1.5 全称量词与存在量词章节练习卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026—2027学年上学期 · 人教A版（2019课标版）高一数学必修第一册 · 第一章《集合与常用逻辑用语》 1.5 全称量词与存在量词　章节练习卷 （满分：100分　　考试时间：90分钟） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷考查人教A版（2019课标版）高一数学必修第一册第一章第1.5节《全称量词与存在量词》全部内容，含全称量词与存在量词的概念、全称量词命题与存在量词命题及其真假判断、含一个量词的命题的否定、依据命题真假求参数范围。 2．全卷共四大题、18小题。请在密封线内规范填写班级、姓名，考试结束将试卷交回。 3．选择题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应选项涂黑；多项选择题全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。填空题和解答题请作答在指定位置。 4．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列命题中是存在量词命题的是（　　） A．平行四边形的对边相等　　　　B．所有正数的平方根都有两个 C．至少有一个实数x，使x²+x+1=0　　　　D．每一个三角形的内角和都是180° 2．命题“∀x∈R，x²-2x+2≥0”的否定是（　　） A．∀x∈R，x²-2x+2<0　　　　B．∃x∈R，x²-2x+2<0 C．∃x∈R，x²-2x+2>0　　　　D．∃x∉R，x²-2x+2<0 3．下列命题为真命题的是（　　） A．∀x∈N，x²>x　　　　B．∃x∈Z，x²=2 C．∃x∈R，x²+2x+2=0　　　　D．∃x∈Q，x²=¼ 4．已知命题p：∀x∈R，x²≥x；命题q：∃x∈N，x²=x+2，则（　　） A．p和q都是真命题　　　　B．p和¬q都是真命题 C．¬p和q都是真命题　　　　D．¬p和¬q都是真命题 5．命题“∀a<b，|a|≤|b|”的否定是（　　） A．∀a<b，|a|>|b|　　　　B．∃a<b，|a|>|b| C．∃a≥b，|a|>|b|　　　　D．∃a≥b，|a|≤|b| 6．下列命题为真命题的是（　　） A．∀x∈R，x²+2x+2>0　　　　B．∃x∈R，x²+x+1=0 C．∀x∈N，2x≥x+1　　　　D．∃x∈Z，|x|=x-1 7．若命题“∃x∈[-1,2]，x²-a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（　　） A．-1　　　　B．0 C．1　　　　D．2 8．若命题“∀x∈[1,2]，x²-mx+4≥0”为真命题，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4　　　　B．m≤5 C．m≥-4　　　　D．m≤-5 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A．∃x∈Z，x²-x-6=0 B．有些三角形是直角三角形 C．∃x∈R，x²+1=0 D．所有正数都有平方根 10．已知命题p：∀x∈N，x²>x；命题q：∃x∈R，x²+2x+3=0，则下列说法正确的是（　　） A．p是真命题 B．q是真命题 C．¬q是真命题 D．¬p是真命题 11．下列说法正确的有（　　） A．命题“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是“∃x∈R，x²+1<1” B．命题“∃x∈Q，x²=2”是真命题 C．若命题“∃x∈R，x²+2x+a=0”为假命题，则实数a的取值范围是{a|a>1} D．若命题“∀x∈R，x²-2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是{a|a≥1} 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．命题“∀x∈N，x²+x+1≥1”的否定是______。 13．若命题“∀x∈[-1,2]，x²-2x-a≤0”为真命题，则实数a的取值范围是______。 14．高斯函数（取整函数）[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]=1，[3.9]=3，[-1.5]=-2。命题“∀x∈R，[x]≥x”的否定是______，该否定是______命题（填“真”或“假”）。 四、解答题（本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： （1）存在一个实数x，使x²+x+1=0； （2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线。 16．（8分）已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+1>0。 （1）写出命题p的否定¬p； （2）若p为真命题，求实数a的取值范围。 17．（9分）已知命题p：∀x∈[1,3]，x²-2x-a≤0；命题q：∃x∈R，x²+2ax+2a=0。 （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若q为真命题，求实数a的取值范围； （3）若p和q均为假命题，求实数a的取值范围。 