第1章 二次函数（B卷·综合能力培优卷）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章 二次函数（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2026九上·路桥期末）抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026九上·桐乡市期末）小明画二次函数 的图象时，列表格如下，他发现有一组对应值计算有误，则错误的那组对应值所对应的点是 (　　) x …… -1 0 1 2 …… y …… 3 2 3 3 …… A．(-1， 3) B．(0， 2) C．(1， 3) D．(2， 3) 3．（2026九上·临海期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1(单位：m)与滑行时间t1(单位：s)满足函数关系： 在缓冲道上的滑行路程 y2(单位：m)与在缓冲道上的滑行时间t2(单位：s)满足函数关系： 小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s.则他在坡道上的滑行路程为(　　) A．32m B．240m C．270m D．280m 4．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，其中k，m为常数，则下列说法正确的（　　） A．若，，则二次函数y的最小值小于0 B．若，，则二次函数的y最大值小于0 C．若，，则二次函数y的最大值大于0 D．若，，则二次函数y的最小值小于0 5．（2025九上·安次期中）下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 6．（2025九上·义乌开学考）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·合江模拟）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（2025·阳山模拟）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2026九上·越秀期末）已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 10．（2026九上·南沙期末）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025·绵阳模拟）若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为　 　． 12．（2025九上·温州期中）二次函数y=x2-2x+3图象与y轴的交点坐标是　 　. 13．（2025九上·余杭月考）若抛物线 经过原点，则m的值为　 　. 14．（2025九上·温州期中） 当x≥3时， 二次函数. 的最大值为 　 　. 15．（2025九上·温州期中） 已知A（x1， y1）， B（x2， y2）是二次函数 图象上任意两点，当 时， 始终成立，则m的取值范围是　 　. 16．（2026·武汉模拟）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025九上·萧山月考）已知二次函数． （1）求证：无论m取何值时，该函数与x轴都有两个交点； （2）设方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 18．（2026九上·新会期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元.在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大?最大利润为多少元? （2）若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润. 19．（2026九上·江门期末）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 20．（2026九上·长兴期末） “一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … （1）求与之间的函数关系式； （2）设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 21．（2026九上·浙江期末）已知二次函数 的图象经过点A(-1，1)和B(2，4). （1）求a，b满足的关系式； （2）当自变量x的值满足-1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若函数图象与x轴无交点，求 的取值范围. 22．（2025九上·临洮期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 23．（2026·长沙模拟）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． （1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； （2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 第1章 二次函数（B卷·综合能力培优卷） （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2026九上·路桥期末）抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：抛物线 向左平移1个单位，得 ，再向下平移3个单位，得 ，故答案为：B． 【分析】根据抛物线的平移规律左加右减，上加下减，得到平移后的抛物线的解析式. 2．（2026九上·桐乡市期末）小明画二次函数 的图象时，列表格如下，他发现有一组对应值计算有误，则错误的那组对应值所对应的点是 (　　) x …… -1 0 1 2 …… y …… 3 2 3 3 …… A．(-1， 3) B．(0， 2) C．(1， 3) D．(2， 3) 【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴抛物线开口向下， 而抛物线经过时，抛物线开口向上，不符合题意， ∵抛物线不能同时经过， ∴不在抛物线上， 故选：． 【分析】由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过求解即可． 3．（2026九上·临海期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程y1(单位：m)与滑行时间t1(单位：s)满足函数关系： 在缓冲道上的滑行路程 y2(单位：m)与在缓冲道上的滑行时间t2(单位：s)满足函数关系： 小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s.则他在坡道上的滑行路程为(　　) A．32m B．240m C．270m D．280m 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时， ∴， ∴把代入函数得：； 故选B． 【分析】由题意可得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后可得，进而代入进行求解即可． 4．（2025九上·杭州月考）已知二次函数，其中k，m为常数，则下列说法正确的（　　） A．若，，则二次函数y的最小值小于0 B．若，，则二次函数的y最大值小于0 C．若，，则二次函数y的最大值大于0 D．若，，则二次函数y的最小值小于0 【答案】D 【解析】【解答】解：， 当时，函数最小值为， 则当时，有，则二次函数的最小值小于0． 故选：D． 【分析】 先把二次函数的解析式整理转化为顶点式，再结合顶点式的特征，对照题目给出的选项逐一分析判断即可。 5．（2025九上·安次期中）下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，故A、B错误. 根据得： 对称轴为直线，结合开口向下， ∴当时，随增大而增大，故C正确. ∵， ∴与轴有两个交点，故D错误． 故答案为： C． 【分析】把配方后得，根据二次函数的性质即可得抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，随增大而增大，即可判断A、B、C，再计算，根据的值即可判断D即可得答案. 6．（2025九上·义乌开学考）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故答案为：C ． 【分析】利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用。