3.1成比例线段和相似多边形 课件 2026——2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“成比例线段和相似多边形”，从生活中形状相同的图形导入，引导学生观察大小差异，通过线段比建立联系，逐步过渡到成比例线段、比例性质及相似多边形定义，构建递进式学习支架。 其亮点是以“观察-操作-概括-应用”为主线，借助方格纸计算线段比培养几何直观（数学眼光），推导比例性质发展推理能力（数学思维），结合矩形裁剪实例强化模型意识（数学语言）。小结与检测分层设计，助力学生掌握概念，教师可高效实施教学。

第三章 图形的相似 1 相似多边形 第1课时 成比例线段和相似多边形 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 在实际生活中,我们经常会看到许多形状相同的图形.你能在图中找出形状相同的图形吗?这些形状相同的图形有什么不同? 知识关联 形状相同，大小不相等，其中一个图形可以由另一个图形放大或缩小得到 韵 (authorId_273335559) - 师在学生交流展示时可作以下引导: (1)图中形状相同的图形,大小有什么不同? (2)形状相同的图形,其中的一个如何由另一个得到?(多媒体动画演示图形的放大与缩小) (3)形状相同的图形对应的线段是如何变化的? (4)形状相同而大小不同的两个图形,你认为应该如何来描述它们的大小关系? 【探究1】成比例线段 探究与应用 形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB,CD分别叫作这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比. 【探究1】成比例线段 探究与应用 如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm, A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3,就是线段AB与线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系. 【探究1】成比例线段 探究与应用 【操作·思考】 如图,已知方格纸中每个小方格的边长均为1,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的顶点都在格点上. 　(1)AB,BC,A'B',B'C'的长度分别是多少? (2)分别计算,,,的值,你发现了什么? AB=2,BC=2,A'B'=1,B'C'=. ====. 韵 (authorId_273335559) - 引导学生根据图形求出问题(1)中各线段的长;问题(2)让学生先求出未知线段的长,再求出它们的比值,然后观察比值之间的关系. 【探究1】成比例线段 探究与应用 【概括新知】 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即=,那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段,简称比例线段. 在上图中,AB,A'B',BC,B'C'是成比例线段,AB,BC,A'B',B'C'也是成比例线段. 【探究1】成比例线段 探究与应用 【思考·交流】 如果a,b,c,d四个数成比例,即=,那么ad=bc吗?反过来如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗?与同伴进行交流. 解：等式=,两边同时乘bd，得到ad=bc; 也可设 =k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(dk)=bc. 反过来,等式ad=bc两边同时除以bd，可以得到=. 【探究1】成比例线段 探究与应用 【概括新知】比例的基本性质: 如果=,那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么=. 【理解应用】 探究与应用 例 　如图所示,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成三面相同的矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比和原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a的值应当是多少? 解:∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比和原绸布的宽与长的比相同, ∴=, 解得a=或a=-(舍去), ∴a=. 故a的值应当是. 韵 (authorId_273335559) - 说明:该部分是学习中的难点,在教学中要给学生充分的时间去审清题意,分析各量之间的关系,不能粗略解决.在讲解过程中可逐步分解难点:①审清题意;②找准各条有关线段的长度关系;③建立方程模型,之后求解. 【探究2】相似多边形 探究与应用 【观察·思考】 观察下图,你认为五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的形状相同吗? (1)在这两个多边形中,是否有对应相等的内角?你是怎么知道的？ (2)在这两个多边形中,夹相等内角的两边是否成比例? 对应内角相等,夹相等内角的两边成比例. 【探究2】相似多边形 探究与应用 【观察·思考】 观察下图,你认为五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的形状相同吗? (1)在这两个多边形中,是否有对应相等的内角?你是怎么知道的？ (2)在这两个多边形中,夹相等内角的两边是否成比例? 图中的五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是形状相同的多边形,其中∠A与∠A',∠B与∠B',∠C与∠C',∠D与∠D',∠E与∠E'分别相等,称为对应角;AB与A'B',BC与B'C',CD与C'D',DE与D'E',EA与E'A'的比都相等,称为对应边. 【探究2】相似多边形 探究与应用 【概括新知】 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形. 例如,在前面图中,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似,记作五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E',“∽”读作“相似于”.在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 相似多边形对应边的比叫作相似比. 例如,六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F',对应边的比======, 则六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'的相似比k1=,六边形A'B'C'D'E'F'与六边形ABCDEF的相似比k2=. 两个全等三角形相似吗？为什么？ 两个全等三角形相似.全等三角形是相似比为1的相似三角形. 【理解应用】 探究与应用 例 一块长3 m、宽1.5 m的矩形黑板如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所形成的两个矩形相似吗?为什么? 解:不相似.理由如下: 内边缘的矩形ABCD的长AD=3 m=300 cm,宽AB=1.5 m=150 cm, 外边缘的矩形长A'D'=300+2×7.5=315（cm）, 宽A'B'=150+2×7.5=165（cm）. ∵=,=, ≠, ∴边框的内外边缘所形成的两个矩形不相似. 探究与应用 【拓展提升】 已知1,,2三个数,请你再添加一个数,构成一个比例式,这样的数有几个? 解：①若x∶1=2∶，解得：x=； ②若1∶y=2∶，解得：y=； ③若1∶2=z∶，解得：z=； ④若1∶2=∶d，解得：d=2． ∴这个数可能是，，． 【小结】 课堂小结与检测 两条线段的比 比例线段 四条线段有顺序要求 成比例线段和相似多边形 比例的 性质 如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 . 如果 ，那么ad=bc. 相似多边形 各角分别相等、各边成比例 【达标检测】 1.下列各组中的四条线段成比例的是 (　　) A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=,c=2,d= C.a=4,b=6,c=5,d=10 D.a=,b=3,c=2,d= 2.a,b,c,d是成比例线段,其中a=3,b=2,c=6,d的长是 (　　) A.1 　B.2　 C.4　 D.9 3.用同一张底片洗出的两张照片,一张为2寸,另一张为6寸,则这两张照片上的图像的相似比是　　　　.  课堂小结与检测 B C 1:3 4.判断题(对的画“√”,错的画“×”). (1)所有的平行四边形都是相似图形.(　　　　)  (2)所有的菱形都是相似图形.(　　　　)  (3)所有的等腰梯形都是相似图形.(　　　　)  (4)所有的全等三角形都是相似图形.(　　　　)  5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足==,2a-3b=-12,求△ABC的周长. 课堂小结与检测 × × × √ 解：设 ===k,则 a=3k,b=4k,c=2k. ∵2a-3b=-12， ∴6k-12k=-12，∴k=2. ∴a=6，b=8，c=4. ∴△ABC的周长为a+b+c=18． 【达标检测】 $