18．（10分）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x²-4x+3<0}（如图1所示）。 （1）判断命题“∃x∈A，x∈B”的真假，并说明理由； （2）写出命题“∀x∈A，x∈B”的否定，并判断其真假； （3）已知命题p：“∀x∈A，x²-ax+2>0”为真命题，求实数a的取值范围。 图1 参考答案与评分标准 一、双向细目表 题号 题型 分值 考查内容 难度 1 单选 4 全称量词命题与存在量词命题的识别 基础 2 单选 4 全称量词命题的否定（改量词、否结论） 基础 3 单选 4 命题真假判断（举反例/找特例） 基础 4 单选 4 全称、存在命题真假及其否定 中档 5 单选 4 存在量词命题的否定（条件不变） 中档 6 单选 4 命题真假判断（配方、数集特性） 中档 7 单选 4 由“存在”命题真假求参数（能成立） 中档 8 单选 4 由“全称”命题真假求参数（恒成立） 较难 9 多选 6 存在量词命题识别与真假判断 中档 10 多选 6 命题及其否定的真假判断 中档 11 多选 6 否定写法＋由真假求参数（判别式） 较难 12 填空 5 全称量词命题的否定（自然数集） 基础 13 填空 5 由真假求参数（区间最值） 中档 14 填空 5 高斯函数情境：否定与真假 中档 15 解答 8 写出否定并判断真假（三个命题） 中档 16 解答 8 含参二次不等式恒成立（分类讨论） 中档 17 解答 9 恒成立/能成立求参数（判别式） 较难 18 解答 10 集合与量词综合＋恒成立（双勾函数） 较难 难度配比（按分值统计）：基础题17分（占17%），中档题54分（占54%），较难题29分（占29%），难度梯度与高一新课教学进度匹配，适合学完本节后的巩固检测使用。 二、选择题答案 1．C　　2．B　　3．D　　4．C　　5．B　　6．A　　7．B　　8．A 9．AB　　10．CD　　11．ACD 三、填空题答案 12．∃x∈N，x²+x+1<1　　13．{a|a≥3}　　14．∃x∈R，[x]<x；真 四、解答题答案与评分标准 15．解： （1）否定：∀x∈R，x²+x+1≠0。 因为x²+x+1=(x+½)²+¾>0恒成立，所以该否定是真命题。……………（3分） （2）否定：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除。 末位数字是0或5的整数都是5的倍数，原命题为真命题，故其否定为假命题。……………（3分） （3）否定：任意两个相交平面都不垂直于同一条直线。 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能相交，故原命题为假命题，其否定为真命题。……………（2分） 16．解： （1）¬p：∃x∈R，ax²+2x+1≤0。……………（2分） （2）p为真命题，即ax²+2x+1>0对任意x∈R恒成立。 当a=0时，不等式为2x+1>0，不恒成立，不符合题意；……………（2分） 当a≠0时，需满足a>0，且Δ=4-4a<0，解得a>1。……………（3分） 综上，实数a的取值范围是{a|a>1}。……………（1分） 17．解： （1）p为真命题，即x²-2x-a≤0对任意x∈[1,3]恒成立， 则a≥x²-2x对任意x∈[1,3]恒成立。 因为x²-2x=(x-1)²-1在[1,3]上的最大值为3（当x=3时取得）， 所以a≥3，即a的取值范围是{a|a≥3}。……………（3分） （2）q为真命题，即方程x²+2ax+2a=0有实数根， 所以Δ=(2a)²-4×2a=4a(a-2)≥0，解得a≤0或a≥2。……………（3分） （3）由p为假命题，得a<3；由q为假命题，得0<a<2。 取交集得0<a<2，即a的取值范围是{a|0<a<2}。……………（3分） 18．解： （1）由x²-4x+3<0，得B={x|1<x<3}。 因为B⊆A且B≠∅，例如取x=2，则2∈A且2∈B， 所以命题“∃x∈A，x∈B”是真命题。……………（3分） （2）命题“∀x∈A，x∈B”的否定是“∃x∈A，x∉B”。 取x=1，则1∈A，但1∉B（1不满足1<x<3），故该否定是真命题。……………（3分） （3）p为真命题，即x²-ax+2>0对任意x∈[1,3]恒成立， 等价于a<x+2/x对任意x∈[1,3]恒成立（x>0）。 设f(x)=x+2/x，则f′(x)=1-2/x²，令f′(x)=0，得x=√2。 f(x)在[1,√2]上单调递减，在[√2,3]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(√2)=2√2。 要使a<f(x)恒成立，需a<2√2。 故实数a的取值范围是{a|a<2√2}。……………（4分） 五、命题说明 本卷依据人教A版（2019课标版）高中数学必修第一册第一章第1.5节《全称量词与存在量词》编写，题型结构参考云南省高中一年级期末学业水平考试数学试卷（单项选择题＋多项选择题＋填空题＋解答题，满分100分）的组卷风格：选择题起点低、重基础，多项选择题考查判断的全面性，解答题分层递进，由“写否定、判真假”到“由真假求参数范围”。全部题目为原创变式，取材2024—2026年高考真题（2024新课标Ⅱ卷）及云南曲靖、昭通、昆明、德宏、红河、玉溪、官渡区等2024—2025学年期末试题的考查方向与设问方式，兼顾情境应用（第14题高斯函数）与分类讨论（第16、17题），与学科网既有原题不重复。 学科网（北京）股份有限公司 $