专题2.1 等式性质与不等式性质 重难点题型精练【6大题型+专题训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精练 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 利用不等式的性质判断正误 题型03 利用作差法比较大小 题型04 利用作商法比较大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 利用不等式的性质求取值范围 题型01 用不等式表示不等关系 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 题型02 利用不等式的性质判断正误 5．（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 6．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 8．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 利用作差法比较大小 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 11．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 12．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 题型04 利用作商法比较大小 13．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 14．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 15．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 16．（25-26高一上·全国·随堂练习）（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 题型05 利用不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 19．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 20．（25-26高三上·山东潍坊·期末）证明不等式：． 题型06 利用不等式的性质求取值范围 21．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求的取值范围. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 24．（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若不等式，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一·全国·寒假作业）已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 12．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 13．（25-26高一上·全国·随堂练习）__________.（填“＞”或“＜”） 14．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 15．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 16．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精练 题型01 用不等式表示不等关系 题型02 利用不等式的性质判断正误 题型03 利用作差法比较大小 题型04 利用作商法比较大小 题型05 利用不等式的性质证明不等式 题型06 利用不等式的性质求取值范围 题型01 用不等式表示不等关系 1．（26-27高三上·北京房山·开学考试）奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【答案】 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元， 设木工人，瓦工人，可得总的工资为， 又因为现有工人工资预算元，故，化简可得. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 题型02 利用不等式的性质判断正误 5．（26-27高三上·四川·阶段检测）（多选）已知，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ ，可知，即，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变. ∴ ，故A正确. 对于选项B： 取反例：，，，，满足，， 此时，，，不满足，故B错误. 对于选项C： 作差得. ∵ ，∴ ，. ∴ ，即，故C正确. 对于选项D： 取反例：，，，满足且， 此时，，，即，不满足. 故D错误. 6．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，由，可得，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，由，可得，C错误； 对于D，由，可得，D错误. 7．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 8．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 题型03 利用作差法比较大小 9．（26-27高一上·全国·课后作业）若且，则下面三个不等式： （1）； （2）； （3）； 其中不成立的是_________.（请你把正确的序号都填上） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1），分母正负无法确定，故错误； （2）若，故错误； （3）若，故错误. 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则与的大小关系为________.与1的大小关系为________　. 【答案】 ≤ <1 【详解】，当且仅当 时等号成立， 所以 ，所以 11．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）（1）已知，比较与的大小； （2）若，，，求证：． 【答案】（1）； （2） 因为，，， 所以，， 所以原式大于0， 即. 【分析】（1）作差后配方来判断符号，即可得大小关系； （2）作差后通分，由题目条件判断符号，即可证明大小关系. 【详解】（1）， 所以. （2）略 12．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 【答案】 【分析】通过作差法比大小，把作差后的式子化简为可以判断正负的式子即可判断两式子的大小. 【详解】两式作差可得： 为不等的实数， ， 综上所述： 题型04 利用作商法比较大小 13．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 14．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 15．（25-26高一上·上海徐汇·阶段检测）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 16．（25-26高一上·全国·随堂练习）（1）若，试比较和的大小； （2）若，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）两式作差整理，分别讨论，，三种情况，即可得出结果； （2）两式作商，根据题中条件，即可证明结论成立. 【详解】（1）作差得：； 所以当时，； 当时，； 当时，； （2）作商得：， ∵，∴，且， ∴，因此. 题型05 利用不等式的性质证明不等式 17．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【答案】证明： 假设，都不小于，即，， ∵，，∴，. ∴. 即，这与已知矛盾. ∴，中至少有一个小于. 【分析】假设，都不小于，利用不等式的性质推出矛盾，即可证明. 【详解】略. 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 19．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（1）已知x，y，m，n都是正数，且，，求证：； （2）证明：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】（1） 因为，m，n都是正数，不等式两边同乘以得， 又x，y都是正数且，所以，， 故， 所以； （2） 充分性：，故， 一元二次方程变形为， 即，， ，故方程的一个根为，充分性成立； 必要性：将代入一元二次方程得，必要性成立； 所以是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【分析】（1）先得到，从而得到，作差法得到，证明出结论； （2）先证明充分性，再证明必要性，从而得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26高三上·山东潍坊·期末）证明不等式：． 【答案】证明：依题意，， 当且仅当时取等号， 所以. 【分析】利用作差法比较大小即可得证. 【详解】略. 题型06 利用不等式的性质求取值范围 21．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 22．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求的取值范围. 【答案】 【分析】先得到，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 24．（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案； （2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可. 【详解】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 1．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助不等式的同向可加性计算即可得. 【详解】由，则，则， 又，则. 故选：A. 2．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）若不等式，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意到，根据不等性质直接计算即可. 【详解】由， 因为，所以， 又，所以， 即的取值范围为， 故选：D. 3．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 4．（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，当，，当，，故A错误； B. 若，则，故B正确； C. 若，当，则，故C错误； D. 当且仅当时，才有，故D错误. 6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 7．（25-26高一·全国·寒假作业）已知a，b,c,d是实数，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用不等式性质化简得出充分性成立，再应用特殊值法判断必要性即可. 【详解】当， 又，∴，充分性成立， 反过来，不妨取，，，，则， 但且不成立，故必要性不成立． 故选：A. 8．（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 11．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项B通过举出反例来说明其错误，选项A、C、D利用不等式的性质来说明其正确． 【详解】选项A：，所以，所以，故，故A正确； 选项B：当时，，故B错误； 对于C：因为，所以同号，故时，，故C正确； 对于D：由糖水不等式，所以，故D正确． 12．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知实数a，b满足，，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得范围. 【详解】由条件可知，， 两式相加得，即． 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·随堂练习）__________.（填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，结合分析法，即可得出结论. 【详解】，， ∵且 ∴， 即． 故答案为：. 14．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 15．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）略 16．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）(2)（3）由不等式的性质即可求解； 【详解】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 学科网（北京）股份有限公司 $