根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，即可得到a、b、c的正负性，从而判断A选项；把x = -1代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与x轴有2个交点，从而判断D选项. 7．（2025·合江模拟）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】【解答】解：设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选：C． 【分析】本题以商品降价促销为背景，考查了一元二次方程的应用及二次函数在最大利润问题中的运用。通过设降价x元，建立利润与销量的函数关系，分别验证降价3元时的销量、利润为6120元时的售价以及最大利润的取值。 8．（2025·阳山模拟）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】【解答】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为，， ∵， ∴，，， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 把，代入方程， 得 ∴，， 故④不正确； 正确的个数是1个， 故选：D． 【分析】根据二次函数图象可得，，，从而得到，故①不正确；将点，代入，得出：，从而得出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确． 9．（2026九上·越秀期末）已知点和点都在二次函数的图象上，且．若点，，也都在这个函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：将点和点代入二次函数中， 解得，， ∵， ∴，即， 当时，解得， ∵， ∴5a＜a，明显矛盾，舍去； 当时，解得， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ，即， ，即， ∴． 故答案为：C． 【分析】本题先将点和点代入二次函数中，求出，，然后结合，可得，依据不等式的性质列式分析，最后得出；然后分别求出、、，作差分析得出，，因此得出． 10．（2026九上·南沙期末）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②（t为实数）；③；④若和为图象上两点，且，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】解：从图上看出，抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线对称轴x=，即； 根据图象，当，时，而对称轴为， ∴时，． ①∵，，，∴，①错误； ②当时，该函数取最大值4a-2b+c，因此对任意实数，有，化简得，②正确； ③当时，，根据对称性，当时，，代入，得，即，③正确； ④∵和为图象上两点，且， ∴，． 即， 整理化简得， ∵， ∴， 解得，④正确； 综上，②③④正确，共个． 故答案为：C． 【分析】本题依据二次函数的开口情况确定a＜0，依据对称轴变形，结合图象中抛物线与x轴的交点情况和对称轴，计算分析出c＜0，此时即可判断①；依据当时，该函数取最大值4a-2b+c，可以列出不等式，变形即可判断②；利用对称性和函数图象情况，计算即可判断③；结合不等式的形式列式化简即可判断④。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025·绵阳模拟）若关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则a的值为　 　． 【答案】或3或0 【解析】【解答】解：①当a−3≠0时，图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点， 则△＝（4a−1）−4（a−3）×4a＝0， 解得：a＝； 当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点， 即 解得：a＝0； ②当a＝3时，y＝−11x＋12，与坐标轴只有两个交点． 故答案为：或3或0． 【分析】分类讨论：①当a−3≠0时，二次函数图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，故根的判别式△=b2-4ac=0或抛物线过原点，即可求解；②当a＝3时，函数为一次函数，与坐标轴只有两个交点，综上即可得出答案. 12．（2025九上·温州期中）二次函数y=x2-2x+3图象与y轴的交点坐标是　 　. 【答案】（0，3） 【解析】【解答】解： 抛物线交y轴于点 故正确答案为： 【分析】对于抛物线，其始终交轴于点. 13．（2025九上·余杭月考）若抛物线 经过原点，则m的值为　 　. 【答案】3 【解析】【解答】解：∵抛物线经过原点(0，0)， ∴将x=0，y=0代入方程得：0 = m · 02 + 2 · 0 + m ( m − 3 ) 化简得：0 = 0 + 0 + m ( m − 3 ) 即：m ( m − 3 ) = 0 解得：m = 0 或 m = 3 又是抛物线， ∴m≠0， ∴m=3. 故答案为：3. 【分析】根据题意将原点坐标代入方程即可求解m的值，结合抛物线表达式的二次项系数不为零知m的值. 14．（2025九上·温州期中） 当x≥3时， 二次函数. 的最大值为 　 　. 【答案】6 【解析】【解答】解： 二次函数有最大值8，且当时，y随x的增大而减小 当时，函数的最大值为 故答案为：6 . 【分析】先化二次函数的一般形式为顶点式，可得抛物线的对称轴为直线，由于抛物线的开口向下，则当时，y随x的增大而减小，则当当时，函数的最大值为. 15．（2025九上·温州期中） 已知A（x1， y1）， B（x2， y2）是二次函数 图象上任意两点，当 时， 始终成立，则m的取值范围是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：抛物线 开口向下， ∵ 当 时， 始终成立， ∴x2离对称轴比x1远，且x=m的函数值不小于x=m+1的函数值， ∴-m2+4m≥-(m+1)2+4(m+1)， 解得， 故答案为：. 【分析】根据题意得到开口向下，即x2离对称轴比x1远，且x=m的函数值不小于x=m+1的函数值，然后代入得到关于m的不等式，求出解集即可. 16．（2026·武汉模拟）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论： ①； ②； ③若且，则； ④对任意实数，不等式恒成立； ⑤若一元二次方程两根为，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】【解答】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点， ∴对称轴为直线，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的开口向下，， ∵对称轴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值， ∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确； ∵， ∴，保存进入下一题 ∴、是与的交点的横坐标， ∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②④⑤． 【分析】 已知抛物线与轴的两个交点，结合条件，先推导出抛物线的对称轴为直线，同时得到关系，以及。因为抛物线开口方向由决定，由可以判断出，抛物线开口向下，结合，即可得出结论①、②是正确的。对于结论③，利用平方差公式对相关式子化简后，可得两根之和满足，和结论中的内容不符，因此③错误。根据已经得到的对称轴，以及可知，抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，由此可以判断出结论④正确。对方程进行变形，可将其整理为，那么该方程的两个根、，就是二次函数和直线两个交点的横坐标，结合二次函数和一次函数的性质，可以推导出大小关系，因此结论⑤正确。 综上，正确的结论为①②④⑤. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025九上·萧山月考）已知二次函数． （1）求证：无论m取何值时，该函数与x轴都有两个交点； （2）设方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1）证明：二次函数对应的一元二次方程， ∵ ∴无论m取何值时，该方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点； （2）解：∵该方程有两个实数根a，b， ∴. ∵ . ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴m的值为或1． 