3.1.2等比性质-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦比例的等比性质，通过复习比例基本性质、拓展合比性质搭建知识支架，以设k法为通用解题工具，结合分母和不为0的前提条件及分类讨论，构建从基础到应用的学习脉络。 其亮点在于以推理能力为核心，通过专项练习、矩形相似等实例强化抽象能力与应用意识，设k法与分类讨论结合突破易错点。课堂小结系统梳理知识，助力学生形成逻辑思维，教师可依托资料提升教学针对性与效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.1.2等比性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 3.1.2 比例的等比性质 专项练习 本节课在成比例线段基本性质的基础上，重点学习比例的等比性质，是比例计算、几何线段求值、相似三角形铺垫计算的核心工具。本节公式规律性强、计算灵活，是九年级几何代数计算的高频基础考点，常以选择、填空、代数式求值题型考查。 一、核心知识梳理 1. 比例的基本性质（复习） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$（$$b eq0，d eq0$$），则交叉相乘得：$$ad=bc$$，是所有比例变形的基础。 2. 合比性质（拓展必会） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$$。简单理解：比例式分子加减分母，比值仍相等，常用于代数式整体变形求值。 3. 等比性质（本节课重点） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dots=k$$，且 $$b+d+f+\dots eq0$$，则： $$\dfrac{a+c+e+\dots}{b+d+f+\dots}=k$$ 文字总结：多个相等的比例，分子之和比分母之和，仍然等于原来的比值。 4. 核心前提条件 使用等比性质必须保证所有分母之和不为0，若分母和为0，不能直接套用公式，需单独分类讨论，这是本节课最大易错点。 5. 常用解题方法——设k法 所有比例式求值通用方法：令 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$$，则 $$a=bk，c=dk$$，代入代数式化简计算，适配所有比例题型，万能且不易出错。 6. 高频易错点汇总 1. 使用等比性质忽略分母和不为0的前提，直接套用公式导致漏解；2. 混淆合比性质与等比性质公式，变形出错；3. 设k法代入时代数式化简计算失误；4. 多组比例相等时，遗漏统一比值。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{2}{3}$$，则 $$\dfrac{a+c}{b+d}$$ 的值为（） A. $$\dfrac{2}{3}$$ B. $$\dfrac{3}{2}$$ C. $$\dfrac{5}{3}$$ D. $$1$$ 2. 若 $$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$$，则 $$\dfrac{x+y+z}{2+3+4}$$ 的值为（） A. 2 B. 3 C. $$\dfrac{x}{2}$$ D. 4 3. 运用等比性质的必要条件是（） A. 分子和为0 B. 分母和不为0 C. 比值大于0 D. 所有数为正数 4. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{2}$$，利用合比性质可得 $$\dfrac{a+b}{b}=$$（） A. $$\dfrac{1}{2}$$ B. $$\dfrac{3}{2}$$ C. 2 D. 3 5. 若 $$\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}=\dfrac{3}{5}$$，且 $$n+q=10$$，则 $$m+p=$$（） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 等比性质：若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}$$，且________，则 $$\dfrac{a+c+e}{b+d+f}=\dfrac{a}{b}$$。 2. 已知 $$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}$$，则 $$\dfrac{a+b+c}{12}=$$________。 3. 比例求值最通用的方法是________。 4. 若 $$\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}$$，则 $$\dfrac{x-y}{y}=$$________。 5. 已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{5}{7}$$，则 $$\dfrac{a+c}{b+d}=$$________。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）已知 $$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}$$，利用合比性质求：（1）$$\dfrac{a+b}{b}$$ （2）$$\dfrac{b-a}{a}$$ 2.（12分）已知 $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}$$，用等比性质求 $$\dfrac{x+y+z}{x+y-z}$$ 的值。 3.（18分）已知 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}$$，求 $$\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$$ 的值（分类讨论）。 4.（18分）综合拓展：已知 $$\dfrac{2a-b}{3}=\dfrac{3b-c}{4}=\dfrac{3c-a}{5}$$，利用设k法求 $$a:b:c$$。 三、参考答案与解析 选择题：1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 解析：1.直接套用等比性质，分子和比分母和等于原比值；2.等比性质结果等于任意一组原比值；3.分母和不为0是等比性质唯一硬性前提；4.合比性质 $$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$$；5.$$\dfrac{m+p}{n+q}=\dfrac{3}{5}$$，代入 $$n+q=10$$，得 $$m+p=6$$。 填空题：1.$$b+d+f eq0$$ 2.$$\dfrac{c}{4}$$（或$$\dfrac{a}{3}$$） 3.设k法 4.$$-\dfrac{1}{3}$$ 5.$$\dfrac{5}{7}$$ 解答题 1. 解：设 $$\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{5}=k$$，则 $$a=2k，b=5k$$。（1）原式$$=\dfrac{2k+5k}{5k}=\dfrac{7}{5}$$；（2）原式$$=\dfrac{5k-2k}{2k}=\dfrac{3}{2}$$。 2. 解：由等比性质得 $$\dfrac{x+y+z}{3+4+5}=\dfrac{x}{3}=k$$，令 $$x=3k，y=4k，z=5k$$。原式$$=\dfrac{3k+4k+5k}{3k+4k-5k}=\dfrac{12k}{2k}=6$$。 3. 解：设 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=k$$，则 $$a=bk，b=ck，c=ak$$，得 $$a=ak^3$$，即 $$k^3=1$$，$$k=1$$。当 $$a+b+c eq0$$时，$$a=b=c$$，原式$$=\dfrac{3a}{a}=3$$；当 $$a+b+c=0$$时，原式无意义（舍去）。综上，原式值为3。 4. 解：设 $$\dfrac{2a-b}{3}=\dfrac{3b-c}{4}=\dfrac{3c-a}{5}=k$$，列方程组：$$\begin{cases}2a-b=3k\\3b-c=4k\\3c-a=5k\end{cases}$$，解得 $$a=2k，b=k，c=-k$$，故 $$a:b:c=2:1:(-1)$$。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 如图，一个矩形广场的长为60 m，宽为40 m，广场内两条纵向小路的宽度均为1.5m，如果设两条横向小路的宽度都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似? 60 40 1.5 x 40-2x 60-2×1.5 = 解得x=1。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 知识点1 等比性质 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (1)这两个矩形相似吗? 相似 A D B C E H F G 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 如图，在矩形ABCD与矩形EFGH中，已知 ===2。 (2)你能求出的值吗? 知识点1 等比性质 A D B C E H F G 这就是两个矩形的周长比。 假设矩形EFGH的边长为： HE = a，EF = b，FG = c，HG = d， 则AB = 2a ，BC = 2b，CD = 2c，AD = 2d； 矩形ABCD周长：AB + BC + CD + AD = 2(a + b + c + d) 矩形EFGH周长：HE + EF + FG + HG = a + b + c + d 周长比= . 知识点1 等比性质 由此你能得出什么结论? 相似图形周长与边的关系： 如果两个多边形是相似多边形，那么它们的周长比等于对应边的比。 知识点1 等比性质 知识点1 比例的等比性质 1.已知，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.［教材例题变式］ 已知在和中， ， 则与 的周长之比为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 3.已知，若，则 ____。 12 返回 举一反三 9 已知a，b，c，d，e，f 六个数。如果 = = (b+d+f≠0)，那么 = 成立吗?为什么? 成立。理由如下： 设 = =k，则a=kb，c=kd，e=kf。 ∴ = = = k = 。 知识点1 等比性质 若成比例的比有多组(，且)，能否仿照上述方法推导规律? 能。设，则，，，。 分子的和为。 由于，因此。 知识点1 等比性质 等比性质： 如果==(b+d++n≠0)，那么= 知识点1 等比性质 在△ABC与△DEF中，已知 ，且△ABC的周长为 18cm，求△DEF的周长。 解：∵ ，∴ = 。 ∴ 4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD)， 即DE+EF+FD=(AB+BC+CA)， ∵ △ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm， ∴ DE+EF+FD=(AB+BC+CA)= 18=24(cm)， 即△DEF的周长为24cm。 例1 知识点1 等比性质 4.已知，，是的三边长，且。若 的周长 为60，求各边的长。 解：设，则 。 的周长为60， ， ， ，， ， 各边的长分别为20，16，24。 返回 举一反三 14 知识点2 比例的合比、分比性质 5.[成都中考] 若，则 ___。 4 返回 举一反三 15 6.若，则 __。 返回 举一反三 16 7.若，则 的值为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 17 8.已知,则 的值为__， 的值为__。 返回 举一反三 18 9.若，且，则___,___, ____。 6 9 12 返回 举一反三 19 10.如图，线段，，， 的端点都 在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比 例线段吗？说明理由，并计算 和 的周长比。 举一反三 20 解：是。理由如下：易得， ， ， ， ， , ， 线段，，， 是成比例线段。 观察题图可知，， ，则 举一反三 21 , 和 的周长比是2。 返回 举一反三 11. 阅读如下解题过程： ，，， ， 。 举一反三 23 （1）应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①若，则 ___； ②已知，则 的值为_______。 2 2或 （2）已知，，均为非零的实数，且满足 ， 则 的值为_______。 8或 返回 举一反三 24 如果==(b+d++n≠0)， 那么= 形状相同的图形 等比性质 课堂小结 谢谢观看 THANKS $