第三章 图形的相似---3.2探索三角形相似的条件（第四课时）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版初中数学 九年级上册 第三章图形的相似 3.2探索三角形相似的条件 （第四课时） 01.理解黄金分割的定义并熟记黄金比 02.会找一条线段的黄金分割点 03.能理解黄金分割的意义并会用它解决简单问题 教学目标 04.通过观察、探索、发现，让学生体会生活中蕴含的数学之美 新课引入 在我们熟知的线段中有哪一个重要的点？ 中点 一条线段的中点只有一个 定义：把一条线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。 如图，点C叫做线段AB的中点，AC=CB C是线段AB的中点 比例关系 新课引入 通过观察，你觉得下面哪副图最有美感？ 某种恰当的比例关系可以使事物看起来更和谐。 新课引入 问题探究 1.你能从图中找到相等的角和相等的线段吗？ 相等的角：∠A= ∠E= ∠G= ∠B= ∠K ∠KLC= ∠KCL= ∠BCH= ∠BHC=∠GHF= ∠GFH 相等的线段:AL=KL=KC=BC=BH AC=DK=HK=LB=FB 2.你能从图中找出两对相似比不同的相似三角形吗？ 新课引入 3.小亮认为，你认为正确吗? 问题探究 新课讲解 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 你能计算出黄金比吗？ 解：由 ，得AC2= AB·BC。 设AB = 1，AC = x，则BC = 1 – x. ∴ x2 = 1 ·（1 - x）， 即 x2 + x – 1 = 0. 解方程得：x1= ， x2=（不合题意，舍去） 所以，黄金比 新课讲解 新课讲解 已知线段AB=a，点C是AB的黄金分割点，AC＞BC AC= ; BC= ; a a 归纳总结： 新课讲解 同学们，那我们怎么找到一条线段的黄金分割点呢？ 如图,已知线段AB,按照如下尺规方法作图: 1.经过点B作BD⊥AB,使BD AB 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE 点C就是线段AB的黄金分割点 其它作法 参考教材73页：阅读与思考 新课讲解 思考：点C为什么是线段AB的黄金分割点呢? 解：设AB=1 作BD⊥AB,使BD AB ,∴BD= 在AD上截取DE=DB，∴DE= 由勾股定理，AD2=AB2+BD2，∴AD= ∴AE=AD DE= 在AB上截取AC=AE，则AC ∴BC=AB-AC= ∴= , 因此 = = 所以点C为线段AB的黄金分割点 典例讲解 例1.如左图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把左图中虚线表示的矩形化成右图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇的发现 。 （1）点E是AB的黄金分割点吗？ 解：∵四边形AEFD是正方形， ∴AD=DF=EF=AE=BC ∵，∴ 因此，点E是AB的黄金分割点 （2）矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 解：矩形ABCD的宽与长的比是 由已知可得 由（1）可知E是AB的黄金分割点 所以矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 如图，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比 知识总结 则称矩形ABCD为黄金矩形 宽与长的比等于黄金比的矩形 称为黄金矩形 已知矩形ABCD为黄金矩形，AB＞AD 若四边形ADFE为正方形， 思考1：四边形BCFE是黄金矩形吗？ 若G在EF上，H在BC上，且BEGH是正方形. 思考2：四边形CFGH是黄金矩形吗？ G H 思考3：你还可以继续得到其它黄金矩形吗？ 生活中的黄金分割 国旗上的五角星中含有多个黄金分割点。 观察与欣赏 巴黎圣母院 联合国总部大厦 埃及金字塔 黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在古典及现代建筑中都有广泛的应用． 生活中的黄金分割 观察与欣赏 观察与欣赏 在台上讲话，站在中央显得太呆板，站在黄金分割点上，就会显得协调美观。 B C A 黄金分割的魅力 观察与欣赏 著名画家达•芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美. 黄金分割的魅力 观察与欣赏 黄金分割的魅力 雕塑－－维纳斯 人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 典例讲解 例2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感。小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比是0.6，她的身高是1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解：设小明妈妈的身高为h,头顶到肚脐的身高为h1， 脚底到肚脐的长度为h2。 由题意可知，h=1.6 m，=0.6 ∴h2= h0.6=0.96 m 设妈妈穿上 m高的高跟鞋 则0.618 带入数值，解的0.075 ∵0.075 m=7.5 cm 所以她应该穿7.5 cm的高跟鞋看起来更美。 典例讲解 2.如图，乐器上一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点。试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到点A的距离。 A D C B 解：∵C是靠近点B的黄金分割点 ∴，∴ ∴ 同理，. ∵ 一条线段黄金分割点有2个 已知线段AB=a，点C是AB的黄金分割点，AC＞BC AC= ; BC= ; a a 若点C、D都是AB的黄金分割点， 则CD= ; （-2）a D 归纳总结 同步练习 1．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2， 则AC长是____ 解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC ∴ ∴BC= ∴AC=2-BC== 解：① AC＜BC ∵点C是线段AB的黄金分割点 ∴ ∴BC= ∴AC=2-BC= ②AC＞BC ∵点C是线段AB的黄金分割点 ∴ ∴AC= 综上所述：AC=或 或 一条线段黄金分割点有2个 AC＜BC， 同步练习 2.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点. 解: 设AB=1,那么在 Rt△BAE 中, A B C D E F G H 同步练习 3. 如图:在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=36°， BD平分∠ABC交AC于点D, 求证：D是AC的黄金分割点. 证明：在等腰△ABC中，顶角∠A=36°， 所以∠ABC=∠C=72°， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=36°， 在△ACB和△BCD中，∠BDC=72° ∵∠C=∠C，∠A=∠CBD=36°， ∴△ACB∽△BCD， ∴AC：BC=BC：DC； ∵∠A=∠ABD， ∴AD=BD. ∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴AD=BC， ∴AC：AD=AD：DC； 即点D是AC的黄金分割点． 顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形： 即：底边：腰长=黄金比 了解与思考 顶角是108°的等腰三角形是黄金三角形： 即：腰长：底边=黄金比， 你会证明吗？ 顶角是36°的等腰三角形是黄金三角形： 即：底边：腰长=黄金比 同步练习 4.如图，某品牌汽车为打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，若车头与倒车镜的水平距离为1.58m,则该车车身总长约为多少？（结果精确到0.01m） 解：设倒车镜到车尾的距离为x m 因为倒车镜在整个车身的黄金分割点的位置 所以倒车镜到车头的距离比倒车镜到车尾的距离等于黄金比 所以0.618 解得x2.557 m 所以车的总长为1.58+x=4.137 m 答：该车车身总长约为4.14 m 谢谢您的观看 $