【解析】【分析】（1）二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m与x轴交点横坐标就是一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0的实数根，据此求出一元二次方程根的判别式的值，由对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，对应二次函数y=x2-(2m+1)x+m2+m与x轴有两个交点、一个交点、没有交点，据此解答即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=2m+1，ab=m2+m，将已知方程左边根据多项式乘以多项式法则化简后再利用配方法变形为含a+b与ab表示的形式，进而整体代入可得关于字母m的方程，最后利用因式分解法解该方程即可. （1）证明：二次函数对应的一元二次方程， ∵ ∴无论m取何值时，该方程有两个不相等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点； （2）解：∵该方程有两个实数根a，b， ∴. ∵ . ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴m的值为或1． 18．（2026九上·新会期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元.在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … （1）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大?最大利润为多少元? （2）若规定销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得多少利润. 【答案】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为y=kx+b， ∴y关于x的函数表达式为y=-6x+600； 再设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润W=（x-40）（-6x+600） ∵-6<0， ∴当x=70时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 （2）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵50≤x≤70， ∴当x=50时，所获利润最小为3000元；当x=70时，所获利润最大为5400元. ∴销售单价需满足50≤x≤70，则每周至少可获得3000元的利润 【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用（利润问题）。 (1)先利用待定系数法，根据表格中的两组数据求出周销量y与销售单价x的一次函数关系式；再根据“利润=（单价-进价）×销量”，列出利润W关于x的二次函数关系式，将其化为顶点式，结合二次函数的性质（开口向下，顶点处取得最大值），求出最大利润及对应的销售单价。 (2)根据二次函数的对称轴和开口方向，分析在区间内利润的变化趋势，找到区间内的最小值点，代入利润函数求出最小利润。 19．（2026九上·江门期末）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 【答案】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； （2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 【解析】【分析】（1）设道路宽为x米，把停车位区域看作一个长为米、宽为米的矩形，根据面积列出方程 ，解方程并结合实际意义舍去不合理解，得到道路宽为6米。 （2）设月租金为a元，根据租金上涨与车位减少的关系，得出月收益函数 ，整理成顶点式后，结合政府规定的最高限价350元，确定当a=350元时，收益最大为14000元。 （1）解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； （2）解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 20．（2026九上·长兴期末） “一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … （1）求与之间的函数关系式； （2）设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出w与x的函数关系式，把函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 21．（2026九上·浙江期末）已知二次函数 的图象经过点A(-1，1)和B(2，4). （1）求a，b满足的关系式； （2）当自变量x的值满足-1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）若函数图象与x轴无交点，求 的取值范围. 【答案】（1）把和分别代入函数式， 得方程组. 由这个方程组得. 所以，满足的关系式为. （2）解：∵当自变量的值满足时，随的增大而增大，且， ∴. ∵， ∴，解得. 所以的取值范围是. （3）解：由（1）得，， 又∵函数图象与轴无交点， ∴，解得. ∵， ∴当时，的最小值为，当时，. ∴的取值范围是. 【解析】【分析】（1）把和分别代入解析式，即可确定a和b的关系； （2）先表示表示出对称轴，在根据自变量的值满足时，随的增大而增大可确定的范围； （3）根据函数图象与轴无交点，把表示出来，根据a的取值范围即可求解． 22．（2025九上·临洮期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价． （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，根据题意得4x+7(132-x)=744. 解得x=60. 则每件B类特产的售价132-60=72(元)。 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件. （2）解：由题意得：y=10x+60，由条件可知(0≤x≤10). （3）解：(72-60) = - . ∴当x=2时， w有最大值1840. ∴ A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元. 【解析】【分析】(1)根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132-x)元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； (2)根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； (3)结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可. 23．（2026·长沙模拟）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． （1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； （2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】（1）解：， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 【解析】【解答】解：（1）由题可知，的“轮转对称方程”是； 【分析】（1）根据“ 轮转对称方程 ”定义直接写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①由于点P、Q的纵坐标相同，故点P、Q关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系；然后根据“轮转对称函数”的定义写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答； ②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限可得抛物线一定与x轴又两个不同的交点及两交点横坐标符号相同，利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式可得△＞0且，结合已知求得；设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，结合两点间的距离公式可得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． （1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $