3.1.1成比例线段和相似多边形（课件）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

# 北师\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)版九年级上册 3.1.1 成比例线段和相似多边形 专项练习 ## 知识点梳理 ### 一、成比例线段 1. **线段的比**：同一长度单位下，两条线段长度的比，比值无单位。 2. **成比例线段**：四条线段$\(a,b,c,d\)$，若$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(a:b=c:d\)}\)}$，则这四条线段叫成比例线段（**有顺序**）。 比例基本性质：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \iff \boldsymbol{\(ad=bc\)}$。 比例中项：若$\(a:b=b:c\)$，则$b^2=ac$，$b$是$\(a,c\)$的比例中项。 ### 二、相似多边形 1. **定义**：边数相同的两个多边形，**对应角相等，对应边成比例**，两个条件必须同时满足，才叫相似多边形。 2. **相似比**：相似多边形对应边的比，叫做相似比（有先后顺序）。 3. **性质** - 对应角相等，对应边成比例； - 周长之比 = 相似比； - 面积之比 = **相似比的平方**。 > 易错提醒 1. 判断成比例线段，**一定要统一单位**，顺序不能随便调换； 2. 只对应角相等（如两个矩形）**不一定相似**；只对应边成比例（如两个菱形）**不一定相似**；两者缺一不可； 3. 相似比有顺序，多边形$A\backsim B$相似比$k$，则$B\backsim A$相似比$\dfrac1k$； 4. 面积比是相似比的平方，不是相似比。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知四条线段$a=2\mathrm{cm},\(b=4\)\mathrm{cm},c=3\mathrm{cm},d=6\mathrm{cm}$，下列式子能说明它们成比例的是（） A.$\(a:b=d:c\)$ B.$\(\boldsymbol{\(a:b=c:d\)}\)$ C.$\(a:c=b:d\)$ D.$\(a:d=b:c\)$ 2. 若$\(3x=5y\)(y eq0)$，则下列比例式正确的是（） A.$\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}$ B.$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{3}$ C.$\dfrac{x}{y}=\dfrac35$ D.$\dfrac{x}{3}=\dfrac5y$ 3. 下列各组图形，一定相似的是（） A.两个矩形 B.两个菱形 C.两个正方形 D.两个平行四边形 4. 四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$，相似比$\(2:3\)$，若$\(AB=4\)$，则$A'B'=$（） A.$6$ B.$\dfrac83$ C.$\dfrac32$ D.$12$ 5. 两个相似多边形相似比为$\(1:2\)$，则它们面积之比为（） A.$\(1:2\)$ B.$\(2:1\)$ C.$\(1:4\)$ D.$\(4:1\)$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{3}$，则$\(3a=\)$________。 2. 线段$\(2,8\)$的比例中项是________。 3. 四条线段$\(1,2,3,6\)$，成比例线段可写为________________。 4. 两个相似多边形周长比$\(3:5\)$，相似比为________。 5. 矩形甲长6，宽4；矩形乙长12，宽8，则它们______相似（填“是”或“不是”）。 ## 三、解答题（共60分） 1.（18分）判断下列四条线段是否成比例线段：$a=4\mathrm{cm},b=6\mathrm{cm},c=8\mathrm{cm},d=12\mathrm{cm}$。 2.（20分）已知$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}$，求$\dfrac{x+y}{z}$的值。 3.（22分）两个相似五边形，相似比为$\(2:3\)$。 （1）若\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)五边形周长为16，求\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)五边形周长； （2）若\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)五边形面积为45，求\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)五边形面积。 ## 参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：$a:b=2:4=\(1:2\)$，$c:d=3:6=\(1:2\)$，$\(\boldsymbol{\(a:b=c:d\)}\)$。 2.B 解析：$\(3x=5y\)$，交叉转化$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{3}$。 3.C 解析：正方形所有角都是90°，边长全部成比例，一定相似；矩形、菱形不一定。 4.A 解析：$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac23$，$\dfrac{4}{A'B'}=\dfrac23$，解得$A'B'=6$。 5.C 解析：面积比=相似比平方，$1^2:2^2=\(1:4\)$。 ### 填空题 1.$2b$ 2.$4$ 解析：$b^2=2\times8=16$，线段取正数$\(b=4\)$。 3.$\(1:2\)=3:6$（答案不唯一） 4.$\(3:5\)$ 5.是 ### 解答题 1.解： $a:\(b=4\):6=\(2:3\)$，$c:d=8:12=\(2:3\)$ $\therefore \(\boldsymbol{\(a:b=c:d\)}\)$，四条线段**是成比例线段**。 2.解：设$\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=k$， 则$x=2k，y=3k，z=4k$ $\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{2k+3k}{4k}=\dfrac{5k}{4k}=\boldsymbol{\dfrac54}$ 3.解：相似比$k=\dfrac23$ （1）周长比等于相似比， $\dfrac{C_\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)}{C_\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)}=\dfrac23$，$\dfrac{16}{C_\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)}=\dfrac23$，$C_\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)=24$。 （2）面积比等于相似比的平方， $\dfrac{S_\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)}{S_\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)}=\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac49$， $\dfrac{S_\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)}{45}=\dfrac49$，解得$S_\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)=20$。 答：（1）\(\dfrac{16}{C_\(C_大=24\)}=\dfrac23\)五边形周长24；（2）\(\dfrac{S_\(S_小=20\)}{45}=\dfrac49\)五边形面积20。 ## 易错点总结 1. 比例式交叉相乘$\(ad=bc\)$，是比例计算最常用变形； 2. 多边形相似**两个条件同时成立**：对应角相等+对应边成比例； 3. 周长比=相似比；面积比=相似比的平方，这个是考试高频坑； 4. 成比例线段顺序不能乱，不能随便调换。 下一节：**3.1.2 黄金分割**，继续写专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学九年级上册 3.1.1成比例线段和相似多边形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/5 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 图形的相似 素养目标 1.了解线段的比、成比例线段的概念，会用成比例线段刻画图形的大小关系，掌握两条线段比的求法；（重点） 2.掌握比例的基本性质，会用比例的基本性质解决相关问题.（难点） 3.了解相似多边形和相似比的定义，会判断两个多边形是不是相似多边形，会求两个相似多边形的相似比.（重点） 素养目标 在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图形. 认真观察下面几组图片，你有什么发现？ 每组图片形状相同，但是大小不同. 我们怎么用精准的数学语言、数学数据来证明它们形状相同呢？ 情境导入 03 新知探究 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图 形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 思考：它们的线段长度会有怎样的关系？ 对应线段的长度可能存在固定的比例关系 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系。 03 新知探究 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 如果把表示成比值k，那么=k或AB=k·CD。 03 新知讲解 如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm，AB﹕A′B′=5﹕3，就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 A B E A′ B′ E′ C D C′ D′ 03 新知讲解 【操作·思考】如图，设小方格的边长为 1，五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 的顶点都在格点上. (2) 分别计算 ，，， 的值，你发现了什么？ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ (1) AB，AE，A′B′，A′E′ 的长度分别是多少？ 03 新知讲解 【操作·思考】如图，设小方格的边长为 1，五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′ 的顶点都在格点上. (2) 分别计算 ，，， 的值，你发现了什么？ A B C D E A′ B′ C′ D′ E′ (1) AB，AE，A′B′，A′E′ 的长度分别是多少？ AB＝2，AE＝2， A′B′＝1，A′E′＝ ， 03 新知讲解 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫作成比例线段，简称比例线段. AB，A′B′，BC，B′C′ 是成比例线段， AB，BC，A′B′，B′C′ 也是成比例线段. 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 【归纳总结】 03 新知讲解 【思考交流】 如果 a，b，c，d 四个数成比例，即 ，那么 ad = bc 吗？ 那么 a = kb，c = kd， 所以 ad = kb·d = b·kd = bc. 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc. 03 新知讲解 由此可得到比例的基本性质： 反过来，如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 如果 ad = bc (a，b，c，d 都不等于 0)，那么 . 即必须满足 b ≠ 0，d ≠ 0 03 新知讲解 提炼概念 判断四条线段是不是成比例线段的步骤： 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段； 否则，不是成比例线段。 知识点1 两条线段的比 1.[西安西咸新区期中] 如图，是线段上的一点， ，则 等于( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 13 2.某市，两地的实际距离，画在地图上的距离为 ， 则， 两地在地图上的距离与实际距离的比是__________。 返回 举一反三 14 知识点2 成比例线段 3.下列各组不同长度的线段是成比例线段的是( ) C A.，，， B.,,, C.,,, D.,,, 返回 举一反三 15 03 新知讲解 观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗? (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角?你是怎么知道的? (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例? 解：图中的五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形。 (1)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D 与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角。 (2)AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′， DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等， 称为对应边。 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 03 新知讲解 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 例如，在图中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”。 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 03 新知讲解 相似多边形对应边的比叫作相似比。 例如，六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′， 对应边的比 = = = = =。 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比k1=， 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比k2= 注意：两个全等三角形相似比为1。 03 新知讲解 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 新课探究 例1 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y，α的值。 新课探究 例1 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y，α的值。 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴=，∠C′=∠C=83°。 ∵AB=6，A′B′=4，D′C′=5，B′C′=6， ∴ ，解得x=7.5， y= 9。 在四边形A′B′C′D′中，α=360°-∠A′-∠B′ -∠C′=360°-134°-60°-83°=83°。 1.已知，则下列结论一定正确的是( ) A.x=2，y=3 B.2x=3y C. D. 2.已知三个数为 3，4，12，若再添加一个数，使这四个数成比例，则这个数可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.在比例尺为1:4000000的地图上,两城市间的图上距离为3cm,则这两城市间的实际距离为（ ）km. A.12 B.120 C.1200 D.12000 D A B 当堂检测 4．在矩形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为（ ） A． B． C．2 D． 5．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ） A．6 B．8 C．12 D．10 6．如果多边形ABCDEF∽多边形A′B′C′D′E′F′，且∠A＝68°，则∠A′等于（ ） A．22° B．112° C．68° D．54° A B C 当堂检测 7.已知线段 AB的长为 2m，线段 CD的长为 20 cm，则线段 AB 与线段 CD的比为 . 8.在比例尺为1:10000的地图上，相距5cm的A，B两地距离为 m. 10:1 500 9.如图所示，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形 FBGE与正方形ABCD的相似比为 . :2 5.给出下列语句: ①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形; ③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形。 其中，两个图形一定相似的有 (填序号). ①②④ 当堂检测 4.[教材P62“随堂练习”第2题变式] 已知线段，，， 是成比例线段， 其中，，，则线段 的长为___。 6 返回 举一反三 25 知识点3 比例的基本性质 5.若，则 的值为( ) A A.12 B. C.1 D. 返回 举一反三 26 6. 请将 写成一个比例式：__________ _______________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 27 知识点4 相似多边形的定义及性质 7.下列四组图形中，是相似多边形的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 28 8.如图，四边形 四边形 。 （1）若 ， ， ，则____ ； （2）若四边形与四边形的相似比是， ， ，则____， ____。 69 18 4.8 返回 举一反三 29 9.一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形 的最长边的长为24，则另一个多边形的最短边的长为___。 8 返回 举一反三 30 10.如图，已知等腰梯形与等腰梯形相似， , ,，,,则等腰梯形 与 等腰梯形的相似比是_____，等腰梯形 的周长是_______。 返回 举一反三 31 知识点5 相似多边形的判定 11.[陕西师大附中模拟] 下列说法正确的是( ) A A.各角分别相等、各边成比例的两个多边形一定是相似多边形 B.各角相等的两个多边形是相似多边形 C.边数相同的两个多边形是相似多边形 D.有一组角对应相等的两个平行四边形相似 返回 举一反三 32 12.如图所示的三个矩形中，相似的 是( ) B A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.甲、乙和丙 返回 举一反三 33 13.等边三角形的一边长与这条边上的高的比是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 34 14.如图，四边形中， ，点 为 边上一点，于点。若， ， 四边形 四边形，则 的值是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 35 相似多边形-第1课时 线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB：CD=m:n,或写成 . 成比例线段 比例的基本性质 相似多边形 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例的线段，简称比例线段. 如果，那么ad＝bc． 如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么. 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $