1.5全称量词与存在量词课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学上学期课时作业 人教A版必修一 第一章 1.5 全称量词与存在量词 一、作业目标 1. 知识目标 （1）通过具体实例，理解全称量词与存在量词的意义，能准确识别全称量词命题和存在量词命题。 （2）掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断方法：全称命题为真需验证全部对象，为假只需举出一个反例；存在命题为真只需找到一个实例，为假需证明全部对象均不满足。 （3）能正确写出含有一个量词的命题的否定，理解全称命题的否定是存在命题、存在命题的否定是全称命题这一对应关系。 2. 素养目标 （1）数学抽象：从生活与数学实例中抽象出量词概念，体会符号化表达的意义。 （2）逻辑推理：通过命题真假的判断与命题否定，发展逻辑推理能力，培养严谨的思维习惯。 （3）数学建模：在跨学科情境和新情景中识别量词结构，将实际问题转化为含量词的数学命题。 3. 分层目标 层级 目标要求 对应题号 基础层（必做） 识别量词类型，判断简单命题真假，写出标准否定 1—7 提高层（选做） 含量词命题的逆向求参，复合情境中的量词辨析 8—10 拓展层（挑战） 多量词命题的理解与转化，跨学科建模与开放探究 11—13 二、作业内容 第Ⅰ部分：基础巩固（必做，建议用时20分钟） 1. 下列命题中，是全称量词命题的是（　　） A. 存在一个实数 x ，使 B. 至少有一个整数 n ，使得 n 能被3整除 C. 每一个菱形的对角线都互相垂直 D. 有些无理数的平方是有理数 1. 命题“ ， ”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 1. 下列命题为真命题的是（　　） A. ， B. ， C. ， 是偶数 D. ， 1. 用符号“ ”或“ ”表示下列命题，并判断其真假： （1）任意实数的绝对值都大于等于零。 （2）存在一个整数，它既是偶数又是奇数。 1. （原创） 写出下列命题的否定，并判断所得否定的真假： （1） p ：所有三角形的内角和都等于 。 （2） q ：存在一个实数 x ，使得 。 1. 若命题“ ， ”为真命题，则实数 a 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 1. （探究题） 命题“ ， ”为真命题，探究实数 a 的所有可能取值，并说明你的探究过程。 第Ⅱ部分：综合应用（必做，建议用时15分钟） 1. （新情景题） 周口市某中学高一年级组织“数学文化节”活动，筹办组需要从全年级560名学生中选拔志愿者。以下是筹办组成员小李和小王的两段陈述： 小李：“参与报名的每一位同学都至少擅长一项才艺。” 小王：“有些参与报名的同学既擅长书法又擅长绘画。” 已知参与报名的同学共有42人。请回答： 1. 小李和小王的陈述分别属于哪种量词命题？ 1. 如果小李的陈述为假命题，至少需要几名同学不满足条件？请说明理由。 1. 如果小王的陈述为真命题，能否推出“有些参与报名的同学擅长书法”是真命题？为什么？ 1. （·跨学科题·物理情境） 在物理实验中，某同学记录了自由落体运动的部分数据，并提出了以下两个陈述： 甲：“对于任意时间 （ ），物体下落的距离 都大于 。” 乙：“存在某个时刻 ，使得物体下落的距离恰好等于 。” 已知自由落体距离公式为 （取 ）。 1. 分别判断甲、乙两个陈述是全称量词命题还是存在量词命题。 1. 判断甲、乙两个陈述的真假，并说明理由。 1. 写出甲的否定命题，并判断其真假。 1. （开放题） 请构造一个含有量词的命题，使得该命题为真命题，并且它的否定也是真命题。这样的命题可能存在吗？如果存在，请举例说明；如果不存在，请阐述理由。 第Ⅲ部分：拓展探究（选做，建议用时15分钟） 1. （探究题） 已知命题 p ：“ ， ”为真命题。 1. 求实数 a 的取值范围。 1. 若将命题 p 改为“ ， ”，其他条件不变，求实数 a 的取值范围。 1. 比较（1）和（2）的结果，你发现了什么规律？请用你自己的语言概括全称量词命题与存在量词命题在求参数范围时的区别与联系。 1. （跨学科题·地理情境） 周口市地处豫东平原，属暖温带半湿润季风气候。某研究性学习小组收集了周口市近十年七月份的气温数据，得到如下两条结论： 结论①：近十年中，每一个七月的日平均气温都不超过 。 结论②：近十年中，存在某一个七月，其月平均气温超过 。 1. 将结论①和结论②分别用符号语言表示为含量词的命题（设 表示第 年七月的日平均气温， ）。 1. 写出结论①的否定。如果结论①的否定为真命题，这意味着什么？ 1. 若结论②的否定为真命题，请判断结论①的真假，并说明理由。 1. （开放探究题） 在数学中，全称量词“ ”和存在量词“ ”是描述命题范围的重要工具。请完成以下探究任务： 1. 从已学过的数学知识（如函数、方程、不等式、数列等）中，各举出一个全称量词命题和存在量词命题的实例，并判断其真假。 1. 探究：“ ， ”的否定是“ ， ”，“ ， ”的否定是“ ， ”。请从集合的角度解释这种否定规则为什么是合理的。（提示：从“满足条件的元素集合”与“不满足条件的元素集合”的关系角度思考。） 1. 选做：在日常生活中，人们常用“所有”“有些”“每一个”“至少有一个”等词语进行表述。请收集3个含有此类词语的生活实例（如广告语、新闻标题、法律条文等），分析其中量词的使用是否准确，是否存在歧义。以短文形式呈现你的分析结果（200字左右）。 三、作业实施建议 1. 时间安排 建议将本次课时作业安排在本节新授课结束后当天完成。第Ⅰ部分和第Ⅱ部分为必做内容，建议总用时控制在35分钟以内；第Ⅲ部分为选做内容，学生可根据自身情况自主选择是否完成。 2. 分层实施策略 基础层（第1—7题） ：面向全体学生，重点检测量词概念的辨析和命题真假的判断。第7题为探究题，考查学生分类讨论的意识，教师可允许学生用文字描述探究过程，不必强求严格的形式化书写。 提高层（第8—10题） ：面向中等及以上水平学生。第8题以校园活动为背景，降低抽象度，帮助学生在熟悉情境中理解量词；第9题融合物理学科知识，培养跨学科建模能力；第10题为开放题，鼓励学生大胆尝试、多角度思考。 拓展层（第11—13题） ：面向学有余力的学生。第11题聚焦含量词命题的逆向求参，引导学生从“恒成立”与“能成立”的对比中提炼规律；第12题融合地理数据分析，引导学生用数学语言描述现实问题；第13题是综合性开放探究，第（3）问以短文写作为载体，培养数学表达与批判性思维。 3. 教学建议 （1）前置铺垫：在布置作业前，教师可在课堂上用2—3分钟回顾全称量词和存在量词的符号表示，以及命题否定的基本规则，帮助学生建立知识框架。 （2）弹性选择：第Ⅲ部分不强制全体学生完成，但鼓励学生至少尝试第11题和第13题的第（1）（2）问。第13题第（3）问为完全开放性任务，对写作能力较强的学生具有较好的锻炼价值。 （3）合作探究：建议将第12题设计为小组合作任务，由3—4名学生共同完成数据整理和命题分析，在合作中培养交流与协作能力。 （4）错题整理：要求学生将第2题、第6题和第11题中的易错点整理到数学笔记本上，形成个人错题档案。 四、参考答案与解析 第Ⅰ部分：基础巩固 1. 答案：C 解析：C项中“每一个”是全称量词，该命题为全称量词命题。A项“存在一个”、B项“至少有一个”、D项“有些”均为存在量词，对应命题为存在量词命题。判断一个命题是否为全称量词命题，关键在于识别其中是否含有“所有”“任意”“每一个”“一切”等全称量词。 2. 答案：B 解析：存在量词命题“”的否定是“”。原命题中为“”，其否定为“”。因此否定命题为“”，选B。注意：否定的关键词“”变为“”，结论中的“<”变为“≥”，两者缺一不可。 3. 答案：B 解析：A项为假，因为当时，，不满足；B项为真，取，有，成立；C项为假，因为一定是奇数（如时）；D项为假，因为的实数解为，均不是有理数。 4. 答案： （1）。真命题。 （2），既是偶数又是奇数。假命题。 解析：（1）绝对值的定义保证任意实数的绝对值非负，命题为真。（2）一个整数不可能同时是偶数和奇数，不存在这样的整数，命题为假。 5. 答案： （1）：存在一个三角形，其内角和不等于。假命题。 （2）：对所有实数，。真命题。 解析：（1）原命题为真，因为三角形内角和定理是平面几何的基本结论。否定命题为假。（2）原命题中方程的判别式，方程无实数解，故原命题为假，否定命题为真。 6. 答案：A 解析：命题“”为真，等价于对内所有，恒成立。只需。在上，的最大值为，故。注意区分“”与“”：若，当时，满足，故正确。 7. 答案： 详见解析。 探究过程： 当时，方程变为，得，存在实数解，命题为真。 当时，方程为一元二次方程。命题为真等价于方程有实数解，即判别式。，令，得。因此且。 综上，实数的取值范围为。 思维启示：本题需要分类讨论 和 两种情形，注意 时方程退化为一次方程，不可忽略。这是含量词命题求参问题中的常见易错点。 第Ⅱ部分：综合应用 8. 答案： （1）小李的陈述含有“每一位”（即“所有”），是全称量词命题。小王的陈述含有“有些”，是存在量词命题。 （2）至少需要1名同学不满足条件。理由：全称命题“每一位参与报名的同学都至少擅长一项才艺”的否定是存在量词命题：“存在至少一名参与报名的同学不擅长任何才艺。”因此，只要找到1名反例即可使命题为假。 （3）能推出。理由：小王的陈述“有些参与报名的同学既擅长书法又擅长绘画”为真，意味着存在至少一名同学同时具备书法和绘画两项才艺。由这名同学擅长书法，即可推出“存在参与报名的同学擅长书法”为真命题。这里体现的是从存在量词命题向“较弱”的存在量词命题的推理。 9. 答案： （1）甲含有“任意”，是全称量词命题。乙含有“存在”，是存在量词命题。 （2）甲为真命题：在内，恒成立，故甲为真。乙为真命题：令，得，，存在这样的时刻，故乙为真。 （3）甲的否定：存在某个时刻，使得。由于在上恒为正，该否定命题为假命题。 10. 答案： 不存在。 理由阐述： 对于同一个命题，和互为否定，二者必有一真一假，不可能同时为真，也不可能同时为假。这是命题否定的基本性质——逻辑上的“矛盾关系”。如果为真，则必为假；反之亦然。因此，不存在一个命题使得该命题及其否定同时为真命题。 拓展思考：在量子力学等领域中，存在“既真又假”的叠加态描述，但这属于物理学中测量前的量子态特征，与经典逻辑学中命题的真假二值性有本质区别。 第Ⅲ部分：拓展探究 11. 答案： （1）。 （2）。 （3）发现的规律： 全称量词命题“”为真，等价于在区间上的最大值（即）。 存在量词命题“”为真，等价于在区间上的最小值（即）。 联系：两者的共同点是都需要将含参命题转化为不含参的“恒成立”或“能成立”问题；区别在于全称量词对应最值上界（取最大），存在量词对应最值下界（取最小）。记忆口诀：“全称取最大，存在取最小。” 12. 答案： （1）结论①：。结论②：。 （2）结论①的否定：。如果否定为真，意味着近十年中至少有一个七月的日平均气温超过了，即出现了极端高温天气。 （3）若结论②的否定为真，则，即近十年每个七月的日平均气温都不超过。由于，这当然满足，因此结论①为真命题。这里体现的是：如果所有对象都满足一个“更强”的条件（），那么它们也必然满足一个“更弱”的条件（）。 13. 答案（参考示例）： （1）全称量词命题实例：“。”真命题。 存在量词命题实例：“。”真命题（取）。 （2）从集合角度的解释： 设，。显然，且——即和是的一个划分，它们互为补集。 命题“”为真⟺ “不存在使得”。它的否定“”为真⟺ “并非所有都满足”。 同理，命题“”为真。它的否定“”为真⟺ “不存在使得”。 因此，从集合的补集关系来看，“全称”对应“全集”，“存在”对应“非空子集”，否定操作恰好在这两个概念之间建立了一一对应。 （3）短文示例（学生需独立完成，以下为评分参考） ： 生活中的量词使用分析 ① 广告语“所有人的美好生活，都离不开XX品牌”——“所有人”是全称量词，但该表述过于绝对化，实际上不可能验证每个人，存在夸大宣传的嫌疑。 ② 新闻标题“某市有些老旧小区已完成电梯加装”——“有些”是存在量词，表述较为严谨，只陈述了部分事实，未做出过度承诺。 ③ 法律条文“任何组织或者个人不得侵犯他人的隐私权”——“任何”是全称量词，强调义务的普遍性和无条件性，体现了法律的严肃性。 启示：在严肃场合使用全称量词应慎重，需确保表述的准确性；在文学或广告中，全称量词常被用于增强感染力，但可能带来逻辑上的不严谨。 五、作业评价标准 1. 总体评价框架 本作业采用“分层评价+过程评价”相结合的方式，既关注学生对基础知识与基本技能的掌握，也重视探究过程、思维品质和创新意识。评价分为教师评价、同伴互评和学生自评三个维度。 2. 分层评价量规 第Ⅰ部分（基础巩固） 评价维度 优秀（A） 良好（B） 待改进（C） 量词辨析（第1题） 准确判断，能说出判断依据 选对答案但理由不完整 概念混淆，选错 否定规则（第2、5题） 量词和结论同时正确否定 否定规则基本正确，偶有遗漏 只改量词或只改结论 真假判断（第3、4题） 判断准确，理由充分 判断基本正确，理由简略 真假判断出错 逆向求参（第6题） 准确求参，注意边界条件 结果正确，过程略写 忽略边界或转化出错 探究过程（第7题） 分类完整，逻辑清晰，有反思 分类基本完整，过程可读 遗漏情形或过程混乱 第Ⅱ部分（综合应用） 评价维度 优秀（A） 良好（B） 待改进（C） 情境转化（第8题） 准确识别量词类型，多角度分析 识别正确，分析较单一 识别困难 跨学科应用（第9题） 物理理解准确，数学表达规范 结论正确，表达不够规范 学科融合有障碍 开放思维（第10题） 论证严谨，观点清晰 方向正确，论证不充分 思路不清 第Ⅲ部分（拓展探究） 评价维度 优秀（A） 良好（B） 待改进（C） 规律发现（第11题） 自主归纳出一般规律，表述准确 能在引导下发现规律 仅完成具体计算 建模分析（第12题） 符号化准确，推理链条完整 推理基本正确 符号表达有误 综合表达（第13题） 实例恰当，集合解释清晰，短文有见解 任务基本完成 任务完成不完整 3. 过程性评价建议 （1）探究过程记录：第7题、第11题和第13题鼓励学生在作业本上保留探究过程的痕迹（包括草稿、尝试和反思），教师可对探究过程给予额外的过程分。 （2）同伴互评：第10题和第13题第（3）问适合开展同伴互评。建议同桌交换作业，根据“论证是否清晰”“举例是否恰当”两个标准进行互评。 （3）教师反馈重点：重点关注学生在第2题中是否同时否定了量词和结论，在第6题中是否注意了边界条件，在第11题中是否自主归纳出了“全称取最大，存在取最小”的规律。这些是本节的核心易错点。 （4）激励性评价：对第10题和第13题中表现出创造性思维的学生给予肯定性评语，如“你的举例很有新意”“你的短文分析视角独特”等。 作业设计说明：本作业面向周口市高一学生，原创设计，充分考虑了不同层次学生的学习需求。基础部分面向全体，确保底线达标；综合应用部分融合校园生活、物理实验和地理数据，体现数学的应用价值；拓展探究部分设有完全开放的任务，为学有余力的学生提供思维发展的空间。全卷共13题，必做部分建议用时35分钟，选做部分建议用时15分钟，总量适中，符合“减负提质”的要求。 学科网（北京）股份有限公司 $