所以正方形 的面积 ．所以 关于 的函数表达式为 （2）令 ，则 ，整理，得 ，解得 ，．所以当 的长取 或 时，四边形 的面积为 （3）存在　因为正方形 的面积 ，所以当 时， 有最小值，为 ，即四边形 的面积存在最小值，最小值为 23. （1）经过　理由：把点 的坐标代入 ，得 ，解得 ．所以此函数的表达式为 ．所以当 时，．所以该函数的图象经过点 ． （2）因为二次函数 （ 为常数）图象的顶点坐标是 ，所以 ，．所以 ．把 代入 ，得 ．所以 关于 的函数表达式为 （3）由题意，把 代入 ，得 ．因为函数图象不经过第三象限，所以 ，即 ．因为 ，所以函数图象的顶点坐标为 ．因为 ，所以当 时，函数图象不经过第三象限，解得 ．所以 ．所以当 时，函数的最小值为 ．把 代入 ，得 ；把 代入 ，得 ．当 时，解得 （不符合题意，舍去）或 ．当 时，解得 或 （不符合题意，舍去）．综上所述， 的值为 或 24. （1）因为抛物线 经过点 ，所以 ，解得 ．所以抛物线对应的函数表达式为 ．因为 ，所以顶点 的坐标是 （2）令 ，则 ，解得 或 ．因为 ，所以 ．所以 ．令 ，得 ．所以 ．所以 ．因为点 的横坐标是 ，所以 ．连结 ，如图，则四边形 的面积 的面积 的面积 ，所以当 时，四边形 的面积最大 （3）存在　设点 的坐标是 ．（Ⅰ）当平行四边形以 为边时，易得 ，．① 当 时，则有 ，整理得 ，解得 ，，此时点 的坐标是 ，．② 当 时，则 ，整理得 ，解得 ，（不合题意，舍去），此时点 的坐标是 ．（Ⅱ）当平行四边形以 为对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可知，因为线段 的中点坐标为 ，所以线段 的中点坐标也为 ．因为 ，所以 ．因为点 在直线 上，所以 ．所以 ，解得 ，（不合题意，舍去），此时点 的坐标是 ．综上所述，符合题意的点 的坐标为 或 或 或 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $