3.4三角形相似的性质（第一课时）课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第三章 图形的相似 5.4相似三角形的性质（第一课时） 北师大版初中数学 九年级上册 学习目标 01 02 明确相似三角形中对应线段的比与相似比的关系； 03 重点：相似三角形中对应线段的比与相似比的关系； 04 难点：熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。 熟练运用相似三角形的性质解决实际问题； 温故知新 1.相似三角形的判定方法有哪些？ 证二组对应角相等 证三组对应边成比例 证二组对应边成比例，且夹角相等 温故知新 2.什么叫相似三角形？根据定义，你知道相似三角形的什么性质吗？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 角：对应角相等 边：对应边成比例 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= 如右图，△A B C ∽△A′B′C′ 注意： 顺序！ 新课引入 我们知道：两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等。 两个相似三角形的这些 对应线段又会有怎样的关系呢？ 新课讲解 B C A’ B’ C’ D D’ 问题1.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, 它们对应高AD: A’ D’是多少？ 归纳：相似三角形对应高之比等于相似比. A ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 符号语言： ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ AD、A’D’为高 相似比为k, ∴ AD：A’D’=k My First Template 新课讲解 A B C A’ B’ C’ D D’ 问题2.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, 它们对应中线AD: A’ D’是多少？ ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 归纳：相似三角形对应中线之比等于相似比. 符号语言： ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ AD、A’D’为中线 相似比为k, ∴ AD：A’D’=k My First Template 新课讲解 A B C A’ B’ C’ D D’ ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 问题3.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, 它们对应角的平分线AD: A’ D’是多少？ 归纳：相似三角形对应角平分线之比等于相似比. 符号语言： ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ AD、A’D’为角平分线 相似比为k, ∴ AD：A’D’=k My First Template 新课讲解 A B C A’ B’ C’ D D’ 问题4.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, D、D’在BC、B’C’上，BD: B’D’=BC:B’C’ 则AD:A’D’是多少？ ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 归纳：相似三角形对应线段之比等于相似比. 符号语言： ∵ Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ BD: B’D’=BC:B’C’ 相似比为k, ∴ AD：A’D’=k 拓展与提高 My First Template 新课讲解 A B C A’ B’ C’ D D’ 问题5.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, ∠BAD=1/3 ∠BAC, ∠B ’A’D ’=1/3 B ’ A’C ’, 则AD: A’ D’是多少？ 归纳：相似三角形对应线段之比等于相似比. 你会证明吗？ 拓展与提高 问题6.已知：Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’相似比为k, ∠BAD=1/n ∠BAC, ∠B ’A’D ’=1/n B ’ A’C ’, 则AD: A’ D’是多少？ My First Template 新课讲解 1.相似三角形对应高之比等于相似比； 2.相似三角形对应中线之比等于相似比； 3.相似三角形对应角平分线之比等于相似比； 4.相似三角形对应线段之比等于相似比. 知识归纳总结： My First Template 典例讲解 例1.如图所示，AD 是 △ABC 的高，AD=h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E。当SR= 时，求 DE 的长； 如果 SR= 呢？ 如果 SR= 呢？ 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD， ∴ SR∥BC ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C ∴ △ASR∼△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ AE：AD=SR：BC（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即（ AD−DE）：AD=SR：BC 当 SR= 时，（h−DE）：h= ，解得 DE= 当 SR= 时，（h−DE）：h= ，解得 DE= 当 SR= 时，（h−DE）：h= ，解得 DE= My First Template 典例讲解 例2、两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解：方法一：设其中较短的角平分线的长为xcm，则另一条角平分线的长为（42－x）cm. 根据题意，得 . 解得x＝18. 所以42－x＝24（cm）. 解：方法二：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有 ， 解得x＝18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm. My First Template 典例讲解 例3.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 求这个正方形零件的边长 AK是△AEF的高吗？ 解∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴△AEF∽△ABC； ∴ ， ∵BC=120,高AD=80,设EG=EF=x , ∴ ， 解得：x=48，答：这个正方形零件的边长为48mm 如何求AK？ My First Template 典例讲解 变式1.如图2，把它加工成矩形零件，当EG：EF=4：9时， 求矩形EGHF的周长 解∵EG：EF=4：9， ∴设EG=4a mm,则EF=9a mm, ∵四边形EGHF是矩形， ∴EF∥BC，HD=EG=4a mm,即AH=(80-4a)mm, ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴△AEF∽△ABC， ∴ ， ∴ ， 解得：a=8， ∴EG=32mm,则EF=72mm, ∴矩形EGHF的周长是：2×(32+72)=208(mm) My First Template 典例讲解 变式2.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成等边三角形零件，使它的一个顶点D在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，求这个等边三角形零件的边长是多少？ A B D C E F My First Template 典例讲解 变式3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成等腰直角三角形零件，使它的一个顶点D在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上，求这个等腰直角三角形零件的边长是多少？ A B D C E F A B D C E F A B D C E F 有哪几种可能？ My First Template 典例讲解 例5.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸每隔5米有一棵树，在北岸每隔50米有一根电线杆，小丽站在离岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米？ 解：根据题意可知△PDC∽△PBA ∴ 设河宽x米 ∴ ， 解得x＝22.5， ∴河宽为22.5米． My First Template 掌握相似三角形的性质： （1）对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比. （3）相似三角形对应线段的比等于相似比. My First Template 同步练习 1.如果两个相似三角形的相似比为 8:9，那么它们对应高的比为（ ） A．8:9 B．9:8 C．64:81 D． :3 A My First Template 同步练习 2.△ABC∼△A1B1C1，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 BD:B1D1=3:2，B1D1=4 cm，则 BD=______ cm。 6 3.已知 △ABC∼△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC=6 cm，EF=4 cm，BG=4.8 cm。 则 EH 的长= 。 3.2cm My First Template 同步练习 3.如图，△ABC∼△A′B′C′，AD、BE分别是△ABC的高和中线，A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4，A′D′=3，BE=6，则B′E′的长为 . 4.5 My First Template 同步练习 4.已知△ABC∼△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应高，AE和A′E′是它们的对应中线，且BD=8cm，B′D′=4cm，A′E′=5cm，则AE=________cm。 10 5.已知△ABC∼△A′B′C′且相似比为 ，△A'B'C'∼△A''B''C''且相似比为 ，则△ABC与△A''B''C''的相似比为 . My First Template 同步练习 6.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm。 16 My First Template 同步练习 7.如图，在两栋楼房之间的草坪中有一棵树，已知楼房AB的高度为10米，楼房CD的高度为15米，从A处看楼顶C处正好通过树顶E，而从D处看楼顶B处也正好通过树顶E．求这棵树的高度． 解：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴ ， ∵EF∥AB， ∴△FDE∽△ADB， ∴ ， ∵AB=10， ∴EF=6． 答：这棵树的高度为6米． 你能探索出AB、CD、EF 三条线段的数量关系吗？ My First Template 同步练习 8.如图，在△ABC中，BA=BC=40cm,AC=60cm,点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒， 解：(1)设运动时间为x秒，由已知得 ∴AP=4x cm,CQ=3x cm,则AQ=(60-3x)cm, ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴当 秒时，PQ∥BC； (1)x为何值时，PQ∥BC？ (2)当△APQ是直角三角形时，直接写出x的值． (2)如图，过点B作BD⊥AC于D， ∵BA=BC=40cm,AC=60cm, ∴ ， 当点P为直角顶点时，则∠APQ=90°， ∵∠A=∠A，∠APQ=∠BDA=90°， ∴△APQ∽△ADB， ∴ ，即 ， ； 当点Q为直角顶点时，则∠AQP=90°， ∵∠A=∠A，∠AQP=∠BDA=90°， ∴△APQ∽△ABD， ∴ ，即 ，得：x=10， 综上，当x=10秒或 秒时， △APQ是直角三角形． My First Template 教学反思 感谢聆听 $