2.1 等式性质与不等式性质章节练习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026—2027学年上学期 · 人教A版（2019课标版）高一数学必修第一册 · 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 2.1 等式性质与不等式性质　章节练习卷 （满分：100分　　考试时间：90分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷考查人教A版（2019课标版）高一数学必修第一册第二章第2.1节《等式性质与不等式性质》全部内容，含用不等式表示不等关系、作差（商）法比较大小、等式与不等式的基本性质、利用性质判断真假与证明不等式、求代数式的取值范围。 2．全卷共四大题、18小题。请在密封线内规范填写班级、姓名，考试结束将试卷交回。 3．选择题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应选项涂黑；多项选择题全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。填空题和解答题请作答在指定位置。 4．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某品牌瓶装矿泉水的净含量标注为“500 mL±5 mL”，设每瓶实际净含量为 x mL，则下列不等式正确的是（　　） A．x≤505　　　　B．x≥495 C．|x−500|≤5　　　　D．495＜x＜505 2．设 a∈R，M＝a²+2a+2，N＝2a+1，则 M 与 N 的大小关系是（　　） A．M＞N　　　　B．M＜N C．M＝N　　　　D．与 a 的取值有关 3．已知实数 a，b，c 在数轴上的对应点分别为 A，B，C，其位置如图1所示（a＜−1，0＜b＜1，c＞1），则下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0　　　　B．a+c＞0 C．ab＜bc　　　　D．|a|＞|c| 图1 4．已知 a＞b，c 为任意实数，则下列不等式恒成立的是（　　） A．a²＞b²　　　　B．b/a＜1 C．a−c＞b−c　　　　D．ac＞bc 5．已知 a＞b＞c＞d＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a+d＞b+c　　　　B．ac＞bd C．a−b＞c−d　　　　D．ad＞bc 6．某同学冲调一杯咖啡，先在 b 克水中放入 a 克糖（b＞a＞0），再添加 m 克糖（m＞0，假设全部溶解），糖的质量分数升高了，用不等式表示这一事实的是（　　） A．a/b＞(a+m)/(b+m)　　　　B．a/b＜(a+m)/(b+m) C．a/b＝(a+m)/(b+m)　　　　D．大小关系不确定 7．已知 1＜a≤3，−2≤b＜1，则 2a−3b 的取值范围是（　　） A．(−1，12]　　　　B．[−1，12] C．(−1，12)　　　　D．[−1，12) 8．已知 −1≤x−y≤2，2≤x+y≤4，则 2x−4y 的取值范围是（　　） A．[−7，4]　　　　B．[−6，5] C．[−8，5]　　　　D．[−5，8] 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9．已知 a＞b＞0，c＜0，则下列不等式成立的有（　　） A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．a/c＞b/c D．ac²＞bc² 10．已知 a＞b＞c＞d＞0，则下列不等式一定成立的有（　　） A．a+b＞c+d B．a−b＞c−d C．ac＞bd D．a/d＞b/c 11．下列说法正确的有（　　） A．若 a＞b＞0，m＞0，则 (b+m)/(a+m)＞b/a B．若 a＞b＞0，则 1/a＜1/b C．若 a＜b＜0，则 a²＜b² D．若 c＞a＞b＞0，则 a/(c−a)＞b/(c−b) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．比较大小：a²+3　＿＿＿　2a（a∈R，填“＞”“＜”或“＝”）。 13．已知 −2＜x＜3，1＜y＜4，则 2x−y 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 14．已知 3a＝2b，且 a+b＞0，则 a　＿＿＿　b（填“＞”或“＜”）。 四、解答题（本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分） （1）某城市快速路限速 80 km/h，设某汽车的行驶速度为 v km/h，用不等式表示这一限速规定； （2）某食品包装袋上标注“净含量不低于 450 g”，设每袋实际净含量为 x g，用不等式表示； （3）比较 (a²+b²)/2 与 ab 的大小（a，b∈R），并说明理由。 16．（8分） 判断下列命题的真假，并说明理由（真命题请给出证明，假命题请举出反例）： （1）若 a＞b，则 a²＞b²； （2）若 a＞b＞0，则 1/a＜1/b； （3）若 a＞b，c＞d，则 a−c＞b−d。 17．（9分） 已知 a＞b＞c＞0，求证： （1）a²＞bc； （2）a/(b+c)＞b/(a+c)； （3）b/(a−b)＞c/(a−c)。 18．（10分） 设实数 a，b 在数轴上的位置如图2所示，其中 a＜0＜b，且 |a|＜|b|（即 −b＜a＜0＜b）。 （1）判断 a+b，a−b 与 0 的大小关系，并说明理由； （2）比较 a² 与 b² 的大小，并说明理由； （3）利用不等式的性质证明：a＜(a+b)/2＜b。 图2 参考答案与评分标准 一、双向细目表 题号 题型 分值 考查内容 难度 1 单选 4 不等关系的不等式表示（绝对值偏差） 基础 2 单选 4 作差法比较大小（配方） 基础 3 单选 4 数轴法比较大小（可乘性应用） 基础 4 单选 4 不等式性质判断（可加性恒成立） 中档 5 单选 4 同向同正可乘性判断 中档 6 单选 4 糖水不等式模型（情境应用） 中档 7 单选 4 求代数式取值范围（区间运算） 中档 8 单选 4 整体代换求取值范围（避免范围扩大） 较难 9 多选 6 不等式性质综合判断（乘负数变号） 中档 10 多选 6 同向可加与同向同正可乘综合 较难 11 多选 6 倒数性质与糖水模型综合判断 较难 12 填空 5 作差法比较大小（配方填空） 基础 13 填空 5 求取值范围（同向可加） 中档 14 填空 5 等式与不等式性质综合推理 中档 15 解答 8 不等关系表示＋作差比较 中档 16 解答 8 命题真假判断与说理（反例/证明） 中档 17 解答 9 利用不等式性质证明（作差法） 较难 18 解答 10 数轴情境综合（性质证明） 较难 难度配比（按分值统计）：基础题17分（占17%），中档题48分（占48%），较难题35分（占35%），难度梯度与高一新课教学进度匹配，适合学完本节后的巩固检测使用。 二、选择题答案 1．C　　2．A　　3．C　　4．C　　5．B　　6．B　　7．A　　8．A 9．AD　　10．ACD　　11．ABD 三、填空题答案 12．＞　　13．−8＜2x−y＜5　　14．＜ 四、解答题答案与评分标准 15．解： （1）0≤v≤80（或 v≤80 且 v≥0）。……………（2分） （2）x≥450。……………（2分） （3）(a²+b²)/2−ab＝(a²−2ab+b²)/2＝(a−b)²/2≥0， 所以 (a²+b²)/2≥ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立。……………（4分） 16．解： （1）假命题。反例：a＝0，b＝−1，满足 a＞b，但 a²＝0＜1＝b²。……………（3分） （2）真命题。1/a−1/b＝(b−a)/(ab)，由 a＞b＞0 得 b−a＜0，ab＞0，故 1/a−1/b＜0，即 1/a＜1/b。……………（3分） （3）假命题。反例：a＝2，b＝1，c＝5，d＝0，满足 a＞b，c＞d，但 a−c＝−3＜b−d＝1。……………（2分） 17．证明： （1）由 a＞b＞0，a＞0，得 a²＞ab（不等式两边同乘正数 a）；由 a＞c，b＞0，得 ab＞bc（两边同乘正数 b）。根据传递性，a²＞bc。……………（3分） （2）作差：a/(b+c)−b/(a+c)＝[a(a+c)−b(b+c)]/[(b+c)(a+c)]＝[(a−b)(a+b+c)]/[(b+c)(a+c)]。 因为 a＞b＞c＞0，所以 a−b＞0，a+b+c＞0，b+c＞0，a+c＞0，故差大于0，即 a/(b+c)＞b/(a+c)。……………（3分） （3）作差：b/(a−b)−c/(a−c)＝[b(a−c)−c(a−b)]/[(a−b)(a−c)]＝a(b−c)/[(a−b)(a−c)]。 因为 a＞b＞c＞0，所以 b−c＞0，a−b＞0，a−c＞0，故差大于0，即 b/(a−b)＞c/(a−c)。……………（3分） 18．解： （1）a+b＞0，a−b＜0。理由：由 |a|＜|b| 得 a＞−b，即 a+b＞0；由 a＜b，得 a−b＜0。……………（3分） （2）a²＜b²。理由：由 |a|＜|b| 且 a，b 均不为0，得 |a|²＜|b|²，即 a²＜b²。……………（3分） （3）由 a＜b，两边同加 a，得 2a＜a+b，即 a＜(a+b)/2； 由 a＜b，两边同加 b，得 a+b＜2b，即 (a+b)/2＜b。 综上，a＜(a+b)/2＜b。……………（4分） 五、命题说明 本卷依据人教A版（2019课标版）高中数学必修第一册第二章第2.1节《等式性质与不等式性质》编写，题型结构参考云南省高中一年级期末学业水平考试数学试卷（单项选择题＋多项选择题＋填空题＋解答题，满分100分）的组卷风格：选择题起点低、重基础，多项选择题考查判断的全面性，解答题分层递进，由“表示不等关系、比较大小”到“判断真假、证明不等式、求取值范围”。全部题目为原创变式，取材2024—2026年高考真题（2024上海卷等）及云南曲靖、玉溪、禄劝、官渡区、红河州、文山州等2023—2025学年期末试题的考查方向与设问方式，兼顾情境应用（第1、6、15题）与整体代换思想（第8、13题），与学科网既有原题不重复。 1 学科网（北京）股份有限公